不確定度與大數(shù)據(jù)處理

1、實(shí)用文檔n± u(n)=1.6479 垃0007不確定度與數(shù)據(jù)處理誤差與不確定度1 .誤差與不確定度的關(guān)系(1)誤差：測量結(jié)果與客觀真值之差x=x-A公認(rèn)值一如物理常數(shù)等其中A稱為真值，一般不可能準(zhǔn)確知道，常用約定真值代替：J標(biāo)準(zhǔn)值一更高精度儀器測量結(jié)果理論值一理論公式計(jì)算結(jié)果對一個(gè)測量過程，真值 A的最佳估計(jì)值是平均值 Xo在上述誤差公式中，由于 A不可知，顯然x也不可知，對誤差的最佳估計(jì)值是不確定度u(x)(2)不確定度：對誤差情況的定量估計(jì)，反映對被測量值不能肯定的程度。通常所說“誤差” 一般均為“不確定度”含義。不確定度分為 A B兩個(gè)分量，其中A類分量是可用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的分

2、量，它的主要成分是隨機(jī)誤差2 .隨機(jī)誤差：多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。定量描述隨機(jī)誤差的物理量叫標(biāo)準(zhǔn)差。(1)標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)差 燈Jlim Z(Xi -A)1 .J k.真值A(chǔ)不可知，且測量次數(shù) k為有限次用標(biāo)準(zhǔn)偏差S代替標(biāo)準(zhǔn)差Z(Xi-X)2S(x)=k-1實(shí)際上也不可知，于是：單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差結(jié)果表述:Xi真值的估計(jì)值± S(x)(置信概率、68.3%)單次測量標(biāo)準(zhǔn)差最佳估計(jì)值S(x)的物理意義：在有限次測量中，每個(gè)測量值平均所具有的標(biāo)準(zhǔn)偏差。通常不嚴(yán)格區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)偏差，統(tǒng)稱為標(biāo)準(zhǔn)差。(2)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差真值的最佳估計(jì)值是平均值，故結(jié)果應(yīng)表述為：X ± S(x

3、)(置信概率-68.3%)真值的最佳式平;總滁準(zhǔn)差最佳估計(jì)值其中S(X) JZ(Xi -X)2平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 k(k-1)(并不是只做一次測量)例1：某觀察量的n次獨(dú)立測量的結(jié)果是X, X2,，Xn。試用方差合成公式證明平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差S(X)S(X) =-。n、X解：X =一L由題知X相互獨(dú)立，則根據(jù)方差合成公式有nu(X)u2(X1)u2(Xn)n利用樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差白定義，可知u(X)=S(Xlu(X) =S(X)=S2(X)S2(X)ni=1,2, nnS2(X)= S(X) n . n3 .系統(tǒng)誤差與儀器誤差(限)(1)系統(tǒng)誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以

4、可以預(yù)知方式變化的那一部分誤差稱為系統(tǒng)誤差。 已被確切掌握了其大小和符號的系統(tǒng)誤差，稱為可定系統(tǒng)誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統(tǒng)誤差稱為未定系統(tǒng)誤 差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結(jié)果中進(jìn)行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計(jì)出它 的取值范圍。在物理實(shí)驗(yàn)中，對未定系統(tǒng)誤差的估計(jì)常常利用儀器誤差限來進(jìn)行簡化處理。(2)儀器誤差(限)：由國家技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)或檢定規(guī)程規(guī)定的計(jì)量器具的允許誤差或允許基本誤差，經(jīng)過適當(dāng)簡化稱為儀器誤差限，用以代表常規(guī)使用中儀器示值和(作用在儀器上的)被測真值之間可能產(chǎn)生的最大誤差。常用儀器的儀器誤差(限)：長度測量儀器：游標(biāo)卡尺的儀器誤差限按其分度值

