半導(dǎo)體物理-本科-第1章

1、半導(dǎo)體物理半導(dǎo)體物理季振國，杭州電子科技大學(xué)2014年度諾貝爾物理學(xué)獎 瑞典皇家科學(xué)院10月7日宣布，2014年諾貝爾物理學(xué)獎將頒給日本科學(xué)家赤崎勇、天野浩以及美籍日裔科學(xué)家中村修二，理由是他們發(fā)明了節(jié)能環(huán)保的“高亮度藍(lán)色發(fā)光二極管”，使推出新型LED燈泡、替代耗能更大的白熾燈成為可能，這一發(fā)明引發(fā)了照明科技的根本性轉(zhuǎn)變。 LED就是發(fā)光二極管。 發(fā)光二極管的理論基礎(chǔ)就是半導(dǎo)體物理，物質(zhì)基礎(chǔ)是半導(dǎo)體材料。0. 引 言石器時代青銅器時代鐵器時代硅（電子材料）時代 信息材料時代 半導(dǎo)體材料與器件是現(xiàn)代信息社會的物質(zhì)基礎(chǔ)。一個時代使用的材料決定了該時代的生產(chǎn)力發(fā)展水平。5000 4000 3000

2、2000 1000 0 1000 2000 3000 4000石器時代石器時代 35000年年銅器時代銅器時代 1800年年鐵器時代鐵器時代 3200年年硅時代硅時代?年年3000BC 1200BC 1968什么是半導(dǎo)體材料？半導(dǎo)體材料與器件 前景美好，但發(fā)展空間很大 新材料、新器件不斷涌現(xiàn) 光電材料與器件 光子材料與器件 新能源材料與器件 納米電子學(xué)及器件 量子電子學(xué)與器件為什么要學(xué)習(xí)半導(dǎo)體物理 從本質(zhì)上了解器件的特性、適用范圍及局限性。 可以更加有目的地選擇合適的器件。 可以更好地設(shè)計(jì)器件結(jié)構(gòu)。 開發(fā)器件的新功能。 發(fā)現(xiàn)基于新原理的新器件。第1章. 量子力學(xué)初步器件尺寸減小經(jīng)典電子學(xué)不再適

3、用。截止2014年，器件的特征線寬已經(jīng)降到多少nm？低維材料：納米點(diǎn)、納米線、納米管、二維電子氣、團(tuán)蔟等經(jīng)典電子學(xué)不再適用。量子電子學(xué)及器件經(jīng)典電子學(xué)不再適用。需要全新的理論來分析未來電子器件的工作原理。1.1 量子力學(xué)的誕生主要基于三個物理實(shí)驗(yàn) 黑體輻射 光電效應(yīng) 原子光譜 1.12 黑體輻射 能吸收入射到其上面全部輻能的物體稱為絕對黑體，簡稱黑體。 輻射出去的電磁波在各個波段是不同的，也就是具有一定的光譜分布。 這種光譜分布與黑體的其溫度有關(guān)，因而被稱之為熱輻射。 實(shí)際物體不少嚴(yán)格的黑體，不能100吸收輻射能，但基本情況與黑體相同。 白熾燈的顏色與溫度有關(guān)？題外話 做研究一定要有好奇心、想

4、象力，多問問什么？ 如早晚的太陽為什么比中午的大？ 錢塘江的潮水是如何形成的？潮水的速度是多少？每天為什么有時差？ 南北半球的季節(jié)為什么是相反的？ 你穿的衣服上標(biāo)注的英文字母有什么意義？ THIS IS A DOG. This is a dog.l lmKelvinin ,in ,2896TmTmmll黑體輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論基爾霍夫輻射定律基爾霍夫輻射定律 在熱平衡狀態(tài)的物體所輻射的能量與吸收的能量之比與物體本身的物性無關(guān),只與波長和溫度有關(guān) 。維恩模型：輻射按波長分布符合麥克斯韋速率分布dvevCdvvTvC231)(結(jié)果：短波端符合，長波端不符。050010001500200025003

