初中數學思想方法的教學與應用

1、 鄭州市第八十五中學鄭州市第八十五中學 張利紅張利紅中位數中位數 數學思想，就是對數學知識的本質的認識。是從數學思想，就是對數學知識的本質的認識。是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提練上升某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提練上升數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。 數學方法指在數學中提出問題、解決問題（包括數學方法指在數學中提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）過程中，所采用的各種方數學內部問題和實際問題）過程中，所采用

2、的各種方式、手段、途徑等。式、手段、途徑等。 數學思想和數學方法是緊密聯系的，強調指導思數學思想和數學方法是緊密聯系的，強調指導思想時，稱數學思想，強調操作過程時，稱數學方法。想時，稱數學思想，強調操作過程時，稱數學方法。 中位數中位數常用數學思想常用數學思想: 建模思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想、建模思想、統(tǒng)計思想、最優(yōu)化思想、轉化化與化歸思想、類比思想、分類思想、轉化化與化歸思想、類比思想、分類思想、整體思想、數形結合思想、方程思想、函整體思想、數形結合思想、方程思想、函數思想等。數思想等。常用數學方法：常用數學方法： 配方法、換元法、待定系數法、參數法、配方法、換元法、待定系數法、參數法、構

3、造法、特殊值法等。構造法、特殊值法等。中位數中位數 1、生活的需要、生活的需要 2、學生發(fā)展的需要、學生發(fā)展的需要 3、課標要求、課標要求 4、高效課堂的需要、高效課堂的需要 中位數中位數 一、數學思想方法的培養(yǎng)應遵循的原則：一、數學思想方法的培養(yǎng)應遵循的原則： 滲透性原則、層次性原則、反復性原則滲透性原則、層次性原則、反復性原則 二、在知識的傳授全過程中，培養(yǎng)學生的數學思想二、在知識的傳授全過程中，培養(yǎng)學生的數學思想 在在概念形成過程概念形成過程中、在中、在公式定理的證明過程公式定理的證明過程中、中、在在例題教學例題教學中、在中、在練習過程練習過程中滲透和培養(yǎng)數學思想中滲透和培養(yǎng)數學思想 三

4、、培養(yǎng)學生自覺應用數學思想方法解決實際問三、培養(yǎng)學生自覺應用數學思想方法解決實際問題的能力題的能力中位數中位數 類比聯想類比聯想 整體思想整體思想 數形結合思想數形結合思想 分類討論思想分類討論思想 轉化與化歸思想轉化與化歸思想 方程與函數思想方程與函數思想中位數中位數 類比法，是通過對兩個研究對象的比較，類比法，是通過對兩個研究對象的比較，根據它們某些方面（屬性、關系、特征、形根據它們某些方面（屬性、關系、特征、形式等）的相同或相類似之處，推出它們在其式等）的相同或相類似之處，推出它們在其它方面也可能相同或相類似的一種推理方法。它方面也可能相同或相類似的一種推理方法。類比法所獲得的結論是對兩

5、個研究對象的觀類比法所獲得的結論是對兩個研究對象的觀察比較、分析聯想以至形成猜想來完成的，察比較、分析聯想以至形成猜想來完成的，是一種由特殊到特殊的推理方法是一種由特殊到特殊的推理方法 中位數中位數相似三角形判定方法的探索相似三角形判定方法的探索零指數冪和負整數指數冪的性質探索零指數冪和負整數指數冪的性質探索特殊平行四邊形性質和判定的探索特殊平行四邊形性質和判定的探索直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系的探索系的探索整式除法運算法則探索整式除法運算法則探索求多邊形內角和求多邊形內角和中位數中位數(2008中考）中考）18.（9分）復習分）復習“全等三角形全等三

6、角形”的知識時，的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在如圖，已知在ABC中，中，AB=AC，P是是ABC內部任意一點，將內部任意一點，將AP繞繞A順時針旋轉順時針旋轉至至AQ，使，使QAP=BAC，連接，連接BQ、CP，則，則BQ=CP” 小亮是個愛動腦筋的同學，他通小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明了過對圖的分析，證明了ABQ ACP，從而證得，從而證得BQ=CP之后，將點之后，將點P移到等腰三角形移到等腰三角形ABC之外，原題中的之外，原題中的條件不變，發(fā)現條件不變，發(fā)現“BQ=CP”仍然成立，請你就圖給出證仍然成立，請你就圖給出證明明圖?Q?P?

