大學(xué)物理：第14章 光的衍射

1、波動(dòng)光學(xué) 光的衍射授課教師 楊宏春研究對(duì)象研究對(duì)象：研究光在介質(zhì)中的：研究光在介質(zhì)中的傳輸規(guī)律傳輸規(guī)律及其與物質(zhì)的及其與物質(zhì)的相互作用相互作用14.1 光的衍射現(xiàn)象光的衍射現(xiàn)象 惠更斯惠更斯菲涅爾原理菲涅爾原理14.1.1 光的衍射現(xiàn)象光的衍射現(xiàn)象光的衍射光的衍射：光繞過(guò)障礙物并在空間中形成明、暗相間條紋：光繞過(guò)障礙物并在空間中形成明、暗相間條紋(1) 光的衍射現(xiàn)象光的衍射現(xiàn)象(2) 衍射現(xiàn)象分類(lèi)衍射現(xiàn)象分類(lèi)菲涅耳衍射菲涅耳衍射：光源、障礙物、觀察屏三者至少一個(gè)有限遠(yuǎn)時(shí)的衍射現(xiàn)象：光源、障礙物、觀察屏三者至少一個(gè)有限遠(yuǎn)時(shí)的衍射現(xiàn)象夫瑯禾費(fèi)衍射夫瑯禾費(fèi)衍射：光源、障礙物、觀察屏三者光源、障礙物、

2、觀察屏三者均為無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的衍射現(xiàn)象均為無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的衍射現(xiàn)象 菲涅耳單縫衍射菲涅耳單縫衍射 夫瑯?lè)颥樅毯藤M(fèi)單縫衍射費(fèi)單縫衍射 14.1.2 惠更斯惠更斯菲涅爾原理菲涅爾原理(1) 惠更斯菲涅耳原理惠更斯菲涅耳原理 任一時(shí)刻波前上各點(diǎn)都可作為任一時(shí)刻波前上各點(diǎn)都可作為子波子波的波源，向前發(fā)出子波；的波源，向前發(fā)出子波；在各列子波相遇的區(qū)域里，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)為各列波在該點(diǎn)引起振動(dòng)的在各列子波相遇的區(qū)域里，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)為各列波在該點(diǎn)引起振動(dòng)的疊加疊加 r1 r2 en p r (2) 惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表述惠更斯菲涅耳原理的數(shù)學(xué)表述 rtrsfE2cosd)(dsrtrfEsd2cos)( f( )：傾斜因

3、子：傾斜因子 (方向圖函數(shù)方向圖函數(shù)) ：比例系數(shù)：比例系數(shù)能量守恒與點(diǎn)源近似模型能量守恒與點(diǎn)源近似模型14.2 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射單縫夫瑯禾費(fèi)衍射(1) 物理模型物理模型 夫瑯?lè)颥樅毯藤M(fèi)單縫衍射費(fèi)單縫衍射 p r r0 o dx x 相同衍射角的衍射光線在焦平面上匯聚為一點(diǎn)相同衍射角的衍射光線在焦平面上匯聚為一點(diǎn) (一條線一條線)(2) 光強(qiáng)計(jì)算公式光強(qiáng)計(jì)算公式設(shè)設(shè)：各子波到達(dá)：各子波到達(dá) p 點(diǎn)幅度相等點(diǎn)幅度相等 (忽略光程差、傾斜因子引起的振幅衰減忽略光程差、傾斜因子引起的振幅衰減)x 點(diǎn)點(diǎn) dx 微元在微元在 p 點(diǎn)引起的光振動(dòng)點(diǎn)引起的光振動(dòng)14.2.1 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)計(jì)算公式單縫

4、夫瑯禾費(fèi)衍射光強(qiáng)計(jì)算公式 rtaxAE2cosdd0 p r r0 o dx x r0 、 r 分別表示分別表示 op 和任意光線光程，由透鏡等光程性和任意光線光程，由透鏡等光程性 sin0 xrr trxaxAE 002sin2cosdd 2/2/002sin2cosdaatrxaxAE traaA 002cossin/sinsin sina 202sin IAI0 0 0II 羅必塔法則，中央明紋，羅必塔法則，中央明紋，主極大主極大0dd I tan各級(jí)次極大各級(jí)次極大k 3 , 2 , 1 k0 I各級(jí)暗紋各級(jí)暗紋 ka sin-15-10-50510150.00.20.40.60.81

