2010年高考理科數(shù)學(xué)試題(天津卷)及參考答案

1、2010年高考天津卷理科一、選擇題（1）i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（A）1i （B）55i （C）-5-5i （D）-1i （2）函數(shù)f（x）=的零點所在的一個區(qū)間是（A）（2，1）（B）（1,0）（C）（0,1）（D）（1,2）（3）命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）是奇函數(shù)”的否命題是（A）若f（x） 是偶函數(shù)，則f（-x）是偶函數(shù) （B）若f（x）不是奇函數(shù)，則f（-x）不是奇函數(shù)（C）若f（-x）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù) （D）若f（-x）不是奇函數(shù)，則f（x）不是奇函數(shù)（4）閱讀右邊的程序框圖，若輸出s的值為-7，則判斷框內(nèi)可填寫（A）i3？ （B）i4？ （C）i5？ （D）i6

2、？（5）已知雙曲線的一條漸近線方程是y=,它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（A）（B） （C）（D）（6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（A）或5 （B）或5 （C） （D）（7）在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若，則A=（A） （B） （C） （D）（8）若函數(shù)f（x）=,若f（a）>f（-a）,則實數(shù)a的取值范圍是（A）（-1，0）（0，1）（B）（-，-1）（1,+） （C）（-1，0）（1,+）（D）（-，-1）（0,1）（9）設(shè)集合A=若AB,則實數(shù)a,b必滿足（A） （B） （C） （D）（10）如圖，用四種不同

3、顏色給圖中的A,B,C,D,E,F六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法有（A）288種 （B）264種 （C）240種 （D）168種二、填空題（11）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如下圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為_ 和_。（12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為_（13）已知圓C的圓心是直線（t為參數(shù)）與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切，則圓C的方程為_（14）如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和

4、DC相交于點P，若,則的值為_。（15）如圖，在中，,則_（16）設(shè)函數(shù)，對任意， 恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_三、解答題（17）（本小題滿分12分）已知函數(shù) （）求函數(shù)的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值； （）若，求的值。（18）（本小題滿分12分）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響。 （）假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率 （）假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標。另外2次未擊中目標的概率； （）假設(shè)這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加

5、3分，記為射手射擊3次后的總的分數(shù)，求的分布列。（19）（本小題滿分12分）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，, （1）求異面直線與所成角的余弦值； （2）證明平面 （3）求二面角的正弦值。（20）（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。 （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點 在線段的垂直平分線上，且，求的值（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù) （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； （）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，證明當(dāng)時， （）如果，且，證明（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，且對任意，成等差數(shù)列，其

6、公差為。 （）若=，證明，成等比數(shù)列（） （）若對任意，成等比數(shù)列，其公比為。 （i）設(shè)1.證明是等差數(shù)列； （ii）若，證明2010參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算。每小題5分，滿分50分。 （1）A （2）B （3）B （4）D （5）B （6）C （7）A （8）C （9）D （10）B二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分24分。（11）24:23 （12） （13） （14） （15） （16）三、解答題（17）本小題主要考查二倍角的正弦與余弦、兩角和的正弦、函數(shù)的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力，滿分12分。 （

7、1）解：由，得所以函數(shù)的最小正周期為因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1 （）解：由（1）可知又因為，所以由，得從而所以18本小題主要考查二項分布及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，滿分12分。 （1）解：設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標的次數(shù)，則在5次射擊中，恰有2次擊中目標的概率 （）解：設(shè)“第次射擊擊中目標”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標，另外2次未擊中目標”為事件,則 = = （）解：由題意可知，的所有可能取值為 =所以的分布列是01236P（19）

8、本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識， 考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，滿分12分。方法一：如圖所示，建立空間直角坐標系，點A為坐標原點，設(shè),依題意得,解：易得,于是 所以異面直線與所成角的余弦值為證明：易知,于是·=0，·=0因此，,又所以平面 （）解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，為平面的一個法向量。于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1CE=連接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點M,易知A1DB1C，由,可知

9、EFBC1故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以 ,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為 （）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點N 因為，所以，從而，又由于,所以，故ACDE,又因為CC1DE且，所以DE平面ACF，從而AFDE連接BF，同理可證B1C平面ABF,從而AFB1C,所以AFA1D因為，所以AF平面A1ED （）解：連接A1NFN,由（2）可知DE平面ACF,又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DENF,DEA1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F 在。所以所以二面角A1-DE-F正弦值為（20）本小題主要考察橢圓

10、的標準方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運算和推理能力，滿分12分 （）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為 （）解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點的坐標為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2）,于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況： （1）當(dāng)k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是 （2）當(dāng)K時，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上（21）本

