134 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題課件 精編版

1、13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題最短路徑問(wèn)題 如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路地有三條路可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？可供選擇，你會(huì)選走哪條路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？ CA D EB 兩點(diǎn)之間兩點(diǎn)之間,線段最短線段最短 F()兩點(diǎn)在一條直線異側(cè) 已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的兩側(cè)，的兩側(cè)，在在L上求一點(diǎn)上求一點(diǎn)P，使得，使得PA+PB最小。最小。 連接連接AB,線段線段AB與直線與直線L的交點(diǎn)的交點(diǎn)P ，就是所求。，就是所求。 P 思考？思考？ 為什么這樣做就能得到最短距為什么這樣做就能得到最短距離呢？離呢？ 根據(jù)：根據(jù)：兩點(diǎn)之間線段

2、最短兩點(diǎn)之間線段最短. 引入新知引入新知 我們還學(xué)過(guò)此類最路程的問(wèn)題嗎？我們還學(xué)過(guò)此類最路程的問(wèn)題嗎？ 現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常 涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié) 將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探 究數(shù)學(xué)史中著名的究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題將軍飲馬問(wèn)題” 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題1 相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久 負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪 海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題： 從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的

3、河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然 后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程 最短？最短？ B A l 探索新知探索新知 精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問(wèn)題問(wèn)題” 你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ B A l 探索新知探索新知 追問(wèn)追問(wèn)1 這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩

4、地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 A l B 探索新知探索新知 追問(wèn)追問(wèn)2 你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ （1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A 地地 到飲馬地點(diǎn)，再回到到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知 追問(wèn)追問(wèn)2 你能用自己的

5、語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ （3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最 短的直線短的直線l上的點(diǎn)設(shè)上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上 面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)， AC 與與CB 的和最?。ㄈ鐖D）的和最?。ㄈ鐖D） B A C l 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的

6、什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最??？ B 追問(wèn)追問(wèn)1 對(duì)于問(wèn)題對(duì)于問(wèn)題2，如何，如何 A 將點(diǎn)將點(diǎn)B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B l 處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn) C，都保持，都保持CB 與與CB的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 相等？相等？ 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最??？ B A 追問(wèn)追問(wèn)2 你能利用軸對(duì)稱的你能利用軸對(duì)稱的 有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)

7、中符合條 l 件的點(diǎn)件的點(diǎn)B嗎？嗎？ 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最??？ B 作法：作法： A （1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對(duì)稱的對(duì)稱 點(diǎn)點(diǎn)B； （2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點(diǎn)于點(diǎn)C 則點(diǎn)則點(diǎn)C 即為所求即為所求 C l B 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ A B C l B 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題

8、3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ 證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不不 重合），連接重合），連接AC，BC，BC B 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， A BC = =BC，BC=BC AC + +BC C l = = AC + +BC = = AB ， C AC+ +BC = = AC + +BC B 探索新知探索新知 問(wèn)題問(wèn)題3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ 證明：證明：在在AB C中中， AB AC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC 即即 A

9、C + +BC 最短最短 A B C C l B 探索新知探索新知 追問(wèn)追問(wèn)1 證明證明AC + +BC 最短時(shí)，為什么要在直線最短時(shí)，為什么要在直線l 上上 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不重合），證明不重合），證明AC + +BC AC + +BC？這里的？這里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ B A 若直線若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)上任意一點(diǎn)（與點(diǎn) C 不重合）與不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的距離 C l 和都大于和都大于AC + +BC，就說(shuō)明，就說(shuō)明AC + + C BC 最小最小 B 探索新知探索新知 追問(wèn)追問(wèn)2 回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的回顧前面的探究過(guò)程，

10、我們是通過(guò)怎樣的 過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？ B A C C l B 1. 如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直） A M N E B 作法：作法：1.1.將點(diǎn)將點(diǎn)B B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬 2. 2.連接連接AEAE交河對(duì)岸與點(diǎn)交河對(duì)岸與點(diǎn)M, M, 則點(diǎn)則點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉颉?證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEMBNEM 且且BN=EM, MBN=EM, MB

11、DBDCE, BD=CE, CE, BD=CE, 所以所以A.BA.B兩地的距兩地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若橋的位置建在若橋的位置建在CDCD處，連接處，連接AC.CD.DB.CE, AC.CD.DB.CE, M C 則則ABAB兩地的距離為：兩地的距離為： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, N D 在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, E AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN, AE+MN, 即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN B 所以橋的位置建在所以橋的位置建在CDCD處，處，ABAB兩地的路程最短。兩地的路程最短。 A ()一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，內(nèi)部任意一點(diǎn)，在在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小. 分析：當(dāng)分析：當(dāng)ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小 D B C E