7、C?B?A?A?Q?B?P?C圖中位數中位數（2010中考）中考）22.（1）操作發(fā)現）操作發(fā)現如圖，矩形如圖，矩形ABCD中，中，E是是AD的中點，將的中點，將ABE沿沿BE折折疊后得到疊后得到GBE，且點，且點G在舉行在舉行ABCD內部小明將內部小明將BG延長交延長交DC于點于點F，認為，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由，你同意嗎？說明理由（2）問題解決）問題解決保持（保持（1）中的條件不變，若）中的條件不變，若DC=2DF，求，求 的值；的值；（3）類比探求）類比探求保持（保持（1）中條件不變，若）中條件不變，若DC=nDF，求，求 的值的值FABADABAD中位數中位數F中位數中位數

8、2012中考中考中位數中位數 整體思想就是從問題的整體性質出整體思想就是從問題的整體性質出發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改發(fā)，突出對問題的整體結構的分析和改造，發(fā)現問題的整體結構特征，從宏觀造，發(fā)現問題的整體結構特征，從宏觀整體上認識問題的實質，把一些彼此獨整體上認識問題的實質，把一些彼此獨立，但實質上又相互緊密聯系的量作為立，但實質上又相互緊密聯系的量作為整體來處理的思想方法。整體來處理的思想方法。中位數中位數多項式與多項式相乘的法則探索多項式與多項式相乘的法則探索二元一次方程組的解法二元一次方程組的解法代數式求值代數式求值分解因式分解因式整式的相關計算整式的相關計算中位數中位數2、111

9、11111111 1111123423452345 23445axbybxay21xy已知方程組的解是，則a+b= .3、1、若x=1時，代數式ax3+bx+7的值為4，則當x= -1時，求ax3+bx+7的值為；)244()5()73(22aaa4、中位數中位數5、如圖，在高、如圖，在高2米，坡角為米，坡角為30的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度的樓梯表面鋪地毯，則地毯的長度至少需要至少需要 米。米。6、如圖，、如圖， A， B， C兩兩不相交，且半徑都是兩兩不相交，且半徑都是0.5cm，則圖中的陰影面積為則圖中的陰影面積為 。中位數中位數7 7、（、（20092009綿陽中考綿陽中考1212題

10、）題） 如圖，如圖，ABCABC是直角邊長是直角邊長為為a a的等腰直角三角形，直角邊的等腰直角三角形，直角邊ABAB是半圓是半圓O O1 1的直徑，的直徑，半圓半圓O O2 2過過C C點且與半圓點且與半圓O O1 1相切，求圖中陰影部分的面相切，求圖中陰影部分的面積。積。O2O1APBC中位數中位數 數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略。 數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過直觀的

11、幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形以形助數助數”或或“以數解形以數解形”即利用形的直觀加深對數量即利用形的直觀加深對數量關系的理解或利用數的抽象性加深對圖形的認識，關系的理解或利用數的抽象性加深對圖形的認識，實現了抽象思維與形象思維的結合與轉換。實現了抽象思維與形象思維的結合與轉換。中位數中位數數軸數軸平面直角坐標系平面直角坐標系函數函數空間與圖形空間與圖形 勾股定理勾股定理平方差公式、完全平方公式的幾何意義平方差公式、完全平方公式的幾何意義中位數中位數2、關于、關于x的不等式組的不等式組 無解，則無解，則a的取值的取值范圍是范圍是 。1、已知、已知a0，b0，且，且ab，則（，則（ ）