5、估計(jì)；鋼板尺、螺旋測微計(jì)的儀器誤差限按其最小分度的1/2計(jì)算。 指針式儀表：A«= a%Nm式中M是電表的量程，a是準(zhǔn)確度等級。數(shù)字儀表：儀=a%N<+b%|n 或儀=a%N：+n字式中a是數(shù)字式電表的準(zhǔn)確度等級， NX是顯示的讀數(shù)，b是誤差的絕對項(xiàng)系數(shù)， M是儀表的?t度值，n代表儀器固定項(xiàng)誤 差，相當(dāng)于最小量化單位的倍數(shù)。電阻箱：&i=Zai%R+R0式中R是殘余電阻，R是第i個(gè)度盤的示值，a是相應(yīng)電阻度盤的準(zhǔn)確度級別。直流電位差計(jì)：儀=a% (Ux 業(yè))10式中a是電位差計(jì)的準(zhǔn)確度級別，U是標(biāo)度盤示值，U0是有效量程的基準(zhǔn)值，規(guī)定為該量程中最大的10的整數(shù)哥。直流

6、電橋:儀=a%(RX +R0)10式中R是電橋標(biāo)度盤示值，a是電橋的準(zhǔn)確度級別， R是有效量程的基準(zhǔn)值，意義同上。3 3) B類不確定度的處理儀、靈敏度誤差靈和估計(jì)誤差限估。其中靈敏在物理實(shí)驗(yàn)中，B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差 020 2度誤差可表不為靈=02 = 0.2SAn/AxB類不確定度與各種誤差限之間的關(guān)系為ub=: 。.34 .不確定度的合成(1)直接測量 X： Ua(x) , Ub(x)u(x) Ru2(x)為2 (x)(稱為合成不確定度)(2)間接測量y=f(x1, x2,，xn)其中x1, x2,，xn為相互獨(dú)立的直接測量量u(y)=；Z(£ )2u2

7、(xi)或嗎=|£(1)12(為)i 二xiy . i 為(3)最終結(jié)果表述形式：Nu(N)= (單位)結(jié)果有效數(shù)字的確定原則：不確定度u(N)只保留一位有效數(shù)字；測量結(jié)果N與不確定度u(N)小數(shù)位數(shù)對齊。所對應(yīng)的=50 58例2:用分光計(jì)測棱鏡材料的折射率公式為n=2。已測得A=60力'±2',黃光(汞燈光源)Asin 一23',則黃光所對應(yīng)的折射率n±j(n)= 1.6479 a0.0007。A 、60 0 50 58sin- sin； A、. A解： n =2- =2：=1.6479lnn=lnsin-lnsin.A. 60 022s

8、in sin 22dnnA5 11cos(dAd、)222A 、sin2cosA1dA2 2A sin 21 ,二2(ctgA 1 A 、-ctg)dA ctgd、222u(n) 1 A 、 A 2 21 1 2 A 、2/.、-=4(ctg ctg 2) u (A) 4ctg 2u ()60 0 50 582-ctg60 0、2/21809)(一')260 二1 + 24ctg60 0 50 582180)2 n=0.000426u(n) =n 幽=1.6479 0.000426 =0.0007實(shí)用文檔5.有效數(shù)字及其運(yùn)算法則(1)有效數(shù)字：由若干位可靠數(shù)字加一位可疑數(shù)字構(gòu)成。在不計(jì)

9、算不確定度的情況下，結(jié)果的有效數(shù)字由運(yùn)算法則決定。(2)運(yùn)算法則 加減法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最末一位位數(shù)最高的為準(zhǔn)并與之取齊。N=A+BGD 則 u(N)= u1 2(A) u2(B) u2(C) u2(D)取決于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位數(shù)最高者，最后結(jié)果與之對齊。 乘除法：以參加運(yùn)算各量中有效數(shù)字最少的為準(zhǔn)，結(jié)果的有效數(shù)字個(gè)數(shù)與該量相同。AB N -CD,則u(N)向(A) 1+a9)7+冰)7+中(口)1 Eg 1石后g取決于其中相對不確定度最大者，即有效數(shù)字個(gè)數(shù)最少者?；旌纤膭t運(yùn)算按以上原則按部就班執(zhí)行。例3：某物理量的計(jì)算公式為丫=k1 1.6d/H表示式中分母

