分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理上課精講

1、 狐貍想從草地逃到小島，可以走狐貍想從草地逃到小島，可以走水路水路, ,也可以走也可以走陸路陸路，走，走水路有水路有2 2艘船艘船，走，走陸路有陸路有3 3輛車輛車，問：乘坐這些交通工具，問：乘坐這些交通工具, ,共有共有多少種不同的方法，可以從草地逃到小島？多少種不同的方法，可以從草地逃到小島？狐貍總共有多少種狐貍總共有多少種方法逃到小島？方法逃到小島？問題剖析問題剖析(1)(1)要我們做什么事情要我們做什么事情完成這個事情有完成這個事情有幾類幾類方法方法每類每類方法能否獨立完成這件事情方法能否獨立完成這件事情每類每類方法中分別有幾種不同的方法方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種

2、不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法草地到小島草地到小島2類類能能2種、種、3種種2+3=5種種水路水路2 種種陸路陸路3 種種如果狐貍還有如果狐貍還有4 4輛自行車可以選擇呢輛自行車可以選擇呢? ?2+3+4=9種種草地草地小島小島如果狐貍還有如果狐貍還有m m3 3輛自行車可以選擇呢？輛自行車可以選擇呢？ N=mN=m1 1+m+m2 2+m+m3 3 如果狐貍從草地到小島的交通工具有如果狐貍從草地到小島的交通工具有n n類，第一類類，第一類m m1 1種，第二類有種，第二類有m m2 2種，種，.，第，第n n類有類有m mn n種不同的方法，種不同的方法，那么狐貍到安全地有多少種

3、不同的方法？那么狐貍到安全地有多少種不同的方法？N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn n狐貍總共有多少種狐貍總共有多少種方法逃到小島？方法逃到小島？水水 路路m1 種種陸陸 路路m2種種草地草地小島小島N=mN=m1 1+m+m2 2 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 N=m1+m2+mn 種不同的方法。種不同的方法。(注注:本原理又稱加法原理本原理又稱加法原理)分類計數(shù)原理分類計數(shù)原理: 完成一件事情完成一件事情, 有有n類辦法類辦法,在第一類辦法中有在第一類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第二類辦法中有在第二類辦法中有m2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第 n 類辦法

4、中有類辦法中有mn種不同的方法種不同的方法.關(guān)于分類計數(shù)原理的幾點注意：關(guān)于分類計數(shù)原理的幾點注意： 各類辦法之間相互獨立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各各類辦法之間相互獨立，都能完成這件事，且辦法總數(shù)是各類辦法相加；類辦法相加； 狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從狐貍有一共有多少種不同的方法，可以從草地草地逃逃回到自己的回到自己的家家（安全地）？（安全地）？問題剖析問題剖析(2)(2)要我們做什么事情要我們做什么事情完成這個事情要分幾完成這個事情要分幾步步每步每步方法能否獨立完成這件事情方法能否獨立完成這件事情每步每步方法中分別有幾種不同的方法方法中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少

5、種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法草地到安全地草地到安全地2 2步步不能不能5 5種、種、2 2種種5 52=102=10種種4 4種種方方法法a a1 1a a2 2 a a3 3a a4 4 a a5 5b1 b1 b2b22 2種種方方法法安全地安全地 5 5種種方方法法草地草地小島小島別別墅墅如果狐貍還有如果狐貍還有4 4種方法到種方法到別墅別墅壓驚呢壓驚呢? ?5 52 24=404=40種種 分步計數(shù)原理分步計數(shù)原理 完成一件事情完成一件事情, 需要分成需要分成n個步驟，做第個步驟，做第一步有一步有m1種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，種不

6、同的方法，做第，做第n步有步有mn種不同的方法種不同的方法,那么完成這件事共有那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法種不同的方法。(注注:本原理又稱本原理又稱乘法原理乘法原理.)關(guān)于分步計數(shù)原理的幾點注意：關(guān)于分步計數(shù)原理的幾點注意：各個步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個步驟的方法數(shù)各個步驟之間相互依存，且方法總數(shù)是各個步驟的方法數(shù)相乘；相乘； 做一件事情做一件事情，完成它可以有，完成它可以有n n類，在第一類辦類，在第一類辦法中有法中有m m1 1種不同的方法，在第二類中有種不同的方法，在第二類中有m m2 2種不同種不同的法，的法，在第，在第n n類方法中有類方法中有m mn n類

