2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義(用).

1、平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義復(fù)習(xí)回顧I注意：兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍是0 V & V兀.向量的夾角兩個(gè)耳£零向量a和方，作芮=a, OB = b ,則若& = 180°, a與反向若0 = 90。，a與垂直, 記作m丄方問題：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一 般向量，其結(jié)果又該如何表述？功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積。平面向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量/和戻，它們的夾角為0 ,我們把數(shù)】iFlGlcos。叫做科產(chǎn)的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作礦萬,即> >ab =la 11

2、6 lcos&說明:(1)規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即 飛花0.(2)乳砕間的“”在向量的運(yùn)算中不能省略,也不能寫成方X灰表示向量的另一種運(yùn)算(外積).問題3:向量的數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的 結(jié)果有什么不同？實(shí)數(shù)同向量積的線性運(yùn)算的結(jié)果是向量兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)數(shù)量問題4：影響數(shù)量積大小的因素有哪些?a b =ab cosG這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。夾角仙范圍0°<6><90°& = 90。90°<<180°a b白勺正負(fù)正0負(fù)數(shù)量積符號(hào)由cos

3、e的符號(hào)所決定平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)問題5：設(shè)4與都是非零向量，若a丄b,貝!Ja方等于多少? 反之成立嗎？a丄方 <>ab = O問題6：當(dāng)“與同向時(shí)，a等于什么？當(dāng)a與方反向時(shí)，a-b 等于什么？特別地，aa等于什么？當(dāng)a與方同向時(shí)，ab= a b ； 當(dāng)a與方反向時(shí)，ab = | a b ； aa=°2= | a ?或 a = yla-a .問題7：| a-b丨與I a b的大小關(guān)系如何？為什么？ < a b 例：已知云，方滿足：礦=9,刁方=-12,求網(wǎng)的取值范圍。問題8：對(duì)于向量a, b,如何求它們的夾角0?例：已知7=12, b =9, a- b =

4、 -54V2,求：與乙的夾角.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)向量a、b為兩非零向量，e是與b同向的單位向量:(1 ) “丄 o a-b=0(判斷兩向量垂直的依據(jù)) (2)當(dāng) a 與同向時(shí)，a-b = a b當(dāng)a與方反向時(shí)，a-b = I « I I 6 I.特別地，a a=a I2 或la 1= Ja a.(3)(4)a 9 b < a b "爲(wèi)jn _ai_rs 丨=3, ir i = 6,喜丄b9為為夾角是60°時(shí)，分別求孑 17 解：當(dāng)沏 Q時(shí)，若爲(wèi) 訂司向，則它們的夾角&=°二，一 一 一/ b= a b cosO =3X6X1=18

5、； 若二與亙反向，則它但的夾角8=180。，F(xiàn)- 3*= | T | b I cos180° =3X6X (-1)= 18； _ 當(dāng)7±b時(shí)，它們的夾角&=90° ,產(chǎn)二萬三0 ； 當(dāng)ab的夾角屋60。時(shí)，有1a b = a | b I cos60 =3X6X=9練習(xí)：1、己知AABC中，訂=不,花=瓦當(dāng)不方vO 或臣坊=0時(shí)，試判斷AABC的形狀。變式：已知 A4BC 中,AB=a,BC =b,b> 0時(shí), 試判斷AABC的形狀。平面向量數(shù)量積的幾何意義作OA = NOB =b 9 過點(diǎn)B作 BB、垂直于直線OA,垂足為B“則 OB產(chǎn)1> |

6、 cosO當(dāng)&=0。時(shí)投影為|6| 當(dāng)&=180。時(shí)投影為T&n（2）投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向:I IHJ問題4：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積亦尼丨刁I長I cos。的幾何意義是什么？數(shù)量積W萬等于N的模與確云方向上的 投影|萬| cosO的乘積，或等于勵(lì)模與萬在肪向上的投影I ri coso的乘積.練一練:若G 1=4,門1=8,：與族角為e(1) 當(dāng)& = 30°時(shí):在為上的投影為2語 當(dāng)0 = 90°時(shí):在&上的投影為 0 當(dāng)& = 120°時(shí):在乙上的投影為二纟當(dāng)3 = 120。時(shí)&在:上的投影為_4平面向