10、的值具有 4位有效數(shù)字，正確測 H的方法是(d )。,其中k為常數(shù)，1.6為準(zhǔn)確數(shù)，H= 16cmx d=0.1500cm。若使丫的(a)(c)解:用游標(biāo)卡尺估讀到 cm千分位用米尺只讀到 mniu(d)1.6d 1.6 0.1500 八=0.015(b)16分母用米尺估讀到cm百分位 用米尺只讀到cm位1+16d/.015為4位有效數(shù)字H即H只需2位有效數(shù)字即可，故應(yīng)選 (d) 特殊函數(shù)的有效數(shù)字：根據(jù)不確定度決定有效數(shù)字的原則，從不丟失有效位數(shù)的前提出發(fā)，通過微分關(guān)系傳播 處理。例4：tg452' =1.00116423解:令 y=tg x ,其中 x=45 2'最多可取幾

11、位有效數(shù)字？取.：x=1=0.00029(rad)601802cos 45 2M0.000294.00058即小數(shù)點(diǎn)后第四位產(chǎn)生誤差tg45 2 =1.0012 ,有五位有效數(shù)字。例5:二x bb一， ,e , 一,對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的計(jì)算結(jié)果如下表所示。S Sx=0.28144mmb=5.9325mmb' =0.7855mmS=27.65cmS' =75.90cmu(b)/b =0.025(b' )/b' =0.025(S) =0.5cm(S) =0.5cmx)=2.010 M10-4mm(b)=0.005mm(b' )=0.005mm(S) =0.0

12、5cm(S) =0.05cm雙棱鏡測波長的計(jì)算公式為O注：下標(biāo)1代表來自方法誤差，下標(biāo) 2代表來自儀器誤差。要求：(1)給出測量結(jié)果的正確表述(包括必要的計(jì)算公式)(2)定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素 和可以忽略項(xiàng)的貢獻(xiàn)，不確定度的計(jì)算將怎樣簡化？結(jié)果如何？解：(1)也亞二。281445.9325 0.7855 =5.86716 10Mmm(276.5 759.0)x 2b 2b S S S Sd' djx) db db dS=十-T -dS實(shí)用文檔22222暇+陶+黑黑、藁1 =0.0111其中U(Ax)=2.010父10&

13、quot; =0.000714 ；x 0.28144"(b)4(b)/J314(b)0.025ch”。=X=- =0.00722_2_2_2 4 2b 2b _273 b2,/3t ,U(b2 _ 產(chǎn) I + 1U2(b)IU2(b).：2(b)/,30.0050 00024a' 一名."|L2b . "iW = = =0.0002432b 2b 2 5.9325,3U1 (b) _a(b” J3-1 M &(b)_°.025 _0 007222 2b'2b'2召b，2v3|U2(b) _& (b ) / 於0.0

14、05一-0 00184、2b'2b'2 X0.7855V3'U1(S)& (S) / <30.5一 S十S- S +S，l u.uury(27.65 +75.90) J3|U2(S) _a2(S)/v3-0.05-0 000279|S +S，S +S'(27.65 +75.90)V3-. 2.2. 2u(b) U1(b)U2(b)IL2b,: , I 2b,: . " |L 2b-u(S) 2 二 U1(S)_ 2 U2(S) 2S ' S'：|_S ' S'：" g SU1(S) Ai(S)/V

15、3 S +S' - S +S' u2(S) .：2(S) / ,3 S S S S='= 0.00279(27.65 75.90),30.05=0.000279(27.65 75.90) , 3U(S ) 2 _ U1(Si 2 U2 2 s s,:|_s ' s,:" ILs-S_ U( )=587 _7nm于是得U( )= 3=5.86716 10 H 0.0111=6.53 10-6mm_4避)_和_U1(S2 ,可以忽略的因S S S S(2)由前面的計(jì)算可知，不確定度主要來自U1 (b)和 U1(b) ,次要因素是 Ubj2b 2b2b素是3

16、、山®、粵和2。x 2b S S S SJ2. -2U1U1(b)=：1(b) =0.0102IL 2b . IL 2b .6b貝 U 有u( )=6nm± u( )=587 +6nm 比嚴(yán)格計(jì)算的結(jié)果稍小但相差無幾。二、數(shù)據(jù)處理方法1,列表法：按一定規(guī)律把數(shù)據(jù)列成表格。列表原則：(1)表格的標(biāo)題欄中 注明物理量的名稱、符號和單位 ；(2)記錄原始數(shù)據(jù)(如記錄刻度數(shù)，而不是記錄長度)；(3)簡單處理結(jié)果(如算出長度)或函數(shù)關(guān)系；(4)參數(shù)和說明(如表格名稱、儀器規(guī)格、環(huán)境參數(shù)、常量以及公用單位等)2.作圖法：把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用自變量和因變量的關(guān)系作成曲線，以便反映它們之間的變化規(guī)

