線面角,線面垂直教材

1、2 .如圖，ABCD- A1B1C1D1是正方體,A1E與GF所成角的余弦值為（C.1.四棱錐P- ABCD的底面是一個(gè)正方形，P從平面ABCD PA=AB=2 E是棱PAE、F分別是AB、BBi的中點(diǎn)，則異面直線3 .已知長(zhǎng)方體 ABCD- A1B1C1D1中，AB=BC=4 C0=2，則直線BG和平面DBBD1所成角的正弦值為（）V3Bc -D2-n-4 .在正方體ABCD- A1B1GD1中，直線A1C1與平面DBBD1所成的角為（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5.已知點(diǎn)P是正三角形 ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=，A

2、B=1,貝U PC和平B. 60C. 45D. 306.平面a的斜線與平面a所成的角是35°則與平面a內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線 所成的角的范圍是（）A. (0° 35B. (0° , 90C. 35 90°D. 35° 907. 如圖，在正方體ABCD- A1B1C1D1中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CC 上,且CF=2FC, 點(diǎn)P是側(cè)面AA1D1D （包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，且 PB1/平面DEF貝U tan / ABP的 取值范圍是（ ）BiAEA.B. 0, 1D.2 28.棱長(zhǎng)為1的正方體ABC AiBiCiDi中，M , N分別是A1B1, BBi

3、的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使 MP丄BN的點(diǎn)P所形成圖形的周長(zhǎng)是（9如圖，在正四棱錐 S- ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面厶SCD內(nèi)及其邊 界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持 PEI AC.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與厶SCD組成的相關(guān)圖形是AB, BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿DE, DF及A. DP丄平面PEF B.11.設(shè)PH丄平面ABC,且PA PB, PC相等，則H是厶ABC的（）A.內(nèi)心B. 外心C. 垂心D.重心丘卩把厶ADE, CDF和厶BEF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記作 P，DM丄平面PEF C. PM丄平面DEF D. PF丄平面DEFC. AD丄平面PBC且 V»

4、;12 .在三棱椎 P- ABC中，PA!平面 ABC，AC丄BC, D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，三棱椎 D- ABC的體積為V，則下列命題正確的是.BD丄平面 PACK V=-D. BD丄平面 PACK V13. 已知在矩形 ABCD中，AB=2i, BC=a P從面ABCD若在BC上存在點(diǎn)Q滿足PQ丄DQ,貝U a的最小值是（）則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（C.平面PBCL平面PCD射影K所形成軌跡的長(zhǎng)度為（）A.V33D.14. 如圖，已知四棱錐P- ABCD中，已知PA!底面ABCD且底面ABCD為矩形,B.平面PABL平面PBCD.平面PCDL平面PADE為線段CD上一

5、動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將 AED15. 如圖，在矩形 ABCD中，AB= :, BC=1,沿AE折起，使平面AED丄平面ABC,當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C,則D在平面ABC上的參考答案與試題解析1.四棱錐P- ABCD的底面是一個(gè)正方形，P從平面ABCD PA=AB=2 E是棱PA由此能求出異面直線BE與AC所成角的余弦值.建立空間直角坐標(biāo)系,【解答】解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系, 則 B (2, 0，0)，E(0，0，1 )，A (0，0，0)，C (2, 2, 0)， 五=(-2, 0, 1), AC= (2, 2, 0),設(shè)異面直線BE與AC所成角為9,則 cos 9=

6、 = ' = I I AC I區(qū)故選：B.是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法, 題，注意向量法的合理運(yùn)用.2如圖，ABC AiBiCiDi是正方體，E、F分別是AB、BBi的中點(diǎn)，則異面直線AiE與CiF所成角的余弦值為（）D.【分析】首先找到異面直線的夾角的平面角, 相應(yīng)的值.然后利用勾股定理及余弦定理求出【解答】解：在正方體ABC AiBiCiDi 中,E、F是AB、BBi的中點(diǎn)，設(shè)AB=4取AiBi的中點(diǎn)H, HBi的中點(diǎn)G,連結(jié)GF,GG,cos/ GFC=GF、FG所成的角即為AiE與CiF所成的角. 利用勾股定理得：GF（E, gf=M,

7、GC=h?, 在厶CFG中，禾I用余弦定理5+20-172-5-25 巧【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：異面直線的夾角，勾股定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng) 用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.3.已知長(zhǎng)方體 ABCD- AiBiCDi中，AB=BC=4 CC=2，則直線BG和平面DBBDiA.B.C.V10所成角的正弦值為（）【分析】要求線面角，先尋找斜線在平面上的射影，因此，要尋找平面的垂線， 利用已知條件可得.【解答】解：由題意，連接AiC，交BiDi于點(diǎn)0長(zhǎng)方體 ABCD- AiBiCiDi 中，AB=BC=4GO 丄 BiDi二GO丄平面DBBDi在 RtABOG 中，£ 二述,BCJ

