圓錐曲線與方程變式題

1、 圓錐曲線與方程變式題XYPODM1（人教A版選修11，21第39頁例2）如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作X軸的垂線段PD，D為垂足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？變式1：設(shè)點(diǎn)P是圓上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P 在圓上，所以即，即，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程變式2：設(shè)點(diǎn)P是圓上的任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，0），若點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以即，即，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程變式3：設(shè)點(diǎn)P是曲線上的

2、任一點(diǎn)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為，若點(diǎn)M滿足當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以即，這就是動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程2（人教A版選修11，21第40頁練習(xí)第3題）已知經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線A B，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)（1）求的周長；（2）如果AB不垂直于x軸，的周長有變化嗎？為什么？變式1（2005年全國卷）：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是A B C D解一：設(shè)橢圓方程為，依題意，顯然有，則，即，即，解得選D解二：F1PF2為等腰直角三

3、角形，.，故選D變式2：已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率e的最大值為 解一：由定義知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，當(dāng)時(shí)，解得即的最大值為解二：設(shè)，由焦半徑公式得，的最大值為變式3（2005年全國卷）：已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值解：（）設(shè)橢圓方程為，則直線AB的方程為，代入，化簡得.設(shè)A（），B），則由與共線，得又，即，所以，故離心率（）證明：由（）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得 在橢圓上，

4、即由（）知又，代入得故為定值，定值為1.3（人教A版選修11，21第47頁習(xí)題2.1A組第6題）已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)，為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)變式1（2004年湖北卷理）：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到x軸的距離為A B3 C D解：依題意，可知當(dāng)以F1或F2為三角形的直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到x軸的距離為，故選D（可以證明不存在以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的三角形）變式2（2006年全國卷）：已知的頂點(diǎn)B、C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則的周長是AB6

5、 C D12解：由于橢圓的長半軸長，而根據(jù)橢圓的定義可知的周長為，故選C4（人教A版選修11，21第47頁習(xí)題2.1B組第3題） 如圖，矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，R，S，T是線段OF的四等分點(diǎn)，是線段CF的四等分點(diǎn)請證明直線ER與、ES與、ET與的交點(diǎn)L，M，N在同一個(gè)橢圓上變式1：直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.若雙曲線C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上時(shí)，則實(shí)數(shù) 解：將直線代入雙曲線C的方程整理，得 依題意，直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故解得設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則由式得 雙曲線C的右焦點(diǎn)F 在以AB為直徑的圓上，則由FAFB得：整理，得把式

6、及代入式化簡，得解得，故變式2（2002年廣東卷）：A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，2）是線段AB的中點(diǎn)（）求直線AB的方程；（）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點(diǎn)，那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓？為什么？ 解：（）直線AB的方程為（求解過程略）（）聯(lián)立方程組得、由CD垂直平分AB，得CD方程為代入雙曲線方程整理，得記，以及CD的中點(diǎn)為，則有從而又即A、B、C、D四點(diǎn)到點(diǎn)M的距離相等故A、B、C、D四點(diǎn)共圓變式3（2005年湖北卷）：設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）

7、試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.（）解法1：依題意，可設(shè)直線AB的方程為整理，得 設(shè)的兩個(gè)不同的根， 是線段AB的中點(diǎn)，得解得1，代入得，12，即的取值范圍是（12，）.于是，直線AB的方程為解法2：設(shè)依題意，（）解法1：代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長公式可得 將直線AB的方程 同理可得 假設(shè)在在12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心.點(diǎn)M到直線AB的距離為 于是，由、式和勾股定理可得故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A

8、為直角 由式知，式左邊由和知，式右邊 式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓解法2：由（）解法1及.代入橢圓方程，整理得 解得.將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得 解得.不妨設(shè)計(jì)算可得，A在以CD為直徑的圓上.又點(diǎn)A與B關(guān)于CD對稱，A、B、C、D四點(diǎn)共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）5（人教A版選修11，21第59頁習(xí)題2.2B組第1題）求與橢圓有公共焦點(diǎn)，且離心率的雙曲線的方程變式1（2002年北京卷文）：已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程是ABCD 解：依題意，有，即，即雙曲線方程為，故雙曲線的漸近線方程是，即，選D變式2（2004年全國卷理）：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，

9、離心率，且它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合， 則此橢圓方程為（ ）A B C D 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則橢圓的，又，則，進(jìn)而，所以橢圓方程為，選A6（人教A版選修11，21第66頁例4） 斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長變式1：如果，是拋物線上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若，則_解：根據(jù)拋物線的定義，可知（，2，8），變式2（2004年湖南卷理）：設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)使，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為 解：設(shè)，則，于是，即，由于，故，又，故BNFANCNOXY變式3（2006年重慶卷文）

10、：如圖，對每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)試證：證明：（）對任意固定的,因?yàn)榻裹c(diǎn),所以可設(shè)直線的方程為,將它與拋物線方程聯(lián)立，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得（）對任意固定的，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)易得拋物線在處的切線的斜率，故在處的切線方程為， 類似地，可求得在處的切線方程為， 由減去得，從而， 將代入并注意到得交點(diǎn)的坐標(biāo)為.由兩點(diǎn)間距離公式,得=.從而.現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得，.7（人教A版選修21第67頁例5） 過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線

11、的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸OBCFAXY變式（2001年全國卷）：設(shè)拋物線（）的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過點(diǎn) F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)點(diǎn) C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O證明1：因?yàn)閽佄锞€（）的焦點(diǎn)為，所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為 ，代人拋物線方程得 若記，則是該方程的兩個(gè)根，所以因?yàn)锽CX軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，F(xiàn)AXYD故直線CO的斜率為即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O證明2：如圖，記X軸與拋物線準(zhǔn)線L的交點(diǎn)為E，過A作ADL，D是垂足則 ADFEBC連結(jié)AC，與EF相交于點(diǎn)N，則OEBCN根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， 即點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，與拋物線的頂點(diǎn)O重合，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O8（人教A版選修11第74頁，21第85頁復(fù)習(xí)參考題A組第8題）斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線的方程變式1（2002年上海卷）：已知點(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)C到A、B兩點(diǎn)的距離之差的絕對值為2，點(diǎn)C的軌跡與直線交于D、E兩點(diǎn)，求線段DE的長解：根據(jù)雙曲線的定義，可知C的軌跡方程為聯(lián)立得設(shè)，則所以故線段DE的