華東師大版八年級上冊因式分解復習(教師版).docx

1、因式分解復習課(一) 知識儲備一、因式分解的概念(1) 把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。(反復強調化成乘積的形式，而且要進行到每個因式都不能再分解為止)(2) 因式分解和整式乘法正好是互逆變換，可通過如下圖示加以理解因式分解多項式(和差形式).整式的積(積的形式)整式乘法二、因式分解常用方法一：提取公因式法1. 一個多項式屮每一項都含有的因式叫做這個多項式的公因式2. 如果一個多項式的各項含有公因式，那么可以把該公因式提取出來作為多項式的一個因式，提出公因式 后的式子放在括號里，作為另一個因式，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。3.

2、提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察公因式的特點，找出確定公因式的方法：(1) 公因式應是各項系數的最大公因數與各項都含有的相同字母的最低次幕的積。(2) 公因式不僅可以是單項式，也可以是多項式三、因式分解常用方法二：公式法逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫公式法。平方差公式：a2 -b2 =( a + b)(a b)(2) 完全平方公式：÷2ab +b2 =(a +b)2 ； a2 2ab +b2 = (a b)2四、因式分解常用方法三：十字相乘法少 +=+=+a)(才 b)亠、1十字交叉法的定義： 一般地，X PX q x2 (a b) X ab ( X可以用

3、十字父叉線表示為:利用十字交叉線來分解系數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。2.十字相乘法的依據：利用十字相乘法分解因式，實質上是逆用多項式的乘法法則。乘法公式中：(X ÷a)( X +b) = X2 ÷(a ÷b)x ÷ab反過來可得：X? +(a +b)x + ab = ( X+a)( X+b)4. 用十字相乘法分解的多項式的特征:(1) 必須是一個二次三項式；a和b的積，且這兩個因數的和a+b正好等于一(2) 二次三項式的系數為1時，常數項能分解成兩個因數次項系數，這種方法的特征是“拆常數項，湊一次項”，公式中的X可以表示單項式，也可以表

4、示多項式；(3)對于二次項系數不是的二次三項式ax2+b+c (“、b、C都是整數且a 0 )來說，如果存在四個整 數 a ,a2,c1 ,02,使 aSa2=h9 CI 豈2工,a1c2 + a2cI=b,那么 ax2bx HC= a a x2 (a c + a C )x÷c C - (a x + c )(a x + C )1 2122 1 I 21122，這種方法的特征是"拆兩頭,湊屮間”,這里要確定四個常數，分析和嘗試都要比首項系數是1的情況復雜。五、因式分解常用方法四：分組分解法1. 分組分解法：利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。2. 常見的分組方法有：(1)

5、 “2+2”型：分為兩組，每組兩項，每組先提公因式，再總體提公因式，如X2-Xy -2x÷2b :(2) 1”型：“3”是可用完全平方公式的三項式，整體是平方差公式，如X2 -2xy ÷y2 9 ；(3) “3+2”型：“3”是可用完全平方公式的三項式，“ 2”是可以提取公因式的二項式，總體可以提取公因式，如X2 2xy +÷axay ；(4) “2+2+2 ”或 “3+3” 型，女口 3a2 3ab 2ab - 2b-a 4b , a x2 ÷bx 2÷bx x clx2 +ex；(5) “3+2+1 ”型，如 X2 -12xy + 36y2

6、-6x÷36y ÷ 8 .六、因式分解的一般方法及考慮順序：1. 基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法；2. 常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數法。3. 考慮順序：(1)提公因式法；(2)十字相乘法；(3)公式法；(4)分組分解法；(5)其它常用方法與技巧(二) 雙擊回眸1.分解因式：1一tn? - n2+mn2 =；3.分解因式：X2 +2x -6y-9y2 =2.分解因式：4x2 -16=4.分解因式：X2 -22x - 75=5.下列各等式中，從左到右的變形是因式分解的是()A. a (a +b) =a2 4*abB.48

7、 = 2 X 2x 2x 2:；3C. 2a2 -3ab=n(2a - 3b)D.a2+ a +1 = a(a÷l)4,1解法導析1. (1 +m -2 )(1 m)2.4( X 2)( +2)3.(x+3y +2)(-x 3y)4.(-25)( X5. 選C, A是整式的乘法，B是分解素因數，D也不是因式分解。(三) 例題經典例1 分解下列各因式:(1) 2-5a2÷50a ；(2) ( X-y)2 -( y-xF ；(3) 2a3 - 8a；(4) 3a3- 12a2÷ 12a；4 9I(5)a1 h2(6) X2 m÷2. y2n25100(7)9