12、A 、 ba B 、 b C 、a |b| D、 |b| |a|5210 xxa 3、如圖是小張用火柴搭的、如圖是小張用火柴搭的1條、條、2條、條、3條條“金魚金魚”。 則搭則搭n條條“金魚金魚”需要火柴需要火柴 根。根。4、若、若M( ,y1),N( ,y2),P( ,y3)三點都在函數三點都在函數（k0）的圖象上，則）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（的大小關系為（ ）A、 y2y3y1 B、 y2y1y3 C 、 y3y1y2 D、 y3y2y1121412中位數中位數 6 6、5 5、對于二次函數、對于二次函數y yaxax2 2bxbxc c若若a a0 0，b b0 0，c

13、 c 0 0，則下面關于這個函數與則下面關于這個函數與x x軸的交點情況正確的是（軸的交點情況正確的是（ ） A.A.只有一個交點只有一個交點 B.B.有兩個，都在有兩個，都在x x軸的正半軸軸的正半軸 C.C.有兩個，都在有兩個，都在x x軸的負半軸軸的負半軸 D.D.一個在一個在x x軸的正半軸，一個在軸的正半軸，一個在x x軸的負半軸軸的負半軸2012中考中考中位數中位數7 7、(08(08湖北恩施州湖北恩施州) ) 如圖如圖,C,C為線段為線段BDBD上一動點上一動點, ,分別過點分別過點B B、D D作作ABBD,EDBD,ABBD,EDBD,連接連接ACAC、EC.EC.已知已知A

14、B=5,DE=1,BD=8,AB=5,DE=1,BD=8,設設CD=x.CD=x.(1)(1)用含用含x x的代數式表示的代數式表示ACACCECE的長；的長；(2)(2)請問點請問點C C滿足什么條件時滿足什么條件時,AC,ACCECE的值最小的值最小? ?(3)(3)根據根據(2)(2)中的規(guī)律和結論中的規(guī)律和結論, ,請構圖求出代數式請構圖求出代數式 的最小值的最小值. .224(12)9xxEDCBA中位數中位數 分類討論思想又稱邏輯劃分，即把所有研分類討論思想又稱邏輯劃分，即把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解

15、決，這種按不類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想。想。 當數學問題中的當數學問題中的條件、結論不明確條件、結論不明確或或題題意中含參數或圖形不確定意中含參數或圖形不確定時，就應分類討論。時，就應分類討論。分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決分問題來解決,以增加題設條件。以增加題設條件。中位數中位數1、明確討論對象，確定對象的全體，確立分類、明確討論對象，確定對象的全體，確立分類標準（標準（標準統(tǒng)一，標準不同，結果也不相同）；標準統(tǒng)一，標準不同，結果也不相同）；2、

16、恰當分類（、恰當分類（結果無遺漏，無交叉重復）；結果無遺漏，無交叉重復）；3、逐類討論（、逐類討論（逐級進行，不越級討論逐級進行，不越級討論）；）；4、歸納總結，綜合得出結論。、歸納總結，綜合得出結論。中位數中位數|a |= 實數的分類實數的分類三角形的分類三角形的分類與圓有關的位置關系與圓有關的位置關系三角形判定方法的探索三角形判定方法的探索一元二次方程的解的情況一元二次方程的解的情況中位數中位數1、等腰三角形的一個角等于、等腰三角形的一個角等于30，腰長為，腰長為20cm，求等腰三角形腰上的高的長；求等腰三角形腰上的高的長；2、已知直角三角形兩邊、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足的長滿足