7、量的數(shù)量積運(yùn)算律問題9:我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算 律對(duì)向量是否也適用？類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律： 交換律：a b-b a 結(jié)合彳車：“（；）= （“）（； 分配律：a （b +c） = a h +a c 矣于向龍的就龍欽込耳：數(shù)量積的運(yùn)算律： 交換律：力.b = ba數(shù)乘結(jié)宣懲：一-_ _(la)b =7力)=a(7D) _分配律：(a + b)-c =a-c + b - c數(shù)量積運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律。思考1 :刊瀉方歷相等嗎？為什么？思考2 :對(duì)于非零向量石T, Cy （亦厲E表示什么意義？ 0方）I* 與方（以5相等翌?蘭什么？思考3 ：對(duì)于向量歷b7 Z /"）懇表

8、示什么意義？它與莎F+戻囲等嗎？為什么？如圖可知:(a+b)c = a c + b cI OB1=1 OB I cos & =1 a + 方丨 cos 6I OA 1=1 a I cos qI A" 1=1 AE, 1=1 b I cos &|西1=1囲1 + 1瓦瓦I/.I a +Z? I cos & =1 a I cos q +1 b 丨 cos &“ > 1 » .ca+bcos3 =1 c II a 丨 cosOxcb cosQc(a + b) = c a + c b(a + b)-c = a c + bc判斷下列命題或等式的正

9、確與否若bHO, ab=O,則a=0 若16 = 0,6工0 那么1 = 0錯(cuò)誤若ab = be ,（朗糾，貝！Ja=c若h B B C(B H 6)那勾=C錯(cuò)誤(a b) c=a (b c)Cab)c = (a-b)-c錯(cuò)誤例2、對(duì)任意向量鬲 方是否有以下結(jié)論:（1）（N + ZT）= « 2 4- 2<Z 石 + 亦，（2）（臣+廳）（臣一方）=疋，一廳，例3、已知可=6,網(wǎng)=4,匝與萬的夾角為60。，求0 + 2方）0-3方）例4、已知 岡=3,同=4,歷與萬不共線，£為何值時(shí), 向量N +廟與五萬互相垂直？利用平面向量數(shù)量積求解長度問題例1（2008上海）：已

10、知ca=y/a-ai =l9b = 2,向量方與忌的夾角為彳,求 a+b9 ab練習(xí)（2008江蘇）：已知7=1 =3,向蜀與的夾角為 120°,求 5a b變式若忖=石，同=2，” -b = >/13,求:a S （2）方+乙與方-謝夾角的余弦值.利用平面向量數(shù)量積求解夾角問題COS0 =abab例：已知"、長都是非零向量，且?guī)?3疾與7云-5疾垂直，a -4b與7a - 2b垂直，求與的夾角 練習(xí)：（2007上海）:已知何=逅,同=1,方G +初=1變式： 若兩個(gè)單位向藥専的夾角為牛a = 2m 4- nb = 2n 3m9求q與乃的夾:角3:已知a =59b =

11、 4,向量a與方的夾角為牛如果（k2+初丄&+ 2初，求實(shí)數(shù)k的值.4:已知p2 =6,向量方與&的夾角為彳,且（方一3初1方+ 2初=-72,求B練習(xí)：一辨析1.若a=0,則對(duì)任一向量方，有a *=0.72.若a*O,則對(duì)任一非零向量b ,有a b*0X3. 若a HO, a - b =0,則=0.x4. 若a b=0,則a中至少有一個(gè)為0x5對(duì)任意向量a有a2 = |a|2 .（a -a常記作0）'6若2云工 O, ci -b = a, E,貝Lib = c1 向量的數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它與向量的加 法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，也有明顯的物理背景和幾何 意義，同

12、時(shí)還有一系列的運(yùn)算性質(zhì)，但與向量的線性運(yùn) 算不同的是，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量.2實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與向的運(yùn)算性質(zhì)不完全一致，應(yīng)用時(shí)不要似是而非.3常用丨“丨皿葛求向量的模.常用 cos =ab求向量的夾角.一、平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量方和乙，它們的夾角為我們把數(shù)量7 b COS&叫做。與乙的數(shù)量積 （或內(nèi)積）,記作方打 ab = a b cos3規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為o.Q 0 = 0向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么 它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？ ab = a b cos0當(dāng)0。<0<90° 時(shí) ab>0 當(dāng) =90。時(shí)a方=0當(dāng)