17、律或函數(shù)關(guān)系。作圖要點(diǎn)：(1)原始數(shù)據(jù)列表表示 見列表法；(2)用坐標(biāo)紙作圖，圖紙大小以不損失有效數(shù)字和能包括所有點(diǎn)為最低要求，因此至少應(yīng)保證坐標(biāo)紙的最小分格 (通常為1mm以下的估計(jì)位與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中最后一位數(shù)字對應(yīng)；(3)選好坐標(biāo)軸并標(biāo)明有關(guān)物理量的名稱(或符號)、單位和坐標(biāo)分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10較好，以便于換算和描點(diǎn)；(4)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)以+、X、 、 、等符號標(biāo)出，一般不用細(xì)圓點(diǎn)“ ”標(biāo)示實(shí)驗(yàn)點(diǎn)；光滑連接曲線 并使實(shí)驗(yàn)點(diǎn)勻稱實(shí)用文檔地分布于曲線兩側(cè)(起平均的作用)；(5)圖解法求直線斜率和截距時(shí)，應(yīng)：在線上取點(diǎn)(不能使用實(shí)驗(yàn)點(diǎn))；所取兩點(diǎn)要相距足夠遠(yuǎn) (以提高精度)；在圖上

18、要注明所取點(diǎn)的坐標(biāo) 。例6:拉伸法測彈性模量的載荷一一伸長曲線如圖所示，圖上至少有 不規(guī)范。它們是 坐標(biāo)軸應(yīng)標(biāo)注物理量和單位 ，軸上缺少分度值 目標(biāo)記標(biāo)出 ， 曲線應(yīng)光滑連接 ，計(jì)算點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)注不規(guī)范 。3.最小二乘法與一元線性回歸法(1)最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么5處繪制錯(cuò)誤或 實(shí)驗(yàn)點(diǎn)應(yīng)以醒各測量值與這條曲線上對應(yīng)點(diǎn)之差的平方和應(yīng)取極小值。例7:試用最小二乘原理推導(dǎo)直線方程y=kx中回歸系數(shù)k的計(jì)算公式。n解：根據(jù)最小二乘原理應(yīng)有£ (yi -歐)=mini 1nnnn即 v (yi -kxi )2 =0 .二 2(yi -kxi)(-x ) =07.

19、Xi yi -kv x =0.k i 1i 1i Ji 1于是得、Xi yixy(2) 一元線性回歸法:由最小二乘原理，應(yīng)有二 k 2x yi -(a bxi) Saia.二 kx yi -(a bx。2I ; b i m解之得2 xi設(shè)直線方程y=a+bx,其中自變量_k. _.一 2.' yi 一(a bxj =mini 1x的誤差可略=0k三 2yi (a+bxi)(1)=0k£2匹一(a +bxi)(為)=0kkak +bZ xi =£ yiiTiT：kkkax x bx x2 八 xiyi,i 1idi =1" xyi -ky xiyi，xj2

20、-kx x2“ xiyi ' xiyi yx2a =；272(“為)-Q x：xy - xy-22x - x=y -bxr物理意義r| =1|r| 兩 1r >0r <0r : 0(3)相關(guān)系數(shù)r：用于檢驗(yàn)x和y之間是否存在線性關(guān)系。y = a +bx通過全部實(shí)驗(yàn)點(diǎn)xi、yi之間線性相關(guān)強(qiáng)烈yi隨xi增加而增加yi隨xi增加而減小xyi之間無線性關(guān)系 t擬合直線為與x軸平行的直線例8:根據(jù)所給相關(guān)系數(shù)r作出實(shí)驗(yàn)點(diǎn)分布草圖:實(shí)用文檔 r=0.9993 r=0.015(4)回歸法使用要點(diǎn)： 自變量x測量誤差可略，即應(yīng)選擇測量精度較高的物理量作自變量； 因變量y為等精度測量 或近