8、二曙直線BG和平面DBBDi所成角的正弦值為 攀故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是直線與平面所成的角， 主要考查線面角，關(guān)鍵是尋找線面 角，通常尋找斜線在平面上的射影.4 .在正方體ABCD- AiBiCDi中，直線AiCi與平面DBBDi所成的角為（）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°【分析】畫(huà)出圖形，利用直線與平面的垂直關(guān)系，推出結(jié)果即可.【解答】解：正方體ABCD- AiBiCiDi中，直線 AiCi 丄BiDi， AiCi丄DDi， BiDi A DDi=Di，所以直線 AiCi丄平面DBBDi所以直線AiCi與平面DBBDi所成的

9、角為：90°.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的求法，是基礎(chǔ)題.5.已知點(diǎn)P是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn),，AB=i,貝U PC和平面ABC所成的角是（）A. 90° B. 60° C. 45° D. 30【分析】作PO丄平面ABC于O,則/ PCO為PC和平面ABC所成的角，由此能 求出PC和平面ABC所成的角的大小.【解答】解：作PO丄平面ABC于 O,v P是正三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC= , AB=1, J由已知O為外心，且 AB丄OC, / PCO為PC和平面ABC所成的角, E PCO,/ PCO=30. PC和

10、平面ABC所成的角是30°.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面角的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系, 考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中 檔題.6.平面a的斜線與平面a所成的角是35°,則與平面a內(nèi)所有不過(guò)斜足的直線 所成的角的范圍是（）A. （0°, 35° B. （0°, 90C. 35°, 90°） D. 35°, 90°【分析】做出斜線與射影所確定的平面，則當(dāng)a內(nèi)的直線與射影平行時(shí).夾角最小為35°當(dāng)直線與射影垂直時(shí)，夾角最大為 90°【解答

11、】解設(shè)平面a的斜線的斜足為B,過(guò)斜線上A點(diǎn)做平面a的垂線，垂足為C,則/ ABC=35,當(dāng)a內(nèi)的直線與BC平行時(shí)，直線與斜線所成的角為 35°當(dāng)a內(nèi)的直線與BC垂直時(shí)，則此直線與平面 ABC垂直，直線與斜線所成的角為90°故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面角的定義，異面直線所成的角的計(jì)算，屬于中檔題.7.如圖，在正方體ABCD- AiBiCiDi中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CC 上,且CF=2FC, 點(diǎn)P是側(cè)面AAiDiD （包括邊界）上一動(dòng)點(diǎn)，且 PBi/平面DEF貝U tan / ABP的 取值范圍是（ ）【分析】如圖所示，作出平面 MNQBi/平面DEF AQi=2AQ,

12、DNi=2ND, P的軌 跡是線段QN, P在Q處，tan / ABP丄，P在N處，tan/ABP=二，即可333得出結(jié)論.【解答】解：如圖所示，作出平面 MNQBi/平面DEF則AQi=2AQ, DNi=2ND, PBi /平面DEF - P的軌跡是線段QN.P在 Q處，tan/ABP吉,P在 N處，tanZABP呼呼,故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面、面面平行，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力, 屬于中檔題.8. 棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD- AiBiCiDi中，M , N分別是A1B1, BB的中點(diǎn)，點(diǎn)PD. 在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，則總能使 MP丄BN的點(diǎn)P所形成圖形的周長(zhǎng)是（DGMA,

13、設(shè)BN交AM 與點(diǎn)E,貝U使BN與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM,由此可得使BN與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成 的軌跡的周長(zhǎng).【解答】解：如圖，取CG的中點(diǎn)G,連接DGMA,設(shè)BN交AM與點(diǎn)E,則MG / BC, BC丄平面 ABA1B1, NB?平面 ABABi, NB 丄 MG,正方體的棱長(zhǎng)為1, M , N分別是AiBi, BB的中點(diǎn), BEM中，Z MBE=30 ,Z BME=60Z MEB=90，即 BN丄 AM , MG A AM=M , NB丄平面 ADGM,使NB與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡為矩形 ADGM,正方體的棱長(zhǎng)為1故由勾股定理可得，使BiC與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌

14、跡的周長(zhǎng)等于2+J. 故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題， 考查學(xué)生的分析解決問(wèn)題的能 力，解題的關(guān)鍵是確定使 BN與MP垂直的點(diǎn)P所構(gòu)成的軌跡，屬于中檔題.9. 如圖，在正四棱錐 S- ABCD中, E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面厶SCD內(nèi)及其邊 界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持 PEI AC.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與厶SCD組成的相關(guān)圖形是( )【分析】因?yàn)榭偙３諴E丄AC,那么AC垂直PE所在的一個(gè)平面，AC丄平面SBD， 不難推出結(jié)果.【解答】解：取CD中點(diǎn)F，AC丄EF,又t SB在面ABCD內(nèi)的射影為BD且AC丄BD, AC丄SB,取 SC中點(diǎn) Q,： EQ/ SB AC丄 EQ,又

15、AC丄 EF, AC丄面EQF因此點(diǎn)P在FQ上移動(dòng)時(shí)總有 AC丄EP.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生應(yīng)用線面垂直的知識(shí)， 考查空間想象能力，邏輯思維能力, 是中檔題.10如圖，在正方形 ABCD中，E, F分別是AB, BC的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿 DE, DF及 丘卩把厶ADE, CDF和厶BEF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記作 P，A. DP丄平面PEF B. DM丄平面PEF C. PM丄平面DEF D. PF丄平面DEF【分析】根據(jù)條件，利用線面垂直和面面垂直的判定定理進(jìn)行判斷.【解答】解：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以BD丄EF,因?yàn)镈A丄AE, DC丄CF,所以折疊后 DPI

16、 PE, DP丄PF,因?yàn)?PEG PF=P所以DP丄面PEF,故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線面垂直和面面垂直的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定 定理.11.設(shè)PH丄平面ABC,且PA PB, PC相等,貝U H是厶ABC的（）A.內(nèi)心B.外心 C.垂心 D.重心【分析】點(diǎn)P在平面ABC上的投影為H,利用已知條件，結(jié)合勾股定理，證明出HA=HB=HC進(jìn)而根據(jù)三角形五心的定義，得到結(jié)論.【解答】解：由題意知，點(diǎn)P作平面ABC的射影H,且PA=PB=PC因?yàn)镻H丄底面ABC,所以 PAH PBHA PCH即：HA=HB=HC所以H為三角形的外心.【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三角形五心的定義，考

17、查邏輯思維能力，是 基礎(chǔ)題.12 .在三棱椎 P- ABC中，PA!平面 ABC，AC丄BC, D為側(cè)棱PC上的一點(diǎn)，它的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則下列命題正確的是（PAC且三棱椎B. BD丄平面C. AD丄平面PBC且三棱椎D. BD丄平面PAC且三棱椎|_D-ABC的體積為善16316D-ABC的體積為D-ABC的體積為【分析】通過(guò)證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可證明直線與平面垂直, 求出幾何體的體積即可.【解答】 解：PAL平面ABC a PAI BC,又AC丄BC, PAG AC=A BC丄平面PAC BC丄 AD,又由三視圖可得在 PAC中, PA=AC=4 D為PC的中點(diǎn)，

18、AD 丄 PC,： AD 丄平面 PBC又 BC=4 / ADC=90 , BC丄平面 PAC故沁咸嶺*護(hù)跡X辺"故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直的判斷， 幾何體的體積的求法，考查命題的真 假的判斷與應(yīng)用.13.已知在矩形 ABCD中，AB=V2, BC=a PAL面ABCD,若在BC上存在點(diǎn)Q 滿足PQ丄DQ,貝U a的最小值是（）B A. 1 B. C. 2 : D. 4. :【分析】PAL平面ABCD PQLQD可得QDLAQ,可得 ABQsQCD,可求a 的范圍，即可求出a的最小值.【解答】解：假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q,使得PQLQD,因?yàn)镻A丄平面ABCD,所以PAI

19、QD,又由于PQLQD,所以QD丄平面APQ，貝U QDLAQ,即/ AQD=90 ,易得 ABQAQCD,設(shè) BQ=x 所以有 x （a-x） =8即：x2 - ax+8=0所以當(dāng) =a2- 32>0時(shí)，上方程有解，因此，當(dāng)a>4:時(shí)，存在符合條件的點(diǎn) Q,所以a的最小值是4.:.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)， 考查空間想象能力、運(yùn)算能力 和推理論證能力，屬于中檔題.14 .如圖，已知四棱錐P- ABCD中，已知P從底面ABCD且底面ABCD為矩形, 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面PAB丄平面PAD B平面PABL平面PBCC.平面PBCL平面PCD D平面PCDL平面PAD【分析】利用面面垂直的判定定理，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別分析選擇.【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)橐阎狿A!底面ABCD且底面ABCD為矩形，所以PA丄AB,又AB丄AD, AB丄平面PAD 所以平面PABL平面PAD故A正確； 對(duì)于B,已知PA丄底面ABCD且底面AB