8、- -6ab 一 a2b2(8) a2+ 12ak32b2(9) 5X2 一 15片 2xy *+6 y(10) x2 x + y2- yr 2xy 6解：(1)原式-25a(a 1)(2)原式=(JrX)'(I - yhx)(3)原式 a(a ÷2)(a - 2)(4)原式馬a(a耳22 1 2(5)原式(÷b)( a1b)(6)原式=(xn+1 + y11 )( XmH y11)510510(7)原式=-(ab +3)2(8)原式=(a ÷4b)(a +8b)(9)原式=(x3)(5 X -2 y)(10)原式=(x÷y 6)(x +y+ 2

9、)例2.分解下列各因式：(1) _“7 +8a 32(3) a8 .La4 + 丄2 16(5) ( X2 3)2 x(x2 一 3) 2x2(2) 24xy 2z2 ( y -z) - 32XyZ(Z- x-y) +8xyz3 ( Z- x_y)(4) x417x2 + 16(7) 4x2 + 4xy-3y2 ÷2x÷lly 6 解：(1)原式=丄 CU 2+4)( a+2)( a _2)2(3) 原式=("+)2 (a2- )22 2(5) 原式=(x-3)(x÷1)(x2-3÷x)(2)原式=_8xyz(z -X- y)(3 yz

10、7; 4 -Z2 )(4) 原式= (x + 4)(x- 4)( x÷l)( X-1)(6) 原式=(2 x+3)(X- 5)(6) 2X2 -7-15= (2-y÷3)(2x÷3y - 2)(7) 原式=(2 -y)(2 xy) ÷(2 x + l Iy) 6例 3.已知 X2 +y6y2+j+byl = ( + 3yl)(x2y+l),求a、b 的值.策略點擊：將右式利用整式的乘法乘開，然后根據各次項的系數相等進行計算。解： x2 ÷ xy -6 y2 ÷ax ÷by -1 ¾2 ÷xy -6y 2

11、÷5 y-1/. a = O, b=5例4.證明：25°-56能被24整除.策略點擊：若259 -516能寫成24與一個數相乘的形式，則說能被 24整除，利用提公因式法進行計算證明。證明：259 516=518 -516 =516 (2亍 Ir 2516二能被24整除例5.已知a、b、c、d為非負整數，且ac ÷bd ÷ad c = 2003,求a節(jié)÷d值.策略點擊：利用提取公因式法進行求解，得知 2003是素數，只能寫成 1乘以2003,所以可以方便求解。解：a(d ÷c) (d÷c) 2003(a ÷b)(c

12、÷d )=2003 a、b、c、d為非負整數. a 節(jié) 甘 ÷d =1 + 2003= 2004例6.因式分解：X4÷X2 +1策略點擊：X4 ÷1若添上2x2可配成完全平方公式解:X4+x2 ÷ X4 +2x2 + 1 X2= (x2 + x+l )(x2 -4l)例7.因式分解：X3 4 Ix 20策略點擊：把中項 一IlX拆成一 16x x分別與爪，20組成兩組，則有公因式可提。(注意這里16是完全平方數)解：X3 -11X+2O=X3 -16 X +5x - 20=x(x2 16) +5(x +4) =X(X + 4)(X- 4l) 5

13、(xf-4) =( x )( x2 -4x )例 8.分解因式：(x2 -3x42)( X2 -3x 祥)一 72策略點擊：將X2 -3x看作一個整體，進行因式分解，最后再將X2 -3x代入，注意最后是否因式分解完全。解：原式=(X2-3x)2-4(x2-3x)+2(x2- 3xr 8 72=(X2-3x) 2 - 2( x23x) 一80=(x2-3x- 10)( x2-3x + 8)= (X)(x÷ 2)(x3x÷8)例9.求方程Xy -X -y ÷1 =3的整數解。策略點擊：利用因式分解進行計算，3是素數，所以分類討論的情況不會很多，求解比較方便。解：原方程

14、可化為(X -l)(y -1)=3例 10.若 X2 ÷7xy +my2 -5x ÷43y -24 可以分解成 Xy的兩個一次因式的積，試確定ITl的值.X , y為整數，原方程可 化為四個方程組：YLX-II=r F 1=3X T = -3LyT3=I r ITLy4 一 3IyT =-1則X ,y)的解為(2, 4 )、(4,2)、(0, -2)、(2, 0)策略點擊：用待定系數法，令 X2 +7xy ÷my2 -5x ÷43y -24 =( x + ay ÷b)( x÷cy +d ),再對比系數求得解：設 X2 ÷7x

