2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷

1、2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1、已知（其中為虛數(shù)單位），則 2、已知?jiǎng)t 3、若,則圓心坐標(biāo)為 4、如圖邊長為3的正方形則 5、已知?jiǎng)t 6.已知二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為，則_7、已知,目標(biāo)函數(shù)，則的最大值為 8、已知無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為則數(shù)列的各項(xiàng)和為 9、在圓柱底面半徑為,高為,為上底底面的直徑,點(diǎn)是下底底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則面積的范圍 10.甲、乙兩人在花博會(huì)的A、B、C、D不同展館中各選個(gè)去參觀，則兩人選擇中恰有一個(gè)館相同的概率為_11、已知拋物線,若第一象限的點(diǎn)在拋物線上，

2、拋物線焦點(diǎn)為則直線的斜率為 12.已知，且對任意都有或中有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為_二、選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）13、以下哪個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（ ）A. B. C. D.14、已知參數(shù)方程,以下哪個(gè)圖像是該方程的圖像 （ ）15.已知，對于任意的，都存在，使得成立，則下列選項(xiàng)中，可能的值是（ ） 16、已知兩兩不同的滿足，且，則下列選項(xiàng)中恒成立的是（ ） 三、解答題（本大題共有5題，滿分76分,解答下列各題必須寫出必要的步驟)17、如圖，在長方體中，（1)若是邊的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2)求與平面所成的角的大小.18、在中，已知（1)若求的面積；（2)若,

3、求的周長.19.已知某企業(yè)今年（2021年）第一季度的營業(yè)額為億元，以后每個(gè)季度（一年有四個(gè)季度）營業(yè)額都比前一季度多億元，該企業(yè)第一季度是利潤為億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長. （1）求2021第一季度起20季度的營業(yè)額總和；（2）問哪一年哪個(gè)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？20、已知是其左右焦點(diǎn)，,直線過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，且在線段上.（1)若是上頂點(diǎn)，求的值；（2)若且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；（3)證明：證明：對于任意總存在唯一一條直線使得.21、如果對任意使得都有,則稱是關(guān)聯(lián)的.（1)判斷并證明是否是關(guān)聯(lián)？是否是關(guān)聯(lián)？（2)是關(guān)聯(lián)的，在上有,解不等式；（3)“是關(guān)聯(lián)的，且

4、是關(guān)聯(lián)”當(dāng)且僅當(dāng)“是關(guān)聯(lián)的”2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1.已知（其中為虛數(shù)單位），則 【思路分析】復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別相加【解析】：【歸納總結(jié)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2、已知?jiǎng)t 【思路分析】求出集合A，再求出 【解析】：，所以【歸納總結(jié)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題3、若,則圓心坐標(biāo)為 【思路分析】將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直接讀取圓心坐標(biāo)【解析】：可以化為所以圓心為【歸納總結(jié)】本題主要考查了圓的方程，屬于基礎(chǔ)題4、如圖邊長為3的正方形則 【思路分析】利用向量投影轉(zhuǎn)

5、化到邊上.【解析】方法一：方法二：由已知，則；【歸納總結(jié)】本題考查了平面向量的數(shù)量積的定義、正方形的幾何性質(zhì)；基礎(chǔ)題；5、已知?jiǎng)t 【思路分析】利用反函數(shù)定義求解.【解析】由題意，得原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，結(jié)合反函數(shù)的定義，得，解得，所以，；【歸納總結(jié)】本題主要考查了反函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.已知二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為，則_【思路分析】利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求解.【解析】【歸納總結(jié)】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、組合數(shù)公式與指數(shù)冪運(yùn)算；基礎(chǔ)題。7、已知,目標(biāo)函數(shù)，則的最大值為 【思路分析】作出不等式表示的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義求最值.【解析】如圖，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)為：、，結(jié)合直線