7、不同的方法，那類不同的方法，那么完成這件事情共有么完成這件事情共有種不同的方法種不同的方法 做一件事情做一件事情，完成它需要分成，完成它需要分成n n個步驟，在第個步驟，在第一步有一步有m m1 1種不同的方法，在第二步有種不同的方法，在第二步有m m2 2種不同的種不同的法，法，在第，在第n n步有步有m mn n種不同的方法，那么完成這種不同的方法，那么完成這件事情共有件事情共有（加法加法原理）原理）（乘法乘法原理）原理）分類分類計數(shù)原理計數(shù)原理分步分步計數(shù)原理計數(shù)原理N=mN=m1 1+m+m2 2+m+mn nN=mN=m1 1m m2 2m mn n種不同的方法種不同的方法相互聯(lián)系，

8、相互聯(lián)系，分步到達分步到達. .相互獨立，相互獨立，直達目的直達目的. .分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的幾點說明分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的幾點說明共同點共同點：它們都是研究完成一件事情它們都是研究完成一件事情, 共有多少種不同的方法。共有多少種不同的方法。不同點：不同點：分步計數(shù)原理是分步計數(shù)原理是“分步完成分步完成”的的, 這些方法需這些方法需要幾個分步驟要幾個分步驟,各個步驟順次相依各個步驟順次相依,且只有依次且只有依次完成所有各步，才能達到完成這件事情的目的。完成所有各步，才能達到完成這件事情的目的。因此：在處理具體問題時，必須關(guān)注以下這些問題：因此：在處理具體問題時，必須關(guān)注以下這些問

9、題：分類計數(shù)原理是分類計數(shù)原理是“分類完成分類完成”的的, 這些方法間是這些方法間是彼此獨立的，即任何一類辦法中的任何一個方彼此獨立的，即任何一類辦法中的任何一個方法都能達到完成這件事的目的。法都能達到完成這件事的目的。1.要完成一件什么事情要完成一件什么事情?2.完成這件事情有什么要求完成這件事情有什么要求?3.考慮用分類計數(shù)原理與還是分步計數(shù)原理考慮用分類計數(shù)原理與還是分步計數(shù)原理?問題剖析問題剖析(1)(1)要我們做什么事情要我們做什么事情完成這個事情有幾類方法完成這個事情有幾類方法每類方法能否獨立完成這件事情每類方法能否獨立完成這件事情每類方法中分別有幾種不同的方法每類方法中分別有幾種

10、不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法有三類方法有三類方法能能4 4種、種、3 3種、種、2 2種種4+3+2=94+3+2=9種種從書架上取一本書從書架上取一本書例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放層放有有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書。本不同的體育書。(1)從書架上任取從書架上任取1本書，有多少種不同的取法。本書，有多少種不同的取法。例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放層放有有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層

11、放有層放有2本不同的體育書。本不同的體育書。解：從書架上任意取一本書，解：從書架上任意取一本書，第第1類辦法是從第類辦法是從第1層取層取1本計算機書，有本計算機書，有4種方法種方法第第2類辦法是從第類辦法是從第2層取層取1本文藝書，有本文藝書，有3種方法種方法第第3類辦法是從第類辦法是從第3層取層取1本體育書，有本體育書，有2種方法種方法由分類計數(shù)原理知由分類計數(shù)原理知,共有共有4+3+2=9種取法。種取法。（1）從書架上任取一本書，有多少種取法？）從書架上任取一本書，有多少種取法？有有3類方法：類方法：問題剖析問題剖析(2)(2)要我們做什么事情要我們做什么事情完成這個事情有幾個步驟完成這個

12、事情有幾個步驟每個步驟能否獨立完成這件事情每個步驟能否獨立完成這件事情每個步驟中分別有幾種不同的方法每個步驟中分別有幾種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法完成這件事情共有多少種不同的方法有三個步驟有三個步驟4 4種、種、3 3種、種、2 2種種4 43 32=242=24種種從書架上每層取一本書從書架上每層取一本書不能不能例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放層放有有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書。本不同的體育書。(2) 從書架的第從書架的第1 、 2 、 3層各取層各取1本書本書,有多少種取法？有多