15、y + my2 _5x + 43y 24 =( x +ay +b)( x + cy +d )X2 +( a +c) xy +acy2 +(b + d )x ÷(ad +bc) y ÷bd .對比多項式的系數得：b8N- =3或b ,d8 = -(1)當 b = -8, d = 3 時，得 a =9, c = 2 ,當 b =3, d = -8 時，得 a = -2, c = 9 .*. m = L8 .實戰(zhàn)演練一、填空題：1. 若 X? 4x h3 =(X -a)( +l),則 a =-3；2. 因式分解：X4 -29x2 + IOO=(X +2)(x-2)(x)(x -5

16、)3. 0.0121x2 y6=( .llxy3 )2；4. 當k =1或7_時，X2 -2(k÷3)x ÷16是一個完全平方式；5. -83 y2 ÷ 4x2 y3 ÷28x2 y2 的公因式為4x2 y2；6. 若 X+ y =4, X2 + y2 = 6 則 Xy=3；7. 方程X 2 +4x = 0 ,的解是_0或-4；8 若 Xm - y n = (x + y 2)( X -y 2)( X2 y 4 ),則 m=_4, n = 8 .9. 因式分解：X2" llxn 12 =(Xn "12)( xn+1):10. 若X， k

17、xT5 = (x+a)(x+b) , a > b是整數，貝IJ a ÷b可能是勺4或寶11 分解因式：228( y)2 二12. 若 a 6a b 4b 130,則 a13. 分解因式：aX24b2 b a %x2 C2(3x2 y)(2 y x)3 , b(X +l)(x l)(a2_+b C)X 14.已知1十15.若 X?二、選擇題:+2 +2004 +2005= 0,則 20°6 = _ + 4x 4的值為0,則3x212x 5的值是_71 如果多項式A. 24a2÷ ka + -U是一個完全平方式，則 k的值應是（4B. 4C.2 D.±

18、22.下列多項式屮，能用完全平方公式進行因式分解的有（(2) x2 -2x ÷13) x2 ÷2x(4) x2 -4x A1個B.2C3D.43.如果多項式9x2-30x-m是一個完全平方式，那么的值是（A. 5B.-5C.25D.-254.多項式 36 Xn -48Xn ÷16Xn分解因式正確的是A. 6(xn 1-2xn 十)2 B.4xn (3X-2 XT )2C.4 Xn t(3一 2)2 D. 4xn (3x2-2)25下列因式分解正確的是（A. a4 - 5a + 4 =(a2 -l)(a2-4)B.X2 y2xy 一 35y 千X -7 y)( x4

19、5y)C. 4X2- 2-15 = 4(x+3)( x5)D.(a + b)2- 5(ab)6 = (a -6)(a +b 4I)6.已知二次三項式2X2 +bx + C 分解為 2( X- 3)( x+l),則 b、C 的值為(DB.C. b = -6, C= 4D.b= 一4, C = 一67. 4X4 一 ( y - z)2有一個因式則另一個因式是（AA. 22-y+zB.C. 2x2 + y- zD.2x2+y 三、把下列各式分解因式:1. 4xy2-4x2 y- y32.16a2 - 8a +原式=y(2 - y) 2原式=(4a - I)23. (Xy) 2 12(x 一2 y)

20、+324.ab(c2-d2)-cd (a 2 b2 )原式=(x-2 y-4)( x -2 y - 8)原式=(ac+ bd )(be ad )5.丄m3n_Lm2ii2 + dmm6.(X2+ y2)2 _4 X2 y24416原式-1 mn( ITl _ 1 n) 2原式=(÷ y)2 (X- y)2427. a3 -5a2b 吆4 ab28.x4-18x2 + 81原式=a(a -8b)(a+3b)原式=(X+ 3)2 (X- 3)29. 9X4 -36y 210.(X ÷l)(x + 3)( x÷ 5)( x÷ 7)÷ 15原式=9(

21、X2+2 y)( X2 -2 y)原式=(x+ 2)( x÷ 6)( x2÷ 8x÷10)11.利用因式分解計算：(1) 7.6 )300.3 + 4.3 200.3.1.¾200.317(2)x7+-Llx17583758 37(1)原式=200317(2)原式3712. (Xt)(X + 2)(x +3)(文 4)-24原式=(?+5x)( X2 +5x10)四、簡答題:1.已知 X +y P,求 3 +x2 y+xy2 +y3 的值.原式=O ；2.當 a = 一5 時，求(1 _a) 2-4(l _h2 ) ÷4(1 ) 2 的值.3原式=16 ；1 1 13利用因式分解計算：(1 -T)(I- 2 )(1-2),2341()(1-12 ),910解：原式=K-XwX5x4“4- Xft2× 4n 1 1 n4. 已知 2x _ y =L, Xy Z，求 2X4 y3y 4 的值.3解：原式=x'y3(2_y) =X.× S=£ ；33