5、0000.00.20.40.60.81.0輻 射強(qiáng)度/任意單位波 長 /納米 維恩 實(shí)驗(yàn)瑞利金斯模型 根據(jù)經(jīng)典電動力學(xué)認(rèn)為空腔腔壁是由電諧振子組成，單位體積內(nèi)頻率在vv+dv之間的振動方式數(shù)為 ，dvCv328令每一振動方式能量為kT，得llkTdcdvv48)(結(jié)果：長波端符合，短波端不符，而且總輻射能發(fā)散（紫外災(zāi)難）。1927年Nobel物理學(xué)獎01000200030000.00.20.40.60.81.0輻 射強(qiáng)度/任意單位波 長 /納米 瑞利金 實(shí)驗(yàn)困擾 無論用用什么模型模型，均不能解釋黑體輻射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 19世紀(jì)的物理學(xué)難題之一。普朗克的量子模型1、能量子： 黑體輻射由帶電的諧振子

6、（原子）組成，諧振子以確定的頻率振蕩，諧振子的能量只能取分立值hv的整數(shù)倍，即0hv，1hv，2hv，。hv稱為能量子，其中h = 6.6260755 x 10-34 Js為普朗克常數(shù)，v為振蕩頻率。 2、黑體只能以 hv 為能量單位以不連續(xù)的方式發(fā)射和吸收能量。dvechvvkThv118)(33根據(jù)這個假定，頻率為v的諧振子的平均能量為00,)(nkTnhvnkTnhvTveehvnkThv令， ，則上式可以化為1111)1 (1111200,ehvehveeeehveeddhveeddhvnnnnTvkTdvCvdvv328)( 將這個平均能量取代瑞利金斯公式中的熱運(yùn)動能將這個平均能量取

7、代瑞利金斯公式中的熱運(yùn)動能kT，得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很好的黑體輻射公式：，得到了與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很好的黑體輻射公式： llllldehcdehvcdvkThvkThv11818524dvechvdvkThv11823l瑞利金斯瑞利金斯 當(dāng)頻率很高或很低時，普朗克公式分別趨近維恩公式和瑞利金斯公式。dvevCdvvTvC231)(kTdvCvdvv328)(dvechvvkThv118)(33維恩維恩瑞利瑞利-金金普郎克普郎克重要啟示光波的能量是不連續(xù)的光量子赫茲:1888年發(fā)現(xiàn)存在紅限（長波長限），即光的波長必須小于某一確定的值。能否發(fā)出光電子與光的強(qiáng)度無關(guān)，只與頻率相關(guān)。 1.1.3 光電效應(yīng)

8、光電效應(yīng)理論光由光子組成光子的能量： 光子的動量：光速：c hEk 受普朗克黑體輻射光量子的啟發(fā)，愛因斯坦于1905提出光電效應(yīng)理論, Nobel Prize 1921。F為材料的功函數(shù) ,或hkhpl電子獲得的動能：電子獲得的動能： 當(dāng)光照射到金屬表面時，能量為 hv的光子被金屬內(nèi)的電子所吸收，光子把能量全部交給電子。 電子把光子能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引（功函數(shù)），另一部分轉(zhuǎn)化為提供電子離開金屬表面時的所攜帶的動能。 對光電效應(yīng)的幾個典型特點(diǎn)進(jìn)行分析1、 紅限或臨界頻率 當(dāng)頻率小于某個確定值或波長大于某個值時，光子的能量太小以至獲得能量后的電子沒有足夠的能量克服金屬表面的功函數(shù)

9、而脫出金屬表面，因而沒有光電子產(chǎn)生。2、光電子的動能只決定于光子的頻率 把光看成光子后，光與電子的作用就好像兩個經(jīng)典粒子的碰撞，碰撞后光子把能量全部交給電子，因此電子的能量就是光子原先帶有的能量hv?？紤]到功函數(shù)的影響，逸出金屬后光電子的動能為 ，與光強(qiáng)無關(guān)。3、光的強(qiáng)度與光子的能量無關(guān)，只決定光子的數(shù)目多少，從而決定逸出光電子的數(shù)目的多少 。 但是，光波的能量與光的強(qiáng)度有關(guān)。 hEk 愛因斯坦的光電效應(yīng)理論明確了光的粒子性，即光除了波動性質(zhì)外，在某些情況下，還具有粒子的特性。 光的波粒二象性。 1.1.4 Compton 效應(yīng) 1927年Nobel物理學(xué)獎1、X射線光波入射到由輕元素組成的材

