五種方法法求二面角及限時練習

1、五種方法求二面角與練習題一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S AM B中半平面ABM上的一點B向棱AM作垂線，得垂足F；在另一半平面 ASM過該垂足F作棱AM的垂 線如GF，這兩條垂線BF、GF便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角建立一個 可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例12021全國卷I理如圖，四棱錐 S ABCD中，底面 ABCD為矩形，SD

2、 底面ABCD , AD 2DC SD 2，點 M在側棱 SC 上， ABM =60I證明：M在側棱SC的中點II丨求二面角S AM B的大小。證I略解II：利用二面角的定義。 在等邊三角形 ABM中過點B作BF AM交AM于點F ,那么點F為AM的中點，過F點在平面ASM乍GF AM , GF交AS于G,連結 AC / ADQA ADS AS-AC,且 M是 SC的中點，G.F AML SC, GF 丄 AM - GF/ AS,又 t F 為 AM的中點，、 6卩是厶AMS的中位線，點 G是AS的中點。那么 GFB即為所求二面角./ SM2，那么GF2，又2SA AC/ AM AB 2,AB

3、M 600ABM是等邊三角形， BF . 3在厶GAB中，AGABGAB 900 , BGcos BFGGF2 FB2 BG22GF FB.面角S AMB的大小為arccos(練習1 2021如圖，四棱錐 P-ABCD底面ABCD為菱形,CPA平面ABCD ABC 60 , E, F分別是BC PC的中點.I證明：AE! PDn假設H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為 6，求二面角E AF2C的余弦值分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證 AE! AD后推出AE!平面APD使命題獲證，而第 2題， 那么首先必須在找到最大角正切值有關的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱

4、AF上找到可計算二面角的平面角的頂點 S,和兩邊SE與SC,進而計算二面角的余弦值。答案：二面角的余弦值為 二55二、三垂線法三垂線定理：在平面的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直通常當點 P在一個半平面上那么通常用三垂線定理法求二面角的大小。2過二面角 B-FC1-C中半平面本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如例BFC上的一點B作另一半平面 FCiC的垂線，得垂足 0; 再過該垂足0作棱FG的垂線，得垂足P,連結起點與終 點得斜線段PB,便形成了三垂線定理的根本構圖斜線PB垂線B0射影0P。再解直角三角形求二面角的度 數(shù)。例2.(2021卷理)如圖，在

5、直四棱柱 ABCD-AB1C1D1中，底面 ABCE為等腰梯形，AB/CD,AB=4, BC=CD=2, AA1=2,E、E1、F分別是棱AD AA1、AB的中點。(1) 證明：直線EE1/平面FCC ；(2) 求二面角B-FC1-C的余弦值。證1略解2因為 AB=4, BC=CD=2,、F是棱 AB的中點，所以B1AFBBF=BC=CF BCF為正三角形,取CF的中點 O,那么 OBL CF, 又因為直四棱柱 ABCD-A B1 C1 D1中,CC1丄平面ABCD所以CC 丄BO,所以OBL平面 CGF,過O在平面 CCF作OPL CF,垂足 為P,連接BP,那么/ OPB為二面角B-FC1

6、-C的一個平面角，在厶BCF為正三角形中，OB 3,在Rt CGF中， OP CGF, TOPcg在 Rt OPF 中,BP . OP2 OB2J4 , cos OPB OP2BP22-142以二面角B-FC1-C的余弦值為#練習2 2021如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面ABCD是矩形.AB 3, AD 2, PA 2,PD 2 2, PAB 60 .I證明AD 平面PAB ；n求異面直線 PC與AD所成的角的大小；川求二面角 P BD A的大小.分析：此題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題， 證明AD丄平面PAB后,容易發(fā)現(xiàn)平面 PAB丄平面ABCD 就是二面角P-BD-A的半平面

7、上的一個點，于是可過點棱BD的垂線，再作平面ABCD勺垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影容，從而可得本解法。答案：二面角 P BDA的大小為arctan4I證略PCF寸 H/h巧V一 .，D : E 三補棱法本法是針對在解構成二面角的兩個半平面沒有明確交線 的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線稱為補棱，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。 即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例3 2021如下列圖，四棱錐RABCD勺底面ABC是邊長為1 的菱形，/ BCD= 60, E是CD的中點，PA丄底面 ABCD PA= 2.I證明：平面 PBEL平面PABn求平面

8、PAD和平面PBE所成二面角銳角的大小. 分析：此題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯 然要補充完整延長 AD BE相交于點F,連結PF.再在完整圖形中的PF上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。 解：n延長AD BE相交于點F,連結PF過點A作AH丄PB于 H,由I知平面PBEL平面PAB所以AHL平面PBE 在 Rt ABF中，因為/ BAF= 60, 所以，AF=2AB=2=AP在等腰Rt PAF中，取PF的中點G,連接AG 那么AGL PF連結HG由三垂線定理的逆定理得，PF丄HG所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面 角的平面角銳角在等腰Rt PAF中,AG

