高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程授課教師：易學(xué)軍 歡迎觀看第 二 章 極 限本章學(xué)習(xí)要求： 了解數(shù)列極限、函數(shù)極限概念，知道運(yùn)用“”和 “X ” 語(yǔ)言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運(yùn)算法則 以及運(yùn)用左右極限計(jì)算分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限。 理解無(wú)窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無(wú)窮小量間的關(guān)系。 掌握無(wú)窮小量的比較，能熟練運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量計(jì)算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無(wú)窮大量的概念及其與無(wú)窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運(yùn)用極限存在準(zhǔn)則和兩個(gè)重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。第 二 章 極 限第一節(jié) 數(shù)列的極限一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì)二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限的性質(zhì)四、數(shù)列的

2、收斂準(zhǔn)則 . )( 為定義域的函數(shù)是以正整數(shù)集設(shè)Znf , )( | )( NnnfxxZffnn的值域?qū)?, 增大的次序排列出來(lái)所按自變量中的元素nxn 得到的一串?dāng)?shù)： , , , ,21nxxx稱為一個(gè)數(shù)列, 記為 xn .1. 定義一、數(shù)列及其簡(jiǎn)單性質(zhì) 數(shù)列也稱為序列公式法圖示法表格法 運(yùn)用數(shù)軸表示運(yùn)用直角坐標(biāo)系表示介紹幾個(gè)數(shù)列xn0242nx1x2 x 例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通項(xiàng)xnx2x1n214121x0 x381 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通項(xiàng)011nx212nxx,) 1( ,

3、 , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通項(xiàng)xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通項(xiàng)：1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通項(xiàng)3. 數(shù)列的性質(zhì)單調(diào)性有界性則稱滿足若 , 21nnxxxx(1) 數(shù)列的單調(diào)性 . , nnxx記為嚴(yán)格單調(diào)增加則稱滿足若 , 21nnxxxx . , nnxx也記為單調(diào)增加數(shù)列單調(diào)減少的情形怎么定義？則稱滿足若 , 21

4、nnxxxx . nnxx記為嚴(yán)格單調(diào)減少則稱滿足若 , 21nnxxxx . , nnxx也記為單調(diào)減少嚴(yán)格單調(diào)增加(單調(diào)增加)嚴(yán)格單調(diào)減少(單調(diào)減少)單調(diào)增加(不減少的)單調(diào)減少(不增加的)統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列數(shù)列回想一下前面講過(guò)的函數(shù)的有界性的情形我學(xué)過(guò)嗎 ？, | )(| , I , 0 成立有時(shí)使得當(dāng)若MxfxM . I )( 上有界在區(qū)間則稱函數(shù)xfOxyMMMy My()I)(xfy , , | , 0 成立使得若NnMxMn . . 是無(wú)界的否則稱有界則稱數(shù)列nnxx數(shù)列的有界性的定義如何定義數(shù)列無(wú)界？ 有界的數(shù)列在數(shù)軸上和在直角坐標(biāo)系中的圖形會(huì)是什么樣子？想想：| xn | 0,

5、不論它的值多么小,當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列 xn 總會(huì)從某一項(xiàng)開始, 以后的所有項(xiàng)都落在 U(0, ) 中. 0 010) 1( |0 | nnnx , 0 N（在 U(0, ) 外面只有有限項(xiàng)） , 時(shí)當(dāng)Nn 0 010) 1(nn , 0 N , 時(shí)當(dāng)Nn :010) 1(limnnn其中,是描述點(diǎn) xn 與點(diǎn) 0 無(wú)限接近的0度量標(biāo)準(zhǔn), 它是預(yù)先任意給定的, 與xn的極限存在與否無(wú)關(guān). . , 本身取決于數(shù)列是否存在nxNNN , ; ,則數(shù)列無(wú)極限存在則數(shù)列有極限不存在. , , NN所有大于則其不唯一存在如果 , .有關(guān)與并且的正整數(shù)均可取作為NN , , ),( 則值越小一般說(shuō)來(lái)