10、料后，在散射光中，發(fā)現(xiàn)了新的X射線，其波長比入射X射線長，即產(chǎn)生了能量減小了的光波。2 、 波長增量= 隨散射角增大而增大。 經(jīng)典電動力學(xué)：電磁波被電子散射后，其波長不應(yīng)該發(fā)生改變。 ,或hkhpl光子能量光子動量 基于愛因斯坦之光電效應(yīng)中的成功，康普頓用光子的概念來解釋X射線的散射現(xiàn)象，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全符合。 利用經(jīng)典力學(xué)中的剛體彈性碰撞模中的能量和動量變化公式，可以證明，散射后X射線的波長改變?yōu)?)cos1 (lmch重要啟示光確實(shí)具有粒子的特性 光的波粒二象性背景：十九世紀(jì)末，人們確信： 1、光是電磁波，如衍射、干涉等現(xiàn)象； 2、 光波的能量與光強(qiáng)有關(guān)。最終結(jié)論：光同時具有波、粒二象特

11、性波動性：干涉、衍射。粒子性：黑體輻射、光電效應(yīng)， Compton散射。逆向思維 原先認(rèn)為的粒子是否反過來也具有波的特性？ 是。原子的光譜實(shí)驗(yàn)： 原子光譜為線狀光譜，即是分立光譜而不是連續(xù)的光譜。氫原子光譜： 譜線出現(xiàn)位置的頻率的經(jīng)驗(yàn)公式是： 式中v為頻率，RH為里德堡常數(shù)（R=109737），c為光束，m、n為大于零的整數(shù)。mnnmRH 1122 1.1.5 原子光譜及原子的結(jié)構(gòu)原子光譜氫原子光譜 氦原子光譜 1. 原子為什么不會崩塌？2. 為什么原子的光譜是線狀光譜，它的產(chǎn)生機(jī)制是什么？3. 原子光譜線的頻率為什么有這樣簡單的規(guī)律？4. 原子光譜線公式中的兩個參數(shù)為何正好是整數(shù)? mnnm

12、RH 1122有關(guān)原子的困擾（1）原子的核心模型 1912年，盧瑟福通過a粒子散射實(shí)驗(yàn)，提出原子的核心模型，即帶正電的原子核在原子的中心，而帶負(fù)電的外圍電子均勻分布在原子中。依據(jù)：盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在a粒子散射實(shí)驗(yàn)中，在大角度方向也有散射后的a粒子。這就說明原子中存在一個帶正電的核，因?yàn)橹挥羞@樣，才有可能讓a粒子發(fā)生大角散射。 （2）波爾的原子模型1912年，盧瑟福通過a粒子散射實(shí)驗(yàn)，提出原子的核心模型，但外圍電子均勻分布。經(jīng)典理論：電子將做加速運(yùn)動，導(dǎo)致發(fā)射波長連續(xù)分布的電磁波而被原子核俘獲。無法用盧瑟福的原子模型解釋原子的發(fā)射光譜。2211mnRc波爾的原子模型定態(tài)：穩(wěn)定態(tài)，原子結(jié)構(gòu)的太

13、陽系模型。電子只能在一些特定的軌道上繞核運(yùn)動這些軌道彼此分立電子的能量（軌道角動量）只能取不連續(xù)值（索末菲）。電子在這樣的軌道上運(yùn)動時，不吸收也不放出能量若電子在軌道間發(fā)生躍遷，則放出和吸收能量，吸收或放出的能量為2211mnRchEEnm 假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動，則向心力 ，所以 。把v2代入得，當(dāng) ，即第一波爾半徑，此時氫原子位于基態(tài)。 氫原子中處于某一能級的電子的能量為由于 ，所以E ，即 222rermvFcmrev22，得量子化由角動量nrmvprL| 222)(nrmv22222222,menrnmremr所以220 1mern 時，remvVTEn2221)2(222m