9、2 pa 2.2在 Rt PAB中,AHAP-ABAPABPB.AP2 AB2252,5所以，在 Rt AHGK sin AGHAH _5AG 二105故平面PAD和平面PBE所成二面角銳角的大小是 arcsinJO.5練習3斜三棱柱ABC-ABG的棱長都是a,側棱與 底面成600的角，側面 BCCB丄底面ABC1求證：AG丄BC;2求平面ABC與平面ABC所成的二面角銳角 的大小。提示：此題需要補棱，可過 A點作CB的平行線L 答案：所成的二面角為 45四、射影面積法cos=S射影S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積S的都可利用射影面積公式cos丄求出二

10、面角的大小。S例4. 2021理如圖，在三棱錐P ABC中，AC BC 2 ,ACB 90，AP BP AB,I求證：PCn求二面角BPC AC .AB ;AP C的大小;不難想到在平面分析：此題要求二面角 B-AP- C的大小，如果利用射影面積法解題, 與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射于是得到下面解法。解：I證略 nAC又 PC AC ,BC , AP BP , APC BPC .PC BC .ABP又 ACB 90，即 AC BC，且 AC 門 PC C ,BC 平面PAC .取AP中點E 連結BE, CE ./ AB BP , BE AP EC是BE在平面PAC

11、的射影，CE AP 人。是厶ABE在平面 ACP的射影,于是可求得:AB BP AP . AC2 CB2 2 2，BE .AB2 AE26，AE EC . 2那么S射S ace 1 AE ?CE 1?、一2 1，2 2S原 S abe 1 AE?EB 1 i 2 ? 6.32 2B APS射1、3cos3SM3二面角BAPC的大小為J3arccos3練習4：如圖5, E為正方體ABCD- AiBiCD 的棱 CG設二面角C的大小為那么的中點，求平面 ABE和底面ABCD所成銳角的余弦值分析 平面AB E與底面Ai B C D交線即二面角的棱沒CECi有給出，要找到二面角的平面角，那么必須先作兩

12、個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形ABE在平面Ai B Ci D上的射影是三角形A BiC,從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。2答案：所求二面角的余弦值為cos 0 =-3五、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進展向量計算解題。例 4: 2021 卷理如圖，在五面體 ABCDEF中, FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD, M 1為 EC的中點，AF=AB=BC=FE= AD

13、2(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；(II) 證明平面AMD平面CDE求二面角A-CD-E的余弦值?，F(xiàn)在我們用向量法解答：如下列圖，建立空間直角坐標系，以點A為坐標原點。設 AB 1,依題意得 B 1,0,0 , C 1,1,0 , D 0,2,0, E 0,1,1 , F 0,0,1 ,M 1,1 .2 2I解:BF1,0,1 , DE 0, 1,于是 cos BF,DEBF?DEBF DE0 0 112? 2 2所以異面直線BF與DE所成的角的大小為 600.1 1 II證明：由AM,1, ,CE2 2CE?AD 0.因此，CE AM , CE1,0,1 , AD 0,2,0，可

14、得 CE?AM 0,AD .又 AMAD A, 故CE 平面AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE .Ill解：設平面CDE的法向量為u(x, y, z),那么u?CEu?DE0,0.xz0于是U令x1,可得u(1,1,1).yz0.又由題設，平面 ACD的一個法向量為v (0 ,0 ,1).練習5、 2021如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC 側面A ABB,.I求證：AB BC ;n假設直線AC與平面ABC所成的角為，二面角A BC A的大小為，試判斷與的大小關系,并予以證明.分析：由條件可知：平面 ABB A1平面 BCG B1丄平面 ABC于是很容

15、易想到以B點為空間坐標原點建立坐標系，并將相關線段寫成用坐標表示的向量，先求出二面 角的兩個半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求 解。x答案:arcsinaac2acb、a2 c2a a2c2總之，上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩 種是兩種不同的解題技巧，考生可選擇使用。1. 如圖, 在三棱柱 ABC ABG中，三個側棱都是矩形，點D為AB的中點+AC 3, BC 4, AB 5, AA14 ,(I )求證 AC BC,;(n )求證AG H平面CDBi ；(川)求異面直線 AC,與B,C所成角的余弦值+BD與平面ABEF所2. 如圖，正方形 ABCD和

16、正方形ABEF所在平面成60的二面角，求直線成角的正弦值。C3. 如圖，在棱長為 a的正方體 ABCAiBGDi中，求:1面AABB與面ABCD所成角的大?。?二面角0-BD C的正切值3二面角 B1 BC1 D4.過正方形ABCD勺頂點A作PA I平面ABCD ,設pA=AB=a(1)求二面角B PC D的大?。?2)求二面角 C-PD-A5.如下列圖，四棱錐P- ABCD勺底面ABC是邊長為1的菱形，/ BCD= 60, E是CD的中點,PAL底面 ABCD PA=、3證明：BEL平面PAB(2)求二面角 A- BE- P的大小3PB與面PAC的角6如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P ABCD 中,AD/BC, ABC 90 ,PA 平面 ABCD , PA 3, AD 2, AB 3 ,