高中數(shù)列大題

1、11.在數(shù)列an 中, a1 1,an1 (1 冋na(I )設(shè)bn ，求數(shù)列bn的通項公式n(II )求數(shù)列an的前n項和Sn2.設(shè)an是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項和，滿足2a2222 G-7a3 a4a5 , S77。(1)求數(shù)列 an的通項公式及前n項和Sn ；3.各項均為正數(shù)的數(shù)列aj，印a, a2b，且對滿足mP q的正整數(shù)m,n, p,q都有am anap aq(1am)(1an)(1 ap)(1aq)(1)1當(dāng) a -, b2-時，求通項an；5(2)證明：對任意a，存在與a有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)1n，都有一an6. （2009北京文）設(shè)數(shù)列an的通項公式為an

2、 pn q（n N ,P0）.數(shù)列bn定義如下：對于4.已知數(shù)列an的前n項和Sn4an (-)n 12 ( n為正整數(shù))。2(I)令 bn2nan，求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項公式;口an，TnCinC25ncn試比較Tn與亠一的大小，并予以證明。2n 15.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，對任意的正整數(shù)n，都有an5Sn 1成立，記bn 1( n1 an(I )求數(shù)列 an與數(shù)列 bn的通項公式;(II)設(shè)數(shù)列bl的前n項和為Rn，是否存在正整數(shù)k，使得Rn 4k成立？若存在，找出一個正整數(shù)k ；若不存在，請說明理由;(III )記Cnb2nb2n i(n N )，設(shè)數(shù)列Cn的前

3、n項和為，求證：對任意正整數(shù)n都有3Tn 2正整數(shù)m bm是使得不等式anm成立的所有n中的最小值.1(I)若 p -,q3，求b3 ；(n)若 P 2,q1，求數(shù)列bm的前2m項和公式;（m）是否存在P和q,使得bm 3m 2（ m N ） ?如果存在，求P和q的取值范圍；如果不存在,請說明理由.N ，點（n, Sn），均在函數(shù)7.（2009山東卷文）等比數(shù)列 an的前n項和為Sn,已知對任意的n y b r（b 0且b 1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.（1 ）求r的值;（11）當(dāng)b=2時，記 bn 丄（n N ）求數(shù)列bn的前n項和4anaa1、分析：(I)由已知有-n 1 nn1 n 2

4、bn1 bn利用累差迭加即可求出數(shù)列bn的通項公式：bn 21/1 * 尹(n N )(II )由(I )知an 2nn尹,養(yǎng))n(2k)k 1n而(2k)k 1n(n1),又k是一個典型的錯位相減法模型, 2k 1n k易得kRSn = n(n 1)42(2)試求所有的正整數(shù) m，使得amam 1為數(shù)列an中的項。am 2滿分14分?！窘馕觥?本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關(guān)知識，考查運(yùn)算和求解的能力。2、( 1)設(shè)公差為d，則a； a； a4 a3,由性質(zhì)得 3d(a4 a3)ai*3)，因為d(a42所丹a扌的通項公式為% = WJ前冗項和耳=用20，所以 a4 a3 0，即 2

5、a1 5d 0，又由 S7 7得 7a12,(方法一) 則 amam 1 =_(!amam 1= (2m7)(2m 5),設(shè) 2m 3 t，am 22m 34)(t 2) t 86, 所以t為8的約數(shù)am 2tt因為土是奇飆所UU可取的値為±1，當(dāng)£ = !,加=2時I i-H = -6=3' 2x5 "' = 5J是數(shù)列耳中的項fQ當(dāng)i =時.f + ?-6=T5，數(shù)列気中的最小項是-4所以滿£條件的正整數(shù)也=2.不符合(方法一)因為 amam 1(am 2 4)( am 2 2)am 2am 2am 26為數(shù)列 anam 2中的項,8

6、故一為整數(shù)，又由(1)知：am 2為奇數(shù)，所以 am+2經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有m 2。am 22m 31,即 m1,23、解：(1 )由 _(1am anam)(1an)(1a1ana2 an 1a p aqap)(1得 aq)(1ai)(1an)(1 a2)(1 ani)將a11,a2-代入化簡得25an2an 11an 1所以anan1 13 1 an 1an 1故數(shù)列L0為等比數(shù)列，從而1 an1 an1 an1即an3n，3n 1可驗證,an32 13n滿足題設(shè)條件.1由題設(shè)am an的值僅與m n有關(guān)，記為bm n,則(1am)(1an)bn 1(1 01)(1anan)a a