14、enrreremrem221222.3 , 2 , 1 ,2224nnmeEn氫原子重要推論 原子中電子可取的能量值是分立的或不連續(xù)的。 1.1.6 弗朗克赫茲弗朗克赫茲 024681012141601234567電流 /任意單位電壓/伏氣體電離實(shí)驗(yàn)證明了原子中電子的能級結(jié)構(gòu)。 波爾的原子模型及量子論雖然很好地解釋了氫原子的線狀光譜結(jié)構(gòu)，但存在明顯的局限性。1、不能說明較復(fù)雜的原子的光譜，即使是比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜也不能很好解釋；2、無法給出光譜中各譜線的相對強(qiáng)度；3、只能處理原子那樣的定態(tài)運(yùn)動，不能處理處于非束縛狀態(tài)的電子問題，如電子的散射與衍射問題；4、從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)

15、典力學(xué)不相容，完全是一種人為的假定，沒有從物理本質(zhì)上說清楚。需要一種全新的物理理論需要一種全新的物理理論 量子力學(xué)的誕生。量子力學(xué)的誕生。量子力學(xué)的誕生 1.2 物質(zhì)波德布羅意：受愛因斯坦光電理論啟發(fā)，逆向思維提出實(shí)物粒子也應(yīng)具有波粒二象性。)(25.122nmEmEhphkkl對高速運(yùn)動的粒子，考慮到相對論效應(yīng)2001cvmvhmvhphl若Ek的單位為電子伏，則 ,或hkhpl與光子類比實(shí)例：電子衍射實(shí)驗(yàn)， Davisson-Gemer1937年Nobel物理獎Gemer實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：電子束入射到金屬Ni表面后，在各個角度都有散射，特別是在50度附近發(fā)現(xiàn)散射電子峰。經(jīng)典力學(xué)和經(jīng)典電動力學(xué)：電子

16、是粒子，散射只能發(fā)生在某一個特定的角度，更不可能發(fā)生衍射現(xiàn)象。電子槍的加速電壓：54V，即入射電子的動能為54eV；鎳單晶的晶格常數(shù)為0.215nm。散射極大值出現(xiàn)角度：約50度。經(jīng)典力學(xué)lsind按照物質(zhì)波電子的動能=54eV電子波的波長=0.167nm;鎳單晶的晶格常數(shù)0.215nm，則由 電子的衍射極大對應(yīng)的角度應(yīng)為50.96度，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果非常接近。電子除了粒子性外，還具有波動性。電子除了粒子性外，還具有波動性。 電子的衍射現(xiàn)象在經(jīng)典力學(xué)中是無法解釋的，但用物質(zhì)波的概念可以非常圓滿地得到解釋，這種現(xiàn)象是一點(diǎn)也不奇怪的，相反，它正好證明了電子的波動性質(zhì)。 到此為止，我們已經(jīng)有了物質(zhì)波的概念

17、，那么：1、怎樣來描述物質(zhì)波？2、物質(zhì)波中含有哪些信息？3、物質(zhì)波的波函數(shù)是什么？4、物質(zhì)波的波函數(shù)是否也能像光的波函數(shù)一樣可以完整地描述該粒子的所有性質(zhì)？ 1.3 力學(xué)量算符與薛定鄂方程力學(xué)量算符與薛定鄂方程Schrodinger ,或hkhpl光波)(),(tkxiAetx光子能量：光子動量：Etiiti)(pkikixi)(物理量算符：xiptiExx , ,物體波：),(tx薛定鄂方程薛定鄂方程)()(2222xExVxm動能勢能總能量幾率波函數(shù)哈密頓量tixVxmVTE)(2222xi 動量tiE prLprL)()()(xyyxipypxLzxxzipxpzLyzzyipzpyLx

18、yzzxyyzx角動量算符1.4 定態(tài)波函數(shù) 若薛定格方程中的V(r)與t無關(guān)，則可通過分離變量法進(jìn)行時空分離。定波函數(shù)分為時間和空間兩部分，即令 ，則所以)()(),(tfrtr)(2)()()(22rVtftfdtdriErVrtfdtdtfi)(2)(1)()(122)()(2)()(22rErVtEftfdtdi因此， 這樣就把一個含有時間參量的薛定格方程轉(zhuǎn)化成了一個不含時間參量的薛定格方程。 不含時間的薛定格方程稱為定態(tài)薛定格方程，此時體系能量有確定的值，相應(yīng)分波函數(shù)(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。 tEietf)(Etiertr)(),(空間波函數(shù)(r)可由方程求得)()(222rErV