5、.0 I/I014.2.2 光強(qiáng)公式的幾何表示光強(qiáng)公式的幾何表示菲涅爾半波帶方法菲涅爾半波帶方法 A a asin 2 A1 A2 B (1) 光強(qiáng)解析公式的幾何意義光強(qiáng)解析公式的幾何意義 ka sin22sin ka (2) 菲涅爾半波帶方法菲涅爾半波帶方法 假設(shè)假設(shè)：相鄰兩半波帶在：相鄰兩半波帶在 p 點(diǎn)有近似相等的振幅點(diǎn)有近似相等的振幅 方法方法：將光程差劃分為：將光程差劃分為 /2 的倍數(shù)的倍數(shù) 結(jié)論結(jié)論：明暗條紋的計(jì)算方法：明暗條紋的計(jì)算方法 各級(jí)暗紋各級(jí)暗紋22sin ka 3 , 2 , 1 k2) 12(sin ka3 , 2 , 1 , 0 k各級(jí)明紋各級(jí)明紋課堂討論課堂討論

6、：對(duì)各級(jí)亮紋，解析計(jì)算結(jié)果為何與幾何方法結(jié)果不同？：對(duì)各級(jí)亮紋，解析計(jì)算結(jié)果為何與幾何方法結(jié)果不同？14.2.3 條紋寬度計(jì)算條紋寬度計(jì)算 p o 角寬度角寬度：條紋對(duì)透鏡光心所張的角度：條紋對(duì)透鏡光心所張的角度明條紋角寬度明條紋角寬度：相鄰兩級(jí)暗條紋中心對(duì)透鏡光心所張角度：相鄰兩級(jí)暗條紋中心對(duì)透鏡光心所張角度暗條紋角寬度暗條紋角寬度：相鄰兩級(jí)明條紋：相鄰兩級(jí)明條紋中心對(duì)透鏡光心所張角度中心對(duì)透鏡光心所張角度(1) 條紋角寬度定義條紋角寬度定義(2) 中央明紋角寬度中央明紋角寬度22sin ka sina sin半角寬度為半角寬度為 a 0設(shè)透鏡的焦距為設(shè)透鏡的焦距為 f，中央亮條紋，中央亮條

7、紋線寬度線寬度affx 2)tan(200 中央亮條紋的寬度為其它亮條紋寬度的中央亮條紋的寬度為其它亮條紋寬度的兩倍兩倍 a 時(shí)，時(shí)， 0，衍射效應(yīng)變?nèi)酰饩€表現(xiàn)為直線傳播，衍射效應(yīng)變?nèi)酰饩€表現(xiàn)為直線傳播 a 保持不變，衍射條紋角寬度與波長(zhǎng)有關(guān)，白光衍射會(huì)出現(xiàn)彩色條紋保持不變，衍射條紋角寬度與波長(zhǎng)有關(guān)，白光衍射會(huì)出現(xiàn)彩色條紋 aa 2 p o (3) k 級(jí)條紋角寬度級(jí)條紋角寬度角寬度為角寬度為 a 線寬度為線寬度為 afx 例例14.2.1：已知：已知 =6328 ，a =0.1 mm，f=40 cm求求：(1) 中央明條紋的線寬度中央明條紋的線寬度 (2) 第一級(jí)明條紋中心的位置第一級(jí)明

8、條紋中心的位置 p o (2) 第一級(jí)明條紋出現(xiàn)的條件為第一級(jí)明條紋出現(xiàn)的條件為 23sin1 a)sin()tan(111 ffx 解解：(1) 1 . 520 afx affx 2)tan(200 (mm)8 . 3231 afx (mm)例例14.2.2：入射光為可見(jiàn)光，：入射光為可見(jiàn)光，a=0.6 mm，f=40 cm，屏上距離中心，屏上距離中心 o 點(diǎn)點(diǎn) x=1.4 mm 處處 p 點(diǎn)恰為一明條紋點(diǎn)恰為一明條紋求求：(1) 該入射光波的波長(zhǎng)該入射光波的波長(zhǎng)(2) p 點(diǎn)條紋的級(jí)次點(diǎn)條紋的級(jí)次(3) 從從 p 點(diǎn)看，對(duì)該光波而言，狹縫處被分為多少個(gè)半波帶點(diǎn)看，對(duì)該光波而言，狹縫處被分為

9、多少個(gè)半波帶解解：由單縫衍射的明條紋公式：由單縫衍射的明條紋公式2)12(sin kafx tansin(m) 12102 . 4)12(26 kkfax 對(duì)可見(jiàn)光范圍，對(duì)可見(jiàn)光范圍，k =3， =6000 ， 此時(shí)，單縫處被分為此時(shí)，單縫處被分為 7 個(gè)半波帶個(gè)半波帶 當(dāng)當(dāng) k=4， =4667 ，此時(shí)，單縫處被分為，此時(shí)，單縫處被分為 9 個(gè)半波帶個(gè)半波帶 14.3 圓孔衍射圓孔衍射 光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)14.3.1 圓孔衍射的艾里斑半角寬度圓孔衍射的艾里斑半角寬度 d 艾里斑艾里斑：圓孔衍射形成的中央亮斑：圓孔衍射形成的中央亮斑艾里斑的半角寬度艾里斑的半角寬度d 22.