13、少種取法？例例1 書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算機書，第本不同的計算機書，第2層放層放有有3本不同的文藝書，第本不同的文藝書，第3層放有層放有2本不同的體育書。本不同的體育書。(2) 從書架的第從書架的第1 、 2 、 3層各取一本書層各取一本書,有多少種取法？有多少種取法？需要分三步完成需要分三步完成,第第1步步,從第從第1層取層取1本書本書,有有4種方法種方法,第第2步步,從第從第2層取層取1本書本書,有有3種方法種方法,第第3步步, 從第從第3層取層取1本書本書,有有2種方法種方法.由分步計數(shù)原理知由分步計數(shù)原理知,共有共有432=24種取法種取法解：從書架的第解：從書架的

14、第1 、 2 、 3層各取一本書層各取一本書,例例2 一種號碼鎖有一種號碼鎖有4個撥號盤個撥號盤,每個撥號盤上有從每個撥號盤上有從0到到9共共10個數(shù)字個數(shù)字,這這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字的號碼?N=10101010=104 解：要在解：要在4個撥號盤上各取個撥號盤上各取1數(shù)字組成一個四位數(shù)字的號碼，數(shù)字組成一個四位數(shù)字的號碼，由分步計數(shù)原理，由分步計數(shù)原理，4個撥號盤上各取個撥號盤上各取1數(shù)字組成四位數(shù)字組成四位數(shù)字的號碼個數(shù)是數(shù)字的號碼個數(shù)是 需要分四步完成需要分四步完成:第第1步步,從第從第1個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有10

15、種方法種方法,第第2步步,從第從第2個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有10種方法種方法,第第3步步,從第從第3個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有10種方法種方法,第第4步步,從第從第4個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有個撥號盤內(nèi)撥一個數(shù)字，有10種方法種方法,3.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的共同點：共同點：都是把一個事件分解成若干個分事件來完成；都是把一個事件分解成若干個分事件來完成；不同點：不同點：前者分類，后者分步；如果分事件相互獨立，分類完前者分類，后者分步；如果分事件相互獨立，分類完備，就用分類計數(shù)原理；如果分事件相互關(guān)聯(lián)，缺一備，就用分類

16、計數(shù)原理；如果分事件相互關(guān)聯(lián)，缺一 不可，不可，就用分步計數(shù)原理。就用分步計數(shù)原理。分類計數(shù)原理：分類計數(shù)原理：做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有 n 類辦法，在類辦法，在第一類辦法中有第一類辦法中有m1種不同的方法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第一類辦法中有m2種種不同的方法，不同的方法， ，在第，在第n類辦法中有類辦法中有mn種不同的方法。那種不同的方法。那麼完成這件事共有麼完成這件事共有 N= m1+ m2+ + mn 種不同的方法。種不同的方法。2.分步計數(shù)原理：分步計數(shù)原理：做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一個步驟，做第一步有步有m1種不同

17、的方法，做第二步有種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，種不同的方法， ，做第做第n步有步有mn種不同的方法。那麼完成這件事共有種不同的方法。那麼完成這件事共有 N= m1 m2 mn 種不同的方法。種不同的方法。分類加法計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理 男生數(shù)男生數(shù)女生數(shù)女生數(shù)總數(shù)總數(shù)高三高三(1)班班302050高三高三(2)班班303060高三高三(3)班班352055練習(xí)練習(xí)2： 要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3名工人中選出名工人中選出2名分別名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？上日班和晚班，有多少種不同的選法？. 623N解：從解：從3名工人中選出名工人中選出2名分別上日班和晚班，名分