17、，則第三邊長為，則第三邊長為 ；3、A、B兩地相距兩地相距450千米，甲、乙兩車分別從千米，甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行已知甲車速度為兩地同時出發(fā)，相向而行已知甲車速度為120千米千米/時，乙車速度為時，乙車速度為80千米千米/時，以過小時兩車相時，以過小時兩車相距距50千米，則的值是（千米，則的值是（ ） A、2或或25 B、2或或10 C、10或或125 D、2或或125224560 xyy中位數中位數4、在半徑為、在半徑為1的的 O中，弦中，弦AB，AC分別為分別為 和和 ，則則BAC的度數為的度數為 ； 5、已知、已知 O的半徑為的半徑為2，點，點P是是 O外一點，外一

18、點，OP的的長為長為3，那么以，那么以P這圓心，且與這圓心，且與 O相切的圓的半相切的圓的半徑一定是（徑一定是（ ）A1或或5 B1 C5 D16、一次函數、一次函數y=kx+b的自變量的取值范圍是的自變量的取值范圍是 -3x 6，相應的函數值的取值范圍是，相應的函數值的取值范圍是 -5y-2 ，則這個函數的解析式，則這個函數的解析式 。32中位數中位數1、對、對A進行討論進行討論2、對、對B進行討論進行討論3、對、對C進行討論進行討論CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110A AC CB B50501101102020 在三角形的邊上

19、找出一點，使得該點在三角形的邊上找出一點，使得該點與三角形的兩頂點構成與三角形的兩頂點構成等腰三角形等腰三角形！中位數中位數 勞技課上，老師要求學生在一張長勞技課上，老師要求學生在一張長17cm，寬，寬16cm的長方形紙片上剪下一個腰長為的長方形紙片上剪下一個腰長為10cm的等腰三角形，的等腰三角形，要求等腰三角形的一個頂點與長方形的頂點重合，其要求等腰三角形的一個頂點與長方形的頂點重合，其余兩個頂點在長方形的邊上。請幫助同學們計算一下余兩個頂點在長方形的邊上。請幫助同學們計算一下所得等腰三角形的面積。所得等腰三角形的面積。中位數中位數在平面直角坐標系中，已知點在平面直角坐標系中，已知點P（2

20、，1）.xy0.PA（1）點）點T（t，0）是）是x軸上軸上的一個動點。當的一個動點。當t取何值時，取何值時，TOP是等腰三角形？是等腰三角形？情況一情況一:OP=OT情況二情況二:PO=PT情況三情況三:TO=TP)0 ,5();0 ,5(21TT T T3 3(-4,0)(-4,0)0 ,45(4T中位數中位數為對角線以情況一OP：)0 , 2(1T為對角線以情況二PA：為對角線以情況三OA：(2) 過過P作作y軸的垂線軸的垂線PA,垂足為垂足為A.點點T為坐標系中的一點。以點為坐標系中的一點。以點A.O.P.T為頂點的四邊形為平行為頂點的四邊形為平行四邊形四邊形,請寫出點請寫出點T的坐標

21、的坐標?0.PA)2, 2(2T)0 , 2(3T中位數中位數xy0.P時當情況一090PTO：時當情況二090TPO：不存在符合條件的圖T點時，90為POT得由0)0 , 2(1T)0 ,25(2TA)5, 0(3T(3) 過過P作作y軸的垂線軸的垂線PA,垂足為垂足為A.點點T為坐標軸上的一點。以為坐標軸上的一點。以P.O.T 為頂點的三角形與為頂點的三角形與AOP相似相似,請寫出點請寫出點T的坐標的坐標?中位數中位數 如圖，邊長為如圖，邊長為2的正方形的正方形ABCD中，頂點中，頂點A的坐標是的坐標是（0，2）.一次函數一次函數yxt的的圖象圖象l隨隨t的不同取值變化時，的不同取值變化時