10、1 14.3.2 光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)(1) 光學(xué)成像儀成像能夠分辨的瑞利判據(jù)光學(xué)成像儀成像能夠分辨的瑞利判據(jù)兩個(gè)非相干光源光強(qiáng)最大值與最小值重合兩個(gè)非相干光源光強(qiáng)最大值與最小值重合最小分辨角寬度最小分辨角寬度d 22. 1min (2) 光學(xué)成像儀的分辨率光學(xué)成像儀的分辨率 22. 111mindR -20240.00.20.40.60.81.0 例例14.3.1：正常人瞳孔直徑為：正常人瞳孔直徑為 2.5 mm，鷹的瞳孔直徑為，鷹的瞳孔直徑為 6.2 mm， =5550 求求：人與鷹同在距地面：人與鷹同在距地面 h=3000 m 高度能分辨地面上物體的最小距離高度能分辨地面

11、上物體的最小距離 h 解解d 22. 1min hl min于是，對(duì)人于是，對(duì)人 lmin=0.81 m 對(duì)鷹對(duì)鷹lmin=0.33 m 14.4 光柵衍射光柵衍射光柵光柵：大量等寬的平行狹縫等距離地排列而形成的光學(xué)器件：大量等寬的平行狹縫等距離地排列而形成的光學(xué)器件光柵常數(shù)光柵常數(shù)：一個(gè)透光縫寬度：一個(gè)透光縫寬度 a 與一個(gè)相鄰的不透光寬度與一個(gè)相鄰的不透光寬度 b 之和之和 d=a+b光柵的種類(lèi)光柵的種類(lèi) 透射光柵透射光柵：利用透射光衍射的光柵：利用透射光衍射的光柵反射光柵反射光柵：利用反射光衍射的光柵：利用反射光衍射的光柵光柵衍射特點(diǎn)光柵衍射特點(diǎn)光柵衍射成象是單縫光柵衍射成象是單縫衍射衍

12、射和多縫和多縫干涉干涉合成的結(jié)果合成的結(jié)果各縫相同各縫相同衍射角衍射角的光線在成象屏上匯聚于同一點(diǎn)的光線在成象屏上匯聚于同一點(diǎn)14.4.1 光柵的相關(guān)概念光柵的相關(guān)概念 p r r0 o b a 14.4.2 光柵光強(qiáng)光柵光強(qiáng) p r r0 o b a 設(shè)：設(shè)： I0 是單縫在屏中心是單縫在屏中心 ( =0) 時(shí)的光強(qiáng)時(shí)的光強(qiáng)(3) 光柵光強(qiáng)光柵光強(qiáng)(1) 衍射因子衍射因子 sina 20sin IIi(2) 干涉因子干涉因子)2/sin()2/sin( NAAi sin2/d sinsin NAAi 2sinsin NIIi220sinsinsin NIIad (4) 明暗條紋空間位置計(jì)算明

13、暗條紋空間位置計(jì)算A 干涉因子決定的干涉因子決定的主極大主極大位置位置 /sinkd kd sin2 , 1 , 0 k羅必塔法則羅必塔法則NNk sinsinlimiINI2 光強(qiáng)主極大光強(qiáng)主極大-505020406080100 I/I0B 干涉因子決定的光強(qiáng)干涉因子決定的光強(qiáng)極小值極小值位置位置0sin N0sin mNk 且且 , 1, 1, 2 , 1 NNk0 I Nkd sin在在兩條兩條主極大譜線間，有主極大譜線間，有 N-1 條暗譜線條暗譜線N 愈大，條紋愈亮愈大，條紋愈亮光強(qiáng)正比于光柵縫隙數(shù)數(shù)平方光強(qiáng)正比于光柵縫隙數(shù)數(shù)平方C 干涉因子決定的光強(qiáng)干涉因子決定的光強(qiáng)次級(jí)大次級(jí)大位

14、置位置相鄰相鄰主極大譜線間有主極大譜線間有 N-1 條暗譜線條暗譜線微積分中的微積分中的洛爾定理洛爾定理相鄰相鄰主極大譜線間有主極大譜線間有 N-2 條次級(jí)大條次級(jí)大D 衍射因子的調(diào)制效應(yīng)與衍射因子的調(diào)制效應(yīng)與缺級(jí)條件缺級(jí)條件-10-50510050100150200250300 I/I0主極大條件主極大條件 kd sin0 衍射因子條件衍射因子條件 ka sin0sinkadk , 3 , 2 , 1, k缺級(jí)條件缺級(jí)條件 例例14.4.1：已知：已知 =5461 ，先后垂直入射到，先后垂直入射到(1) 500 條條/厘米的光柵厘米的光柵 (2) 10000 條條/厘米的光柵上厘米的光柵上求