6、方程與的幾何意義，得，則；當(dāng)【歸納總結(jié)】本題主要考查線性規(guī)劃的規(guī)范、準(zhǔn)確作圖與直線方程中“參數(shù)”的幾何意義與數(shù)形結(jié)合思想；8、已知無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和為則數(shù)列的各項(xiàng)和為 【思路分析】利用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式建立方程求出公比，再得到通項(xiàng)公式，根據(jù)特點(diǎn)求和.【解析】，【歸納總結(jié)】本題考查了數(shù)列的基本問題：等比數(shù)列與無窮遞縮等比數(shù)列的各項(xiàng)和的概念與公式；同時(shí)考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與計(jì)算能力。9、在圓柱底面半徑為,高為,為上底底面的直徑,點(diǎn)是下底底面圓弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則面積的范圍 【思路分析】注意幾何題設(shè)與幾何性質(zhì)選擇求面積的的方法；【解析】由題意，當(dāng)點(diǎn)在下底底面圓弧上的

7、運(yùn)動(dòng)時(shí)，的底邊，所以，面積的取值與高相關(guān)；當(dāng)時(shí)，最大為：，面積的最大值為：；當(dāng)時(shí)，最小為：，面積的最大值為：；所以，面積的取值范圍為：；【歸納總結(jié)】本題主要考查了圓柱的幾何性質(zhì)，簡單的數(shù)學(xué)建模（選擇求三角形面積的方案），等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。10.甲、乙兩人在花博會(huì)的A、B、C、D不同展館中各選個(gè)去參觀，則兩人選擇中恰有一個(gè)館相同的概率為_【思路分析】注意“閱讀，理解”，等價(jià)為“兩個(gè)”排列組合題；【解析】由題意、四個(gè)不同的場館，每人可選擇的參觀方法有：種，則甲、乙兩個(gè)人每人選個(gè)場館的參觀方法有：種；由此，甲、乙兩人恰好參觀同一個(gè)場館的參觀方法有：種；（或等價(jià)方法1：甲、乙兩人恰好參觀同一個(gè)場館的參觀方

8、法有：種）；（或等價(jià)方法2【補(bǔ)集法】：甲、乙兩人參觀兩個(gè)不同一個(gè)場館的參觀方法有：種；甲、乙兩人參觀兩個(gè)相同場館的參觀方法有：種；所以，甲、乙兩人恰好參觀同一個(gè)場館的參觀方法有：種）；所以，甲、乙兩人恰好參觀同一個(gè)場館的概率為：；【歸納總結(jié)】本題主要考查考生的“數(shù)學(xué)閱讀理解”，然后將古典概型問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：兩個(gè)排列、組合題解之；有點(diǎn)“區(qū)分度”；11、已知拋物線,若第一象限的點(diǎn)在拋物線上，拋物線焦點(diǎn)為則直線的斜率為 【思路分析】注意理解與應(yīng)用拋物線的定義以及直線斜率公式的特征；【解析】方法一：如圖，設(shè)，再由拋物線的定義結(jié)合題設(shè)得，則，又，解得，則直線的斜率為：；方法二：過、分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足

9、為、，直線與軸的交點(diǎn)為，由拋物線定義，得，于，則，又由已知，則，結(jié)合平面幾何中，“內(nèi)錯(cuò)角相等”，所以，直線的斜率為：)方法三：結(jié)合本題是填充題的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并利用“二級結(jié)論”，弦長公式，即，解得，結(jié)合題設(shè)與圖像，所以）【歸納總結(jié)】本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，屬于解析幾何的基本計(jì)算，甚至都不需要利用幾何關(guān)系。定義、弦長、斜率都是解析幾何的基本概念與公式；而用好拋物線的定義、數(shù)形結(jié)合與平面幾何的性質(zhì)，則可減少計(jì)算量； 考查了學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)，通過幾何意義容易求出斜率來；12.已知，且對任意都有或中有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為_【思路分析】注意閱讀與等價(jià)轉(zhuǎn)化題設(shè)中的遞推關(guān)系；【答案

