高等數(shù)學(xué)：極值與最值

1、 第八章 第八節(jié)第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題三、條件極值三、條件極值機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz一、一、 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值 定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如例如 :在點(diǎn) (0,0) 有極小值;在點(diǎn) (0,0) 有極大值;在點(diǎn) (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有xyzxyz機(jī)動

2、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點(diǎn)稱為駐點(diǎn) . 例如,定理定理1 (必要條件) 函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)( 0, 0 ), 但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值 , 則有),(),(00yxyxfz在點(diǎn)存在),(),(00yxyxfz在點(diǎn)因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, 具有極值定理定理2 (充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1)

3、當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見 第九節(jié). 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點(diǎn)),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.1. 求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點(diǎn)求駐點(diǎn). .得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(diǎn)(1,0) 處為極小值;解方程組ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的極值

4、.求二階偏導(dǎo)數(shù),66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0, 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 在點(diǎn)(3,0) 處不是極值;在點(diǎn)(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在點(diǎn)(1,2) 處不是極值;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2.

5、討論函數(shù)及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點(diǎn) ,在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此,022時當(dāng) yx222)(yxz0)0 , 0( z為極小值.正正負(fù)負(fù)033yxz222)(yxz在點(diǎn)(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為0)()0 , 0()0 , 0(222yxz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、最值應(yīng)用問題二、最值應(yīng)用問題函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點(diǎn) 駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點(diǎn)P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為

6、最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3 3.解解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn). 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 有一寬為 24cm 的長方形鐵板 , 把

7、它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x積最大. )0,120:(2 xD為問怎樣折法才能使斷面面機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點(diǎn), 故此點(diǎn)即為所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2

8、cos2422xx(cm)8,603x機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、條件極值三、條件極值極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化,0),(下在條件yx的極值求函數(shù)),(yxfz )(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,0),(下在條件yx方法方法2 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法.如方法 1 所述 ,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè) 記.),(的極值求函數(shù)yxfz 0),(

9、yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格極值點(diǎn)必滿足0 xxf0yyf0),(yx則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.),(),(yxyxfF機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn) . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx)

10、,(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 要設(shè)計(jì)一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱長、寬、高等于多少時所用材料最?。康拈L方體開口水箱, 試問 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 得唯一駐點(diǎn),2230Vzyx3024V由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長、寬

11、為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為,340Vxyz機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,30Vzyx2) 當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時, 欲使造價(jià)最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:)()(20VzyxyxzyzxF2長、寬、高尺寸相等 .內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步 利用充分條件 判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn) .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法, ),(yxfz 0

12、),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)3. 函數(shù)的最值問題函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn) . ),(yxfz 0),(yx),(),(yxyxfF0 xxxfF0yyyfF0F機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點(diǎn) C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoy

13、xED設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (x , y),思考與練習(xí)思考與練習(xí))0, 0(14922yxyx則 S10321yx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對應(yīng)面積而比較可知, 點(diǎn) C 與 E 重合時, 三角形面積最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 求半徑為R 的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則,2zyxzyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為,sin2211xRS ,sin2212yRS zRSsin22130,0,0zyx設(shè)拉氏函數(shù))2(sinsinsinzyxzyxF解方程組0cosx, 得32zyx故圓內(nèi)接正三角形面積最