18、別上日班和晚班，可以看成是經(jīng)過先選可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選名上日班，再選1名上晚班名上晚班這兩個步驟完成：這兩個步驟完成：先選先選1名上日班，共有名上日班，共有3種選法；種選法；上日班的工人選定后再選上日班的工人選定后再選1名上晚班，上晚班的工人有名上晚班，上晚班的工人有2種選法，種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理根據(jù)分步計數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是所求的不同的選法數(shù)是 （先定班，再安排人）（先定班，再安排人）也可以看成是也可以看成是先定人，再安排先定人，再安排班這兩個步驟完成：班這兩個步驟完成：3人中選兩人，有人中選兩人，有3種方法種方法兩個人分別上日班和晚班，有兩個人分別上日班和晚班，有

19、2種方法種方法. 623N根據(jù)分步計數(shù)原理根據(jù)分步計數(shù)原理,所求的不同的選法數(shù)是所求的不同的選法數(shù)是 分步乘法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理 百位百位 十位十位 個位個位1、把四封不同的信任意投入三個信箱中、把四封不同的信任意投入三個信箱中,不同投法種數(shù)不同投法種數(shù)是是( ) A. 12 B.64 C.81 D.72、火車上有、火車上有10名乘客，沿途有名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可個車站，乘客下車的可能方式有能方式有 （ ）種）種A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不對以上都不對CA35個高中應(yīng)屆畢業(yè)生報考個高中應(yīng)屆畢業(yè)生報考3所重點院校，每人報且僅報一所重點院校，每人報且僅

20、報一所院校，則不同的報名方法共有（所院校，則不同的報名方法共有（ ）種。）種。 （A）35 （B）53 （C）15 （D）6A4A=1，2，3，4，B=5，6，7，則從則從A到到B的映射有的映射有 個。個。816. 四名研究生各從四名研究生各從A、B、 C三位教授中選一位三位教授中選一位作自己的導(dǎo)師，共有作自己的導(dǎo)師，共有_種選法；三名教授種選法；三名教授各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有各從四名研究生中選一位作自己的學(xué)生，共有_種選法。種選法。43 5. 某中學(xué)的一幢某中學(xué)的一幢5層教學(xué)樓共有層教學(xué)樓共有3處樓梯口處樓梯口,問從問從1樓到樓到5樓共有多少種不同的走法樓共有多少種不同的走

21、法?答：答： 3333=34=81（種）（種） 34 7乘積乘積( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展開后共有項？展開后共有項？ 10由壹元幣由壹元幣3張，伍元幣張，伍元幣1張，拾元幣張，拾元幣2張，可以組成張，可以組成 種不同的幣值。種不同的幣值。238已知集合已知集合A=x| 2x10，xZ，m, nA，方程，方程221xymn表示長軸在表示長軸在x軸上的橢圓，則這樣的橢圓共有軸上的橢圓，則這樣的橢圓共有（A）45個個 （B）55個個 （C）78個個 （D）91個個9從從1，2，3，4，7，9中任取不相

22、同的兩個數(shù)，分別作為對中任取不相同的兩個數(shù)，分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可得到數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可得到 個不同的對數(shù)值個不同的對數(shù)值17A兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用 易錯防范易錯防范如圖如圖, ,要給地圖要給地圖A A、B B、C C、D D四個區(qū)域分別涂上紅，黃，四個區(qū)域分別涂上紅，黃，藍種不同顏色中的某一種藍種不同顏色中的某一種, ,允許同一種顏色使用多次允許同一種顏色使用多次, ,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色, ,不同的涂色方案有多不同的涂色方案有多少種？少種？共共3 32 21 11 1=6=6（種）（種）A AB BC CD D3 3種種2 2種

23、種1 1種種1 1種種理論理論分析：分析：題型四：題型四：涂色問題涂色問題A AB BC CD D實際實際操作：操作：解解: 按地圖按地圖A、B、C、D四個四個區(qū)域依次分四步完成區(qū)域依次分四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 種種, 第二步第二步, m2 = 2 種種, 第三步第三步, m3 = 1 種種, 第四步第四步, m4 = 1 種種,所以根據(jù)乘法原理所以根據(jù)乘法原理, 得到不同得到不同的涂色方案種數(shù)共有的涂色方案種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6 種。種。A AB BC CD D變式：變式：如圖如圖, ,要給地圖要給地圖A A、B B、C C、D D四個區(qū)域分別涂上四個區(qū)域分別涂上紅，黃，藍種不同顏色中的某一