19、什么是物質(zhì)波？什么是物質(zhì)波？ 認(rèn)為物質(zhì)波由粒子組成，如日常生活中的水波，聲波，是由于粒子密度疏密變化而形成的一種分布。 這種觀點(diǎn)不能解釋長時間單個電子的衍射實(shí)驗(yàn)。即讓電子一次一個地通過小孔，只要時間足夠長，底片上仍能觀測到衍射花紋。單電子衍射實(shí)驗(yàn)說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，而是單個電子就具有波動性。另外，氫原子中只含一個電子，但其中的電子具有波動性。 物質(zhì)波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。1 1、物質(zhì)波由粒子？、物質(zhì)波由粒子？ 認(rèn)為粒子由波組成，即把粒子看成是波包的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)的波包，因

20、此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。 波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動速度。 但是自由粒子的波函數(shù)為平面波，其特點(diǎn)是充滿整個空間，平面波振幅與位置無關(guān)。 如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間而導(dǎo)致發(fā)散，這是沒有意義的，也是與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾，因?yàn)樵S多實(shí)驗(yàn)上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)，例如原子中的電子其范圍不會超過原子大小的幾倍或幾十倍 。 2 2、粒子由波組成？、粒子由波組成？ 粒子既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波 ，或者說它既是粒子又是波，是粒子和波動二重性的統(tǒng)一”。 這個波不再是經(jīng)典概念的波，而是幾率波，表示粒子在某個時刻在某處出現(xiàn)的幾率。 同樣，粒子也不是經(jīng)典概念中

21、的粒子，而是具有衍射、干涉等相干疊加性的粒子。3 3、物質(zhì)波究竟是什么？、物質(zhì)波究竟是什么？ 1.5 波函數(shù)的性質(zhì) 在經(jīng)典概念中，粒子有確定質(zhì)量和電荷等“顆粒性”的屬性，在運(yùn)動過程中有可預(yù)測的運(yùn)動軌道，每一時刻有可以測量的位置、速度和加速度。而經(jīng)典概念中的波是某個物理量在空間的周期性變化，具有干涉、衍射等現(xiàn)象，即相干疊加性。假定波函數(shù)為C (r,t)，則根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，在時間t，在r點(diǎn)dV = dx dy dz體積元內(nèi)找到由描寫的粒子的幾率為：式中W為出現(xiàn)幾率，C是歸一化系數(shù)。dVtrCtrdW),(),(21.6 歸一化波函數(shù) 雖然某時刻粒子出現(xiàn)代位置不確定，但由于粒子總要出現(xiàn)在空間對

22、某一位置（加入沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即： 1),(),(2dVtrCtrdW對波函數(shù)的要求： 必須是絕對值平方可積的函數(shù)，或者積分區(qū)域有限，即粒子出現(xiàn)的空間不是無限大。 由此可以求得歸一化常數(shù) C。|),(),(),()(),(*FdxxExEdxxExFxEF力學(xué)量平均值 從統(tǒng)計(jì)學(xué)可知，當(dāng)可能值為離散值時，一個物理量的平均值等于物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率求和； 當(dāng)可能值為連續(xù)取值時：一個物理量出現(xiàn)的各種可能值乘上相應(yīng)的幾率密度求積分。 |),(),(),()(),(*FxExExExFxEFiiiiii離散連續(xù)1.7 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋：實(shí)例 單個

23、電子也具有衍射特性 一次入射許多電子產(chǎn)生的衍射圖像與一次只入射一個電子但入射次數(shù)非常多產(chǎn)生的衍射圖像是一致的。 入射前后電子的波函數(shù)之間相互關(guān)聯(lián)。勞厄衍射公式)(expEtrpiAp),()(),(trpctrpp入射波散射波即終態(tài)可表示成p取各種可能值的平面波的線性疊加。反射前后分別處于p和p的幾率為 ppVrpitErpipVdVeeApcdVpErpE)Et()(*)() r ,(),(*彈性散射:E=E pVrppipVrpirpidVepcAdVeepcA)(*)()( 從數(shù)學(xué)上可知， 等價(jià)于d函數(shù)， 因此，只有當(dāng) 且n為整數(shù)時上式中的積分才不為0。 VrppidVe)(nrpp2)