6、可記為NN . 的值越大N由 N 存在與否判斷數(shù)列的極限是否存在. n N 描述 n .通過(guò)目標(biāo)不等式來(lái)尋找 N 0 ,N = N().不等式010) 1(nn稱為目標(biāo)不等式.limaxnn一般地, 如果數(shù)列xn 當(dāng) n 時(shí), 列xn 當(dāng) n 時(shí)以 a 為極限, 記為xn 可以無(wú)限地趨近某個(gè)常數(shù) a, 則稱數(shù)此時(shí), 也稱數(shù)列是收斂的.例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001若 xn 當(dāng) n 時(shí)沒(méi)有極限, 則稱 xn 發(fā)散.,0若,0N時(shí),使當(dāng) Nn |axn記為 ,limaxnn或. )( naxn此時(shí), 也稱數(shù)列 xn 是收斂的. , ,時(shí)的極限當(dāng)為數(shù)列則稱數(shù)成立nxan數(shù)

7、列極限的定義：例5 . 021lim nn證明：). 1 | ( 0lim aann一般有例6 . 0sin1lim nnn證明：例7 .lim , : aaaaaxnn證明設(shè)例8. | |lim ,lim :axaxnnnn則若證明例9 . ,lim ),12( lim ),2( lim Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中則滿足證明：如果例10 . 1lim : , ,1, ,1 nnnxnnnnnnx證明為奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)當(dāng)設(shè)若數(shù)列 xn 收斂, 則其極限值必唯一.想想, 如何證明它？設(shè)數(shù)列 xn 收斂, 但其極限不唯一, 不妨設(shè)有：證證運(yùn)用 . ,lim ,limbabxaxnnn

8、n , 0 ,于是 ; | , , 0 11axNnNn時(shí)當(dāng) ; | , , 0 22bxNnNn時(shí)當(dāng) , , ,max 21時(shí)則當(dāng)取NnNNN2 | | |bxaxbxxabannnn任意性常數(shù)由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . lim axnnnx的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂,且均以 a 為極限 . 充分必要條件 在數(shù)列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各項(xiàng)原來(lái)的先后次序不變, 自左往右任意選取無(wú)窮多項(xiàng)所構(gòu)成的新的數(shù)列, 稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列, 記為 .knx例11.) 1(lim 1nn求例12 . 8sin 的斂散性判別nxn:limaxnn有時(shí)當(dāng) , 0,

9、 , 0 NnN |axn | |axaxnn | |axn , 則似乎可以得到如果固定? 有界的結(jié)論nx 回想數(shù)列的極限 若數(shù)列 xn 收斂, 則 xn 必有界.證證1,limaxnn設(shè)則由極限定義, 取時(shí), 0N, 時(shí)當(dāng)Nn 1|axn|1|axn即有| ,|,| |,|, |1max 21NxxxaM取則NnMxn ,|由數(shù)列有界的定義得：數(shù)列 xn 收斂, 則必有界. 該定理的逆命題不真, 即有界數(shù)列不一定收斂. 例如, (1) n .即 無(wú)界數(shù)列的極限不存在 .例13 ,2 , , 8 , 4 , 2:2nn , 8 , 0 , 4 , 0 :) 1(1(nn無(wú)極限發(fā)散無(wú)界,無(wú)極限發(fā)

10、散無(wú)界,發(fā)散的數(shù)列不一定都無(wú)界 . 例如, (1) n . 收斂的數(shù)列必有界. 有界的數(shù)列不一定收斂. 無(wú)界的數(shù)列必發(fā)散 . 發(fā)散的數(shù)列不一定無(wú)界. . ) 1( :nnx反例:limaxnn有時(shí)當(dāng) , 0, , 0 NnN |axnaxn 即axan?,論你認(rèn)為可能得到什么結(jié)由此 回想數(shù)列的極限 , 0 ),0( 0 ,lim Naaaxnn則若 ).0( 0 , nnxxNn有時(shí)當(dāng)證證 , , 0 ,lim 則由極限的定義且設(shè)aaxnn有時(shí)當(dāng)時(shí)取 , , 0 , 02 NnNa,2 | |aaxn由絕對(duì)值不等式的知識(shí), 立即得.20nxaa , )0( 0 nnxx若 , lim 存在且axnn . )0(