7、n(1 a)(1an)考察函數(shù)(1 a)(1xX)(x 0),則在定義域上有f(x)g(a)11 a12,a1故對nN，bn1g(a)恒成立又b2n2 Ong(a)，(1 On)2注意到01g(a)-,解上式得ag(a)1 g(a) J1 2g(a)1 g(a) /! 2g(a)g(a)an1 g(a)屮 2g(a)g(a)1 g(a) J1 2g(a)g(a),即有an4、解（I ）在 Sn/ 1 n 1 an (二)2/1、n an 1(2)(2)n1，即 2nan2中，令n=1，可得an1231，即 312 2,anSnSnanan1 (1)n2n1an11.Q bn2nan,bnbn

8、1又bl2a11,數(shù)列bn于是bn1(n1) 1 n1,即當(dāng)n 2時,是首項和公差均為1的等差數(shù)列.由（I ）得(II)Cn2anan 12 an , anbnbn 11.Tn1、2»2，由-得It2 n41 (擴(kuò)2t" 2 (2)n 1,n / 1 2(?) 43(1)31 (1)2(ng)311)( )n，所以24 (2)42(1)3(n 1)(2)n(n 1)(1)n12(n 1)(1)n2(2)nTn1 12n 32n(nTn5n2n 15n2n 13)(2n 2n 1)(n2n(2n 1)于是確定Tn與5n的大小關(guān)系等價于比較2n與2n2n 11的大小1;222

9、2 1;232 3 1;2424 1;252 5;K可猜想當(dāng)n3時2 2n 1.證明如下:證法1：（ 1）當(dāng)n=3時，由上驗算顯示成立。（2）假設(shè)nk 1 時 2k 1 2g2k 2(2k 1) 4k22(k1) 1 (2 k1)2(k 1) 1所以當(dāng)n k1時猜想也成立綜合（1） （2）可知，對一切n3的正整數(shù),都有2n 2n 1.證法2：當(dāng)n2n (1 1)nC；cn c0C1 c 1 Cnn 2n 2 2n 1綜上所述，當(dāng)n1,2時 Tn5n2n 13時Tn5n2n 15、解（I）當(dāng)n1 時，a11,a1又Q an5Sn1, an 15Snan 1an 5an1,即也an數(shù)列an是首項為

10、a114(1)n 十 1 ( 1)n公比為1一的等比數(shù)列,4（II）不存在正整數(shù)證明：由（I）知dk，使得Rn4 ( f)n4k成立。Q b2k 1b2k8(4)2k 11(4)2k二當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n 2m(mN )二 Rn (bl b2)(b3 b4)L(b2m 1當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n2m 1(mN )二 Rn (bl b2)(b3 b4)L(b2m 3對于一切的正整數(shù)n，都有Rn4k不存在正整數(shù)k，使得Rn 4k成立。1516k8mb2m 2) b2m4n2016k18(m15 16k 40 kk8. (161)(164)1)8m 4 4n155 一得14)nCnb2n 1b2n542n又

11、b13,b213,C23當(dāng)n1時，T132當(dāng)n2時，)由 bn4(III(143Tn4 25 (6、解(I)15 16n15 16n由題意，得an1 -n 2(16n 1)(16n 4)1 -n22525(16n)2 3 16n 4丄1 (丄)n2162J61161看1丄163，得694820y3成立的所有n中的最小整數(shù)為7,即b37.(u)由題意，得an 2n 1，對于正整數(shù)，由anm，得n根據(jù)bm的定義可知2k 1 時，bm；當(dāng)m2k時,bmb2b2mb3b2m 1b2b4b2m2m.(m)假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式 pn q m及p 0得n15 16nwT bm 3m 2(m N ),根據(jù)bm的定義可知，對于任意的正整數(shù) m都有m q3m 1-3m 2，即P2p3p 1 mq對任意的正整數(shù)m都成立.當(dāng) 3p 10 (或 3p 10)時，得p q3p(或12p q3p),這與上述結(jié)論矛盾!當(dāng)3p 10，即 Pq,解得二存在P和q,使得bm 3mp和q的取值范圍分別是7、解：因為對任意的n,點（n, Sn），均在函數(shù)bxr(b1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.所以得SnbnanSnSn1 bnz, n 1,r (b r)bnbn1(b 1)bn1又因為 an為等比數(shù)列所以r1,公比為b,所以an(b八I n 11)b(2 )當(dāng)b=