11、小題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分 （）解：f令f（x）=0,解得x=1當(dāng)x變化時，f（x），f（x）的變化情況如下表X（）1（）f（x）+0-f（x）極大值所以f（x）在（）內(nèi)是增函數(shù)，在（）內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）且f（1）= （）證明：由題意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）令F（x）=f（x）-g（x）,即于是當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而（x）>0,從而函數(shù)F（x）在1,+）是增函數(shù)。又F（1）=F（x）>F（1）=0,即f（x）&

12、gt;g（x） （）證明：（1）若 （2）若根據(jù)（1）（2）得由（）可知，>,則=，所以>,從而>因為，所以，又由（）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以>,即>2（22）本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項公式，前n項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。 （）證明：由題設(shè)，可得。所以=2k（k+1）由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。 （）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)1時，可知1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。 （）證明：，可得，從而=1

13、由（）有所以因此，以下分兩種情況進行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m（）若m=1,則若m2，則+所以（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1（）所以從而···綜合（1）（2）可知，對任意,有證法二：（i）證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻?，所以是等差數(shù)列，公差為1。（ii）證明：因為所以。所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得= ，故。從而。所以，由，可得。于是，由（i）可知以下同證法一。選擇填空解析2010年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1（5分）（2010天津）i

14、是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）A1+iB5+5iC55iD1i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)【分析】進行復(fù)數(shù)的除法的運算，需要分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時將i2改為1【解答】解：進行復(fù)數(shù)的除法的運算需要分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，同時將i2改為1=故選 A【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的基本運算，2個復(fù)數(shù)相除，分母、分子同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)2（5分）（2010天津）函數(shù)f（x）=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間是（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系；函數(shù)零點的判定定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】函數(shù)的性質(zhì)

15、及應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)零點的判定定理求得函數(shù)f（x）=2x+3x的零點所在的一個區(qū)間【解答】解：由，以及及零點定理知，f（x）的零點在區(qū)間（1，0）上，故選B【點評】本題主要考查函數(shù)零點的概念與零點定理的應(yīng)用，屬于容易題3（5分）（2010天津）命題“若f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù)”的否命題是（）A若f（x）是偶函數(shù)，則f（x）是偶函數(shù)B若f（x）不是奇函數(shù)，則f（x）不是奇函數(shù)C若f（x）是奇函數(shù)，則f（x）是奇函數(shù)D若f（x）不是奇函數(shù)，則f（x）不是奇函數(shù)【考點】四種命題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】用否命題的定義來判斷【解答】解：否命題是同時否定命題的條件結(jié)論，

16、故由否命題的定義可知B項是正確的故選B【點評】本題主要考查否命題的概念，注意否命題與命題否定的區(qū)別4（5分）（2010天津）閱讀如圖的程序框圖，若輸出s的值為7，則判斷框內(nèi)可填寫（）Ai3Bi4Ci5Di6【考點】設(shè)計程序框圖解決實際問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】算法和程序框圖【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加變量i的值到S并輸出S，根據(jù)流程圖所示，將程序運行過程中各變量的值列表如下：【解答】解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：是否繼續(xù)循環(huán) S i循環(huán)前/2 1第一圈 是 1 3第二圈 是2 5第三圈 是7 7第四圈 否所以判斷框內(nèi)可填寫“

17、i6”，故選D【點評】算法是新課程中的新增加的內(nèi)容，也必然是新高考中的一個熱點，應(yīng)高度重視程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：分支的條件循環(huán)的條件變量的賦值變量的輸出其中前兩點考試的概率更大此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導(dǎo)致錯誤5（5分）（2010天津）已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上，則雙曲線的方程為（）ABCD【考點】雙曲線的標準方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】由拋物線標準方程易得其準線方程為x=6，而通過雙曲線的標準方程可見其焦點在x軸上，則雙曲線的左焦點為（6，0），此時由雙曲線的性質(zhì)a2+

18、b2=c2可得a、b的一個方程；再根據(jù)焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±x，可得=，則得a、b的另一個方程那么只需解a、b的方程組，問題即可解決【解答】解：因為拋物線y2=24x的準線方程為x=6，則由題意知，點F（6，0）是雙曲線的左焦點，所以a2+b2=c2=36，又雙曲線的一條漸近線方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以雙曲線的方程為故選B【點評】本題主要考查雙曲線和拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)6（5分）（2010天津）已知an是首項為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項和，且9S3=S6，則數(shù)列的前5項和為（）A或5B或5CD【考點】等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的

19、性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】利用等比數(shù)列求和公式代入9s3=s6求得q，進而根據(jù)等比數(shù)列求和公式求得數(shù)列的前5項和【解答】解：顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，前5項和故選：C【點評】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應(yīng)用7（5分）（2010天津）在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，則A的值為（）ABCD【考點】余弦定理；正弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】解三角形【分析】先利用正弦定理化簡sinC=2sinB，得