24、(電子衍射的量子力學(xué)解釋 對于晶體，由于r只能取分立的值，因此 也只能取分立值。即散射電子只能出現(xiàn)在某些特定的方向上。 不難看出， 就是要求波矢的改變值等于倒格矢。 可見，通過量子力學(xué)完全可以預(yù)期電子被晶體衍射的情況。)(ppnrpp2)(波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋 電子衍射實(shí)驗(yàn)揭示： 許多電子在同一個實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，或者是一個電子在許多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是等價(jià)的。玻恩（Born）正是在此實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上，提出了前面所述的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，它是量子力學(xué)的基本原理。 1.8 求解定態(tài)問題的步驟如何應(yīng)用薛定格方程求解物質(zhì)的運(yùn)動狀態(tài)呢？一般來說，求解薛定格方程的步驟如下：1. 列出定態(tài) Schrodinger

25、方程；2. 根據(jù)邊界條件求解能量為E的本征值問題，求出定態(tài)波函數(shù)及相應(yīng)的本征值；3. 確定歸一化系數(shù)。最終歸結(jié)為一個二階微分方程的求解問題。1.9 定態(tài)問題求解實(shí)例 自由電子 一維無限深勢阱 一維有限深勢阱 諧振子 周期勢 氫原子 勢壘散射與透射 測不準(zhǔn)關(guān)系 電子的自旋 微擾與量子躍遷 泡里不相容原理HeisenbergDirac 勢能V=0時的電子稱為自由電子。自由電子薛定格方程的解為平面波，范圍涉及整個空間。但是，實(shí)際上電子不可能在整個空間運(yùn)動，例如晶體中的電子只能在邊長為L的晶粒中運(yùn)動。1.9.1 自由電子)()()()(22222222rEzryrxrmzpizypiyxpixrpip

26、zyxeAeAeAAerF )(Ekm 222221020LLxdxxeeLxLLikxikxxLLikxikxLikxikxxkLkxdxeikieLdxexiheLp000)(11,zzyykpkp 由于整個空間中只有一個粒子，雖然我們不知道某一時刻它出現(xiàn)在何處，但這個粒子肯定只能出現(xiàn)在這個巨大長方體的某處。因此我們有 VAdxdydzeAeAeAeAeAeArdrprpzyxzyxzyxzyxLLLLLLzpizypiyxpixzpizypiyxpixV22/, 2/, 2/2/, 2/, 2/*),(),(1VAAAAzyx1)(因此自由粒子的歸一化波函數(shù)為1)(rpipeVrF歸一化

27、波函數(shù)歸一化波函數(shù)0a1.9.2一維無限深勢阱中的粒子axxaxxV或, 00|, 0)(勢阱區(qū)域內(nèi)的薛定格方程及邊界條件為 0)( 0)0(00)(2)(222aaxxExdxdIIII方程可簡化為：這里不難求出，區(qū)域II的波函數(shù)的通解為 Ek222ikxikxIIBeAe由(0) = (a) = 0，要求aBeAeBAikaika x 00 x 0所以A=-B, 因此,sin2)(kxAxII0sin2kaA注意n不能為0，因?yàn)槿绻鹡=0，則波函數(shù)在所有位置都為0，即總的出現(xiàn)幾率為0，這與勢阱中存在一個粒子以及粒子的波動性的假設(shè)是矛盾的。.321 ,a , , , nnktEinexana

28、txsin2),(xanatx22sin2),(2222manEnEk222對波函數(shù)的平方在整個空間積分，其值應(yīng)為1，即最后，我們得到歸一化后的波函數(shù)。12sin|220 xdxanAaaAaA22|2，因此歸一化系數(shù)得：xanaxnsin2)( 對于第n個能級，波函數(shù)n有 n 個節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)中粒子在勢阱中運(yùn)動時每一點(diǎn)上都可能找到粒子，沒有節(jié)點(diǎn)。 波函數(shù) 幾率0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5X n=1 n=2 n=30.000.250.500.751.001.251.501.752.000.0

