D74定積分的換元法ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第四節(jié)第四節(jié)不定積分不定積分換元積分法換元積分法定積分定積分換元積分法換元積分法定積分的換元法定積分的換元法 第七章第七章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分的換元法定積分的換元法 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)單值函數(shù)單值函數(shù)( )xt在閉區(qū)間在閉區(qū)間( ) t時(shí)，時(shí)，( )ddbaf x xft( ) t( ) t那么那么 上連續(xù)，上連續(xù)， , a b在在( )f x , 上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)( ),t當(dāng)當(dāng) t 從從 變到變到從從 變到變到( )a ( ), b 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說(shuō)明說(shuō)明: :1) 當(dāng)當(dāng) , 即區(qū)間換即區(qū)間換為為, 時(shí)，定理定理 仍

2、成立仍成立 .2) 不定積分是函數(shù)族；換元后，需反代不定積分是函數(shù)族；換元后，需反代 .3) 換元公式也可反過(guò)來(lái)使用換元公式也可反過(guò)來(lái)使用 , 即即( )xt令( )dbaf xx或配元或配元f( ) td ( ) t配元不換限配元不換限dft( ) t( ) t( )ddbaf xxft( ) t( ) tdft( ) t( ) t定積分是數(shù)值；換元必?fù)Q限定積分是數(shù)值；換元必?fù)Q限 , 變量不必代回變量不必代回 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 計(jì)算計(jì)算220d(0).aaxxa解解: 令令sin ,xat那么那么dcos d ,xat t0,0;xt當(dāng)時(shí)2,.xat時(shí) 原式原式 =2a

3、220(1cos2 )d2att21(sin2 )22att2024a202cosdt tO22yaxxyaS且且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 計(jì)算計(jì)算402d .21xxx解解: 令令21 ,tx那么那么21, dd ,2txxt t 原式原式 221132041132dtxtxtt tt 3211(3)d2tt31 1(3 )2 3tt31223目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 計(jì)算計(jì)算21d1 lnexxx解解: 2121(1 ln )d(1 ln )exx21d1 lnexxx21d(ln )1lnexx21212(1 ln )ex2( 31)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、例例.( ), ,f xCa a設(shè)證證:(1) 假假設(shè)設(shè)()( ),fxf x0( )d2( )daaaf xxf xx則( )daaf xx(2) 假假設(shè)設(shè)()( ),fxf x ( )d0aaf xx則0( )daf xx0( )daf xx0()daftt0( )daf xx0()( )dafxf xx02( )d ,af xx()( )fxf x時(shí)()( )fxf x 時(shí)0,偶倍奇零偶倍奇零xt 令目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 設(shè)設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù)是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為周期為T(mén), 證明：證明：0( )d( )da TTaf xxf xx解解:( )da Taf

5、 xx( )da TTf xx00( )d( )d( )dTa TaTf xxf xxf xx0t x Tx Ta Tta 0()daf tTt0( )d( )da TTaf xxf xx0( )daf tt目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 設(shè)設(shè) f (x) 是連續(xù)的周期函數(shù)是連續(xù)的周期函數(shù), 周期為周期為T(mén), 證明：證明：0( )d( )da TTaf xxf xx解解: 記記( )( )d ,a Tag af xx( )()( )g af aTf a0( )aa可見(jiàn)g與 無(wú)關(guān)，( )(0),ag因此g那么那么即即0( )d( )da TTaf xxf xx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

6、(1)( )( )d ,xag xxf tt例例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)( )()dxah xf xtt解解: (1)( )( )d( )dxxaag xxf ttxf tt( )( )d( )d )xxaag xxf ttxf tt( )d( )xaf ttxf x(2)( )()dxah xf xtt2u x tt axu x ax 2( )dxx af uu( )(2 )(2 )()()h xfxxf xa xa2 (2 )()fxf xa目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21,0( ),0 xxxf xex ，例例. 設(shè)設(shè)31( -2)df xx求求解解: 0110( )d

7、( )df ttf tt21311t xxt 31( -2)df xx11( )df tt01210(1)ddtttet031013ttte713e目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限配元不換限配元不換限邊積邊代限邊積邊代限思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.提示提示: 令令,uxt1000dsin() d_dxxttx那么那么1000sin() dxxttdu0 x100sinu100sinx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 設(shè)設(shè)1( ),(1)0,f tCf31( )dln ,xf ttx(e).f求解法解法1.31ln( )dxxf tt3()(1)f xf3()f x3,ux令3( )lnf uu得13lnu13(e)f解法解法2. 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo)對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),1233()xx f x3,ux令13( )uf u得e1(e)( )d(1)ff uufe1131duu13考慮考慮: 若改題為若改題為331()dlnxfttx(e)?f提示提示: 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得313( )xf xe1(e)( )dffxx得得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題1. 證明證