20、到c與b的關(guān)系式，代入中得到a2與b2的關(guān)系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的關(guān)系式分別代入即可求出cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的值【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=2b2，即a2=7b2，則cosA=，又A（0，），所以A=故選A【點評】此題考查學(xué)生靈活運用正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，是一道基礎(chǔ)題8（5分）（2010天津）若函數(shù)f（x）=，若f（a）f（a），則實數(shù)a的取值范圍是（）A（1，0）（0，1）B（，1）（1，+）C（1，0）（1，+）D（，1）（0，1）【考點】對數(shù)值大小的比

21、較菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由分段函數(shù)的表達式知，需要對a的正負進行分類討論【解答】解：由題意故選C【點評】本題主要考查函數(shù)的對數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)的基本運算及分類討論思想，屬于中等題分類函數(shù)不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數(shù)不等式既要注意真數(shù)大于0，也要注意底數(shù)在（0，1）上時，不等號的方向不要寫錯9（5分）（2010天津）設(shè)集合A=x|xa|1，xR，B=x|xb|2，xR若AB，則實數(shù)a，b必滿足（）A|a+b|3B|a+b|3C|ab|3D|ab|3【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；絕對值不等式的解法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】集合【分析】先利用絕對值不等式的解法化簡集

22、合A、B，再結(jié)合AB，觀察集合區(qū)間的端點之間的關(guān)系得到不等式，由不等式即可得到結(jié)論【解答】解：A=x|a1xa+1，B=x|xb2或xb+2，因為AB，所以b2a+1或b+2a1，即ab3或ab3，即|ab|3故選D【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法與幾何與結(jié)合之間的關(guān)系，屬于中等題溫馨提示：處理幾何之間的子集、交、并運算時一般利用數(shù)軸求解10（5分）（2010天津）如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，則不同的涂色方法用（）A288種B264種C240種D168種【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所

23、有【專題】排列組合【分析】由題意知圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，可以根據(jù)所涂得顏色的種類來分類，當(dāng)B，D，E，F(xiàn)用四種顏色，B，D，E，F(xiàn)用三種顏色，B，D，E，F(xiàn)用兩種顏色，分別寫出涂色的方法，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果【解答】解：圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色，可以根據(jù)所涂得顏色的種類來分類，B，D，E，F(xiàn)用四種顏色，則有A44×1×1=24種涂色方法；B，D，E，F(xiàn)用三種顏色，則有A43×2×2+A43×2×1×2=192種涂色方法；B，D，E，F(xiàn)用兩種顏色，則有A42×2×2=48種涂色方法；

24、根據(jù)分類計數(shù)原理知共有24+192+48=264種不同的涂色方法【點評】本題主要考查排列組合的基礎(chǔ)知識與分類討論思想，屬于難題近兩年天津卷中的排列、組合問題均處于壓軸題的位置，且均考查了分類討論思想及排列、組合的基本方法，要加強分類討論思想的訓(xùn)練二、填空題（共6小題，每小題4分，滿分24分）11（4分）（2010天津）甲、乙兩人在10天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù)，則這10天甲、乙兩人日加工零件的平均數(shù)分別為24和23【考點】莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】概率與統(tǒng)計【分析】莖葉圖中共同的數(shù)字是數(shù)字的

25、十位，這事解決本題的突破口，根據(jù)所給的莖葉圖看出兩組數(shù)據(jù)，代入平均數(shù)個數(shù)求出結(jié)果，這是一個送分的題目【解答】解：由莖葉圖知，甲加工零件個數(shù)的平均數(shù)為；乙加工零件個數(shù)的平均數(shù)為故答案為：24；23【點評】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，屬于容易題對于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題考查最基本的知識點12（4分）（2010天津）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為【考點】由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】立體幾何【分析】利用俯視圖可以看出幾何體底面的形狀，結(jié)合正視圖與側(cè)視圖便可得到幾何體的形狀，求錐體

26、體積時不要丟掉【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為一個底面邊長為1，高為2的正四棱柱與一個底面邊長為2，高為1的正四棱錐組成的組合體，因為正四棱柱的體積為2，正四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積V=2+=，故答案為：【點評】本題主要考查三視圖的概念與柱體、椎體體積的計算，屬于容易題13（4分）（2010天津）已知圓C的圓心是直線xy+1=0與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切則圓C的方程為（x+1）2+y2=2【考點】圓的標準方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】直線與圓【分析】直線與圓的位置關(guān)系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解，欲求圓的方程則先求出圓心和半徑，根據(jù)圓與直線相切建立等量關(guān)系，解之即可【解答】解：令y=0得x=1，所以直線xy+1=0，與x軸的交點為（1，0）因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以圓