13、90° v広 180°（向量乙在方方向上）的投影時(shí)ab v 0>AaOoBb cos3 = bBOAb cos3 = b三、平面向量數(shù)量積的幾何意義: b = a b cos3數(shù)量積2為等于冊(cè)長度a與為在方的方向上的投影數(shù)量bCOS &的乘積.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算率:交換律：a=7 a(2)數(shù)乘結(jié)合律:(加) b = 2(a b) = a (AZ?)分配律: (a + b)c = ac + bc注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律和消去率 (a b) c 豐 a (b c)> f > f > > ac = bc豐a = b > > 2

14、>l.aa = a = a2(q +)(q Z) = q b/ > / » >#*3.(6z + b)(c + d) = Qc + Qd +bc + bd金榜 112.789(f i22i 一24a+b =a ±2dZ?+Z?平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)云、方是非零向量,6是與方方向相同的 單位向量，0是&與0的夾角，貝IJ:a cos&（2）q丄&u>q& = 0判斷兩個(gè)向量垂直的依據(jù)-_ab.當(dāng)。與陰向時(shí)（3）q/b OQ /? = _ _-丨° II乩當(dāng)°與方反向時(shí)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：（

15、4）萬 a = a = a或問二Ja 萬二仃求向量模的依據(jù)（5）cos& =年g3 e 0°,180°ab求向量夾角的依據(jù)（6）|<2 b < z|>|口學(xué)例5,例6口學(xué)例5,例6思考：已知 a =(xi9y,),b =(x2,jI),你能得出恥萬的坐標(biāo)嗎？結(jié)論 N b = A7IA72 + yty2若丘=（兀）貝 I廳=x2 +ya = Jx2 +y2（2）設(shè) a = （乂b = （乂，2）& 丄方 xtx2 4- yty2 = O(3)設(shè)& = (乂宀”)，b =(兀)cos v aba b>=dWxx2 + j,y2J乞

16、+兒a/乞+3一、利用向量的垂直解題:例1:已知同=5,= 4；與啲夾角為60。，問當(dāng)氐為何值時(shí), 向量辰-了與a + 20直？解：. (ka /?)丄(a + 2/?) (Ed b) (d + 2Z?) = 0> 2> f2/. ka + (2 1)6Z b 2b = 0一 - -2k a +(2k Dab cos60" -2b =025E + (2E l)x5x4x丄一2x4? =0 £ = 14 215當(dāng)k =蘭時(shí)，向量fca &與a + 2&垂直。15謂求模：求”+耳,”-耳?二、利用Q =例2:匕知= 5 =5,向量q與厲勺夾角為二,2

17、解：因?yàn)閍 =一 2=CI3一 2 225,b =b =25口學(xué)例5,例6口學(xué)例5,例6一 一 一7T 25ab a b cos& = 5x5xcos =32a + b a (a + b-*2= 53口學(xué)例5,例6口學(xué)例5,例6一 一2 ab-2 一 一2a -2a b + b = 5口學(xué)例5,例6三、利用ab= a b cos<9求夾角： 例3:設(shè)詼?zhǔn)莾蓚€(gè)單位向量，其夾角罟,求a=2m+n, E二2n-3m的夾角？解：q 乙=（2加 + ） 2n 3加）* * 2_=4m n + 2n 6m 3m n»JI-2mncosF 2 3n6m2=mn + 2n 6m2 _7

18、22三、利用ab= a b cos<9求夾角： 例3:設(shè)亦是兩個(gè)單位向量，其夾角罟,求a=2m+n, E二2n-3m的夾角？解:a - 2m+ n =+= J4m2+ 4mn + n-兀 n cosF n3_7ab21i2 兀 *: 0 e6 =2341/nl +4m. cos <9 =a b V7 a/7="同理乙二衙2旳=3也與刪夾角為 120。，求 斎（3*2： - b）. £ + 3勸（4* + 耳（5）|已知I”=(l)aZ?(2)a b解：(1» 乙=a b cosl20計(jì)(3)(2° -&)© + 3” = 2a=牛 +5