15、求：分別經(jīng)過(guò)每一光柵后第一級(jí)與第二級(jí)明條紋的衍射角：分別經(jīng)過(guò)每一光柵后第一級(jí)與第二級(jí)明條紋的衍射角 解解：設(shè)第一級(jí)、第二級(jí)明條紋的衍射角分別為：設(shè)第一級(jí)、第二級(jí)明條紋的衍射角分別為 1、 2，由光柵方程，由光柵方程 kd sin 2211arcsinarcsindd 42121101)sin(,633500/183,431dd 光柵單位長(zhǎng)度中縫數(shù)愈少，條紋角間距愈小，愈光柵單位長(zhǎng)度中縫數(shù)愈少，條紋角間距愈小，愈不容易分辨不容易分辨例例14.4.2：已知：已知 =6000 ，垂直入射一光柵上，測(cè)得第二級(jí)主極大的衍射，垂直入射一光柵上，測(cè)得第二級(jí)主極大的衍射 角為角為 300，且第三級(jí)是缺級(jí)，且第

16、三級(jí)是缺級(jí)求求：(1) 光柵常數(shù)光柵常數(shù)(2) a 的最小寬度的最小寬度(3) a, d 確定后，屏幕上可能呈現(xiàn)的全部主極大的級(jí)次確定后，屏幕上可能呈現(xiàn)的全部主極大的級(jí)次 解解：(1) 由光柵方程由光柵方程 (cm)4104 . 2sin dkd kadk , 3 , 2 , 1, k(2) 由缺級(jí)條件由缺級(jí)條件 4108 . 03 dkkda(cm)(3) 由光柵方程由光柵方程 kd sin41sinmax kdk 當(dāng)當(dāng) 4 k時(shí)，時(shí)， 21sin 如果不出現(xiàn)缺級(jí)，屏幕上有如果不出現(xiàn)缺級(jí)，屏幕上有 等等 7 條主極大條紋條主極大條紋3, 2, 1, 0 k實(shí)際出現(xiàn)主極大條紋有實(shí)際出現(xiàn)主極大條

17、紋有 2, 1, 0 k9, 6, 3 k由缺級(jí)條件由缺級(jí)條件 kadk , 3 , 2 , 1 k可得可得 14.4.3 光柵光譜光柵光譜光柵光譜光柵光譜：不同波長(zhǎng)的光線經(jīng)光柵衍射后按波長(zhǎng)由短到長(zhǎng)依次由中央譜線：不同波長(zhǎng)的光線經(jīng)光柵衍射后按波長(zhǎng)由短到長(zhǎng)依次由中央譜線 向外排開(kāi)而形成不同顏色的譜線向外排開(kāi)而形成不同顏色的譜線 光柵光譜儀光柵光譜儀：用來(lái)觀察光柵光譜的儀器稱(chēng)為光柵光譜儀：用來(lái)觀察光柵光譜的儀器稱(chēng)為光柵光譜儀14.4.4 光柵的分辨本領(lǐng)光柵的分辨本領(lǐng)如果與波長(zhǎng)為如果與波長(zhǎng)為 譜線的譜線的 m 級(jí)主極大最臨近的光強(qiáng)極小位置，剛好與波長(zhǎng)級(jí)主極大最臨近的光強(qiáng)極小位置，剛好與波長(zhǎng)為為 +

18、譜線的第譜線的第 m 級(jí)主極大中心位置重合，則稱(chēng)這兩條譜線可分辨級(jí)主極大中心位置重合，則稱(chēng)這兩條譜線可分辨 (1) 光柵衍射中光線能夠分辨的瑞利判據(jù)光柵衍射中光線能夠分辨的瑞利判據(jù)(2) 光柵分辨本領(lǐng)光柵分辨本領(lǐng) R 的定義的定義 R(3) 光柵分辨本領(lǐng)的計(jì)算光柵分辨本領(lǐng)的計(jì)算波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 的譜線對(duì)應(yīng)的的譜線對(duì)應(yīng)的暗紋暗紋位置位置 Nkd sinNkk NkNd1sin 波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 + 譜線第譜線第 k 級(jí)級(jí)主極大主極大中心位置中心位置 kd sin)(sin kd NkNk1)(kNR 光柵的分辨本領(lǐng)與譜線的光柵的分辨本領(lǐng)與譜線的級(jí)次級(jí)次、光柵、光柵總縫數(shù)總縫數(shù)有關(guān)有關(guān) 例例14.4.3：鈉黃光：鈉黃光 =5893 ，鈉雙線波長(zhǎng)差，鈉雙線波長(zhǎng)差 6 ，光柵常