29、0.51.01.52.02.53.0(x)2x粒子的能量-分立能級1.勢阱中的粒子處于束縛態(tài)。2.處于束縛態(tài)的粒子的能量不能取連續(xù)值，其能量本征值是分立能級。3.粒子不可能出現(xiàn)在勢阱中的某些位置。4.處于束縛態(tài)的粒子的能量不能為0，因?yàn)椤办o止的波”是沒有意義的。 從無限深勢阱得到的結(jié)論1.9.3 一維有限深方勢阱實(shí)際上，無限深的勢阱是不存在的，因此一般情況下，勢阱的高度上有限的 axxVaxxV或, 00|, 0)(0令 00)()(2)(0222xxVExdxdII)()(222xdxxdIIaxxIBeAexaa)( 0E)-2m(V0a區(qū)域I考慮到 ，波函數(shù)應(yīng)有限，所以 。 xxIexa

30、A)(區(qū)域IIaxxExdxdIIII00)(2)(222ikxikxIIIIeexxkdxxdDC)( ),()(II222解得令 axxVExdxdIIIIII0)()(2)(0222)()(222xdxxdIIIIIIaxxIIIFeEexaa)( 0E)-2m(V0a區(qū)域I考慮到 ，波函數(shù)應(yīng)有限，所以 。 xxIIIexaE)(x ax- -ax- )(aFeaDeCeAexxikxikxxaa有限深勢阱中波函數(shù)從邊界處波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)該連續(xù)這個條件，可得00000000FeDikeCikeAFeDeCeAFikDikCAFDCAaikaikaaikaikaaaaa00000111FD

31、CAeikeikeeeeikikaikaikaaikaikaaaaa以矩陣表示，即00000111aikaikaaikaikaeikeikeeeeikikaaaa要使波函數(shù)有非零解，系數(shù)矩陣地行列式必須為0，即 具體的解的形式比較復(fù)雜，而且得不到k的顯式解。但由于上式對k起來限制作用，使得k不能取任意值而只能取一些分立的值。 波函數(shù)的基本情況與無限深勢阱時的相似，但與無限深勢阱不同的是，盡管能量E小于勢阱的高度，但粒子仍有一定的幾率出現(xiàn)在阱外。 0.00.51.01.52.00.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5X n=1 n=2 n=3 粒子透入阱外的深度即

32、透入深度。不難看出勢阱越深，透入深度d越小。當(dāng)勢阱深度無限深時，即V0，時d 0，即回到無限深勢阱的情形。 E)-2m(V 10ad勢阱外粒子出現(xiàn)的幾率不為0！波的特性之一量子力學(xué)經(jīng)典力學(xué)1.9.4 諧振子 kxxkxdtxd 其中0222 其解為 x=Asin(t+)，是一個簡諧波，因而這種運(yùn)動稱為簡諧振動，作這種運(yùn)動的粒子叫諧振子。 在經(jīng)典力學(xué)中，一個質(zhì)量為 的粒子，在彈性力F = - kx作用下由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動方程為： 自然界中存在大量的簡諧振動，如原子在平衡位置附近的小振動，分子的振動等。 在 x =x0 處，V 有一極小值V0 。則在 x = x0附近，勢場可以展開成泰勒級

33、數(shù)： 202200)(! 21)(! 11)()(00 xxxVxxxVxVxVxxxx20220)(! 210 xxxVVxx200)(21xxkV022xxxVk其中：0)(000 xxxVxVV，若取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(x0,V0)，則上述勢場可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢的形式：221)(kxxV2k令2221Vx 一些在平衡點(diǎn)附近運(yùn)動的粒子往往可以用線性諧振動來近似描述。，xdxdVF2線性諧振子的 哈密頓量22222222212212xdxdxpH薛定格方程0)(2120)(2122222222222xxEdxdxxEdxd或：則方程可改寫為：，其中令：aaxllExdd20)(222其中漸近解，即當(dāng) 時波函數(shù)的行為。在此情況下，V0的情況axaxVExEE000003232022121222202)(222221,VEEkk令：區(qū)區(qū)區(qū)IIIaxkIIaxkIxk00000321322221211xikxikxikxikxikxikeCCeeBBeeAAe112211321解得：式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波，即反射波。由于在xa的III區(qū)不可能存在反射波，所以C=0，于是解為：xikxikxikxikxikCeeBBeeAAe12211321根據(jù)波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界處