10、】31；【解析】方法一：由題設(shè)，知：；或中恰有一個(gè)成立；或中恰有一個(gè)成立； 或中恰有一個(gè)成立； 則，則，當(dāng)時(shí)，的和為最小值為：31；，則，當(dāng)時(shí)，的和為最小值為：32；因此，的最小值為：31）；方法二：或中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：或中恰有一個(gè)成立；或中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：或中恰有一個(gè)成立；或中恰有一個(gè)成立；等價(jià)為：或中恰有一個(gè)成立；又要求的和為最小，所以，希望盡量出現(xiàn)1和2，則有數(shù)列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9；因此，的最小值為：31；）方法三：設(shè)，或恰好只有一個(gè)為1； 的最小值為）方法四：由題設(shè)，知：；由題設(shè)，得： 再結(jié)合題設(shè)，要使的和為最小，考慮按

11、：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；考慮按：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；）【歸納總結(jié)】本題的核心點(diǎn)在對于兩個(gè)遞推關(guān)系的理解與等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后，結(jié)合題設(shè)要求“和最小”；進(jìn)行枚舉或遞推分析；對于考試的分析問題、解決問題能力有一定要求；主要考察了學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)，根據(jù)題設(shè)推理出1，2連續(xù)造型值最小，從而判斷出整體的最小值，雖然較為簡單但容易出錯(cuò)；二、選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）13、以下哪個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（ ）A. B. C. D.【思路分析】注意研究函數(shù)性質(zhì)的方法；【解析】排除法：B、C、D涉及函數(shù)都是增函數(shù)；【歸納總結(jié)】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的研究方法；基礎(chǔ)題；14、已知參數(shù)方程,以

12、下哪個(gè)圖像是該方程的圖像 （ ）【思路分析】注意利用集合觀點(diǎn)，根據(jù)方程研究曲線的方法；【解析】方法一（特值法）：令，解得，代入?yún)?shù)方程，得，所以，方程對應(yīng)的曲線一定過、，故選B；方法二：在方程對應(yīng)的曲線上任取一點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)為：，由題意，得；當(dāng)時(shí)，代入已知的參數(shù)方程 ，得，所以，點(diǎn)也在方程對應(yīng)的曲線上，所以，方程對應(yīng)的曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；取，代入?yún)?shù)方程，則，即點(diǎn)在曲線上； ）驗(yàn)證點(diǎn)、都不在曲線上；因?yàn)椋?dāng)時(shí)，或， 當(dāng)時(shí)， 或，所以，點(diǎn)不在方程對應(yīng)的曲線上；故，方程對應(yīng)的曲線不關(guān)于軸成對稱；因?yàn)?，?dāng)時(shí)，或， 當(dāng)時(shí)， 或，所以，點(diǎn)不在方程對應(yīng)的曲線上；故，方程對應(yīng)的曲線不關(guān)于軸成對稱；故選B

13、；【歸納總結(jié)】本題主要通過參數(shù)方程這個(gè)載體，考查了根據(jù)方程研究曲線的方法與過程；方法1：結(jié)合選擇題的特點(diǎn)，使用了“特值法”；方法2：從參數(shù)方程視角實(shí)踐根據(jù)方程研究曲線。15.已知，對于任意的，都存在，使得成立，則下列選項(xiàng)中，可能的值是（ ） 【思路分析】注意仔細(xì)審題，關(guān)注關(guān)鍵詞“任意的”、“都存在”；【解析】方法一：由題設(shè)，變形得，又由題設(shè)“對任意的，都存在使得成立”，若設(shè)函數(shù)對任意的的值域?yàn)?，設(shè)函數(shù)，的值域?yàn)?，則， 又因?yàn)?；而，當(dāng)時(shí)， ，而符合題意； 方法二：由題意，得，解得，又對于任意的時(shí)，原問題，等價(jià)為：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取遍能所有的數(shù)；所以，一定存在整數(shù)，使得：或者，解得或者，所以選D；）

14、方法三：的可能值是選D【歸納總結(jié)】本題本質(zhì)就是求三角函數(shù)的值域，通過關(guān)鍵詞“任意”、“存在”與方程，構(gòu)建了以集合間關(guān)系為解題的“切入點(diǎn)”，同時(shí)考查了：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；主要考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，通過整體代入法解決三角函數(shù)問題。16、已知兩兩不同的滿足，且，則下列選項(xiàng)中恒成立的是（ ） 【思路分析】注意通過審題與理解，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化【解析】方法一：方法二：舉特例去選擇，代入方法三：令，則由已知，又由（*），構(gòu)造函數(shù)，（*） 即為，結(jié)合函數(shù)圖像，又函數(shù)在遞增，所以）【歸納總結(jié)】本題主要考察了考學(xué)生數(shù)學(xué)數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，通過換元、引入?yún)?shù)或根據(jù)條件結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)