22、，正方形中位于正方形中位于l的右下方部分的右下方部分的圖形面積為的圖形面積為S寫出寫出S與與t的的函數關系式函數關系式中位數中位數0t2t4t.212tS 20 t42 t2)4(214tS中位數中位數（20112011中考）中考）2222、如圖，在、如圖，在RtRtABCABC中，中，B B=90=90，BCBC=5=5，C C=30=30. .點點D D從點從點C C出發(fā)沿出發(fā)沿CACA方向以每秒方向以每秒2 2個單位長的速度個單位長的速度向點向點A A勻速運動，同時點勻速運動，同時點E E從點從點A A出發(fā)沿出發(fā)沿ABAB方向以每秒方向以每秒1 1個單個單位長的速度向點位長的速度向點B

23、B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動一個點也隨之停止運動. .設點設點D D、E E運動的時間是運動的時間是t t秒（秒（t t0 0）. .過點過點D D作作DFDFBCBC于點于點F F，連接，連接DEDE、EFEF. .（1 1）求證：）求證：AEAE= =DFDF；（2 2）四邊形）四邊形AEFDAEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t t值；如果不能，說明理由值；如果不能，說明理由. .（3 3）當）當t t為何值時，為何值時，DEFDEF為直角三角形？請說明理由為直角三角形？請說明理由.

24、 .中位數中位數 化歸就是轉化與歸結的簡稱，所謂化化歸就是轉化與歸結的簡稱，所謂化歸就是將所要解決的問題轉化歸結為另一個歸就是將所要解決的問題轉化歸結為另一個比較容易解決的問題或已經解決的問題。具比較容易解決的問題或已經解決的問題。具體來說，就是把體來說，就是把“新知識新知識”轉化為轉化為“舊知舊知識識”，把，把“未知未知”轉化為轉化為“已知已知”，把，把“復復雜問題雜問題”轉化為轉化為“簡單問題簡單問題”。中位數中位數多邊形內角和的探索多邊形內角和的探索整式乘法運算法則探索整式乘法運算法則探索直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關直線與圓的位置關系、圓與圓的位置關系探索系探索分式方程的解法、多元

25、方程（組）的解分式方程的解法、多元方程（組）的解法、一元二次方程的解法法、一元二次方程的解法幾何實體與其三視圖幾何實體與其三視圖中位數中位數 1、 如圖，如圖，“回回”字形的道路寬為字形的道路寬為1米，整個米，整個“回回”字形的長為字形的長為8米，寬為米，寬為7米，一個人從米，一個人從入口點入口點A沿著道路中央走到終點沿著道路中央走到終點B，他共走，他共走了了 .8米7米BA中位數中位數 2、如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色、如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由塊圖，由6個顏色不同的正方形組成，設中間個顏色不同的正方形組成，設中間最小一個正方形邊長為最小一個正方形邊長為1，則這個矩

26、形色塊圖，則這個矩形色塊圖的面積為的面積為 .中位數中位數 3 3、如圖所示，、如圖所示，ABAB是半圓的直徑，是半圓的直徑，AB=4AB=4，C C、D D為半圓的三等分點，求陰影部分的面積為半圓的三等分點，求陰影部分的面積? ?中位數中位數 4、如圖，、如圖，A是半圓上一個三等分點，是半圓上一個三等分點，B是弧是弧AN的中點，的中點，P是直徑是直徑MN上一動點，上一動點，O O的半徑為的半徑為1 1，求，求AP+BPAP+BP的最的最小值。小值。ABMNO P中位數中位數 函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析函數的思想，就是用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系，運用函數的知識，使問題得到解決運用函數的知識，使問題得到解決.這種思想方法這種思想方法在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問在于揭示問題的數量關系的本質特征，重在對問題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化，聯系題的變量的動態(tài)研究，從變量的運動變化，聯系和發(fā)展角度拓寬解題思路要確定變化過程的某些和發(fā)展角度拓寬解題思路要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，希望量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，希望通過方程通過方程(組組)來求得這些量來求得這些量.這就是方程的思想，這就是方程的思想，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系方