21、似等精度測量，即 u(y。近似相等；作線性關(guān)系的檢驗(yàn)：利用物理規(guī)律或作圖等其它方法確認(rèn)線性關(guān)系的存在；或檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)是否滿足| r | .1。例9:實(shí)驗(yàn)線路及測量數(shù)據(jù)如下，用一元線性回歸法計(jì)算電壓表內(nèi)阻R (寫出計(jì)算公式即可),E RR ()20.050.0100.0200.0300.0400.0V (V)2.802.722.602.382.202.04解：根據(jù)線路圖可彳導(dǎo)E = R + RV =里R RVRVV VulR1 |_°11, -°1L = b.005,0.00025 】計(jì)算R 1精度：R-2°.° 400.0可知R的精度較高VU(1/V)

22、u(V) 0.01 0.011"A” j-=- I, = 0.0036,0.005、1/V V 12.80 2.041111故將公式變形為-=R+- 令 -=y R三x并設(shè)直線方程y=a+bxVERVEV貝 U有a = b =-=-RV =亙EERVRVb4.逐差法(1)測量次數(shù)為偶數(shù)的逐差法r 一設(shè)自變量和因變量之間存在線性關(guān)系，并有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：3X1' ,xn,xn" x2n¥，yk,yn+，y2n隔n項(xiàng)逐差，可得到b1 =yn、-y1，bn = y2n yn取平均值xn 1 -七x2n - *n1 .n對于自變重x等間隔分布的情況，有 xn+ -x

23、i =Anx 于是 b=乙(yn+-yi)ni nx i =1求得 后，可由公式E yi =a+b£xi求出a yi -bZ xi(不要求計(jì)算不確定度)t (C)85.080.075.070.065.060.055.050.0R ()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215例10:已知R=R(1+t),實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下，用逐差法求電阻溫度系數(shù)解：R=R+ R0t 并設(shè) y=a+bx則有a= R0b= R0=a而利用逐差法可得:ba =一 a it =t i +4-1 i(c)R= Ri+4-R120.00.0242220.00.02

24、41320.00.0229420.0平均20.00.02220.0233 5于是有R 0.02335 =0.0011675.t20.011=1(% Rt) =1(2.7312 -0.0011675 540.0) =0.2626n80.0011675與=4.45 父10，(1/C)a 0.2626i12345平均N= n i +5- n500500500500500500d500=X+5-X (mm)0.161600.160500.15970 :0.158850.157850.159702d5002 0.15970500= 638.8(nm)u( ) u(d 500) 2 u(N) 2一二,d5

25、00_ N其中U(d500 ) = ：, Ua (d 500 ) ub (d500 )ua (d 500 ) 二% (di -d 500 )2 i 500=0.000648(mm)ub (d 500 )5 4 0.00005 :0.0000289(mm) 、311:邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理?xiàng)l紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.58060P 34.61300條紋吞吐n500600700800900M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.73945P 34.77085解法由逐差法可得u()=

26、 638.8.0.159700.000648 20.5 u(N)=ub(N) =- =0.289 -J30.2892，一 二2.6(nm) 5002u( )=639 二3(nm)解法二： 由逐差法可得i12345平均N'=(ni+5-ni )/5100100100100100100d100=(X+5-X) /5 (mm)0.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940=2"031940 =638.83)u(Z)Ru(d200)T + Lu(Nj fN100九 H d100 1! N'其中u(d100) ua(d100)

27、ub (d100 )ua (d100 ) =“ (di -d10。)25 40.00005 一= 0.000130(mm)ub(d100 )0.00000577(mm)5 3.1u(d100) T - F(N ) I2，d100_ N= 638.8(0.5u(N ) =5 (N ) = =0.0577、5V30.00013020.0577 22 2 ： 2.6(nm)0.03194021002u( )=639 :3(nm)(2)測量次數(shù)為奇數(shù)的逐差法 處理原則：去掉中間的數(shù)據(jù)。例12：重新處理邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.54830P 34.5806034.61300條紋吞吐n5006007008009001000M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280解：去掉中間的數(shù)據(jù)后為條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n6007008009001000M鏡位置X (mm)34.6763534.7080034.73945P 34.7708534.80280由逐差法可得i12345平均N=ni+6- ni