15、問題，再通過函數(shù)的凹凸性確定出答案，難度較大；三、解答題（本大題共有5題，滿分76分,解答下列各題必須寫出必要的步驟)17、如圖，在長方體中，（1)若是邊的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積；（2)求與平面所成的角的大小.【思路分析】（1)利用體積計(jì)算公式計(jì)算；（2）證明，找到線面角度，再計(jì)算【解析】（1)如圖1，；（2）如圖2，與平面 所成的角；在中圖1 圖2【歸納總結(jié)】本題考查棱錐的體積、線面角的求法，理解線面角的定義，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題18、在中，已知（1)若求的面積；（2)若,求的周長.【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解的值；再利用面積公式求的面積（2

16、）根據(jù)與建立關(guān)于角度的三角方程，求解的值，在求，則根據(jù)正弦定理以及，則三邊可求【解析】（1)；（2）【歸納總結(jié)】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，兩角差的余弦公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題19.已知某企業(yè)今年（2021年）第一季度的營業(yè)額為億元，以后每個(gè)季度（一年有四個(gè)季度）營業(yè)額都比前一季度多億元，該企業(yè)第一季度是利潤為億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長. （1）求2021第一季度起20季度的營業(yè)額總和；（2）問哪一年哪個(gè)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？【思路分析】（1）根據(jù)每個(gè)季度比上個(gè)季度營業(yè)額增加億元可以知道數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列，求解20季度營業(yè)收入

17、總額為即為等差數(shù)列前20項(xiàng)的和；（2）通過數(shù)列通項(xiàng)公式建立數(shù)列不等式，利用計(jì)算器計(jì)算求解不等式即可?！窘馕觥浚?）設(shè)為第季度的營業(yè)額，為利潤，由題意得，的首項(xiàng)為億元，公差為億元,所以2021到2025年，20季度營業(yè)收入總額為：（億元）（2）由已知得， 由已知的， 的首項(xiàng)為億元，公比為,即 所以，利用計(jì)算器991可得， 所以2027年第二季度該公司的利潤首次超過該季度營業(yè)收入的【歸納總結(jié)】本題主要考查了等差、比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了閱讀理解能力、計(jì)算能力，屬于中檔題20、已知是其左右焦點(diǎn)，,直線過點(diǎn)交于兩點(diǎn)，且在線段上.（1)若是上頂點(diǎn)，求的值；（2)若且原點(diǎn)到直線的距離為

18、，求直線的方程；（3)證明：對于任意總存在唯一一條直線使得.【思路分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及建立關(guān)于的方程；（2）通過原點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于直線斜率的方程，求解斜率；（3）找到直線斜率與m的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式判斷是否是唯一解使得；【解析】（1)；（2）設(shè)； 設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為（在線段上，（3） 設(shè)，直線，則，聯(lián)立直線與橢圓得即所以代入，所以，即對于任意，使得的直線有且僅有一條；【歸納總結(jié)】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，屬于難題21、如果對任意使得都有,則稱是關(guān)聯(lián)的.（1)判斷并證明是否是關(guān)聯(lián)？是否是關(guān)聯(lián)？（2)是關(guān)聯(lián)的，在上有,解不等式；（3)“是關(guān)聯(lián)的，且是關(guān)聯(lián)”當(dāng)且僅當(dāng)“是關(guān)聯(lián)的”【思路分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)”定義進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)“是關(guān)聯(lián)”有：；以及函數(shù)解析式作出函數(shù)圖像，利用圖像解不等式；（3）分為充分性、必要性兩個(gè)方面證明；【解析】是 關(guān)聯(lián)；不是關(guān)聯(lián)；（2)是以3為周期的函數(shù)，然后就是要在里面，可以看出只有兩個(gè)周期中可以找到解,答案是（3）充分性：，且遞增，所以對于成立。必要性：，可以得到故對，