擺動(dòng)法測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、實(shí)驗(yàn)4用復(fù)擺測(cè)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)掌握對(duì)長(zhǎng)度和時(shí)間的較精確的測(cè)量；2 掌握重力加速度的方法，并加深對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論的理解；3 學(xué)習(xí)用作圖法處理、分析數(shù)據(jù)。二、實(shí)驗(yàn)儀器JD-2物理擺、光電計(jì)時(shí)器等三、實(shí)驗(yàn)原理1.單擺如圖4-1 （單擺球的質(zhì)量為m ）當(dāng)球的半徑遠(yuǎn)小于擺長(zhǎng)I時(shí)，應(yīng)用動(dòng)量矩定理，在角坐標(biāo)系可得小球自由擺動(dòng)的微分方程為:時(shí),式中t為時(shí)間，g為重力加速度，I為擺長(zhǎng)。則（4-1 ）式可簡(jiǎn)化為:(4-1)當(dāng)711 (rad )很小(4-2)圖4-1單擺原理令（4-3 ）式的解為:(4-3 )(4-4)(4-5 )冃-v10 sinC心)式中刊0 ,:由初值條件所決定。周期Ti(

2、4-6)2 物理擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺或物理擺。如圖4-2，設(shè)物理擺的質(zhì)心為C,質(zhì)量為M，懸點(diǎn)為O,繞O點(diǎn)在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。，OC距離為h，在重力作用下，由剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得微分方程為二-Mgh sin -(4-7)-2MghJ0(4-8 )圖4-2 物理擺（復(fù)擺）-)sin(：)(4-9)(4-10)仿單擺，在二很小時(shí)，（4-7 ）式的解為:J0；M gh設(shè)擺體沿過(guò)質(zhì)心 C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，由平行軸定理可知:Jo=Jc Mh2(4-11)將（4-11 ）代入（4-10 ）可得:(4-12)（4-12）式就是物理擺的自由擺動(dòng)周期T和（4-13 ）式右端各參變量

3、之間的關(guān)系。實(shí)驗(yàn) 就是圍繞（4-12 ）式而展開(kāi)的。因?yàn)閷?duì)任何Jc都有Jc % M，因此（4-13 ）式的T與M無(wú)關(guān)，僅與M的分布相關(guān)。(4-13 )令J二Ma , a稱(chēng)為回轉(zhuǎn)半徑,則有 一次法測(cè)重力加速度g由（4-12 ）式可得出2 2(4-14 )4二(Jc Mh )Mh測(cè)出（4-14 ）右端各量即可得 g ;擺動(dòng)周期T,用數(shù)字計(jì)時(shí)器直接測(cè)出，M可用天平稱(chēng)出，c點(diǎn)可用杠桿平衡原理等辦法求出，對(duì)于形狀等規(guī)則的擺，Jc可以計(jì)算出。 二次法測(cè)g一次法測(cè)g雖然簡(jiǎn)明，但有很大的局限性，特別是對(duì)于不規(guī)則物理擺，Jc就難以確定，為此采用如下“二次法”測(cè) g :當(dāng)M及其分布（C點(diǎn)）確定以后，改變h值，作兩

4、次測(cè)T的實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用（4-13 ）式于是有2Ti2J c Mh i=4 二Mgh12,2 Jc Mh2=4 二Mgh2222 2Mgh1T14二 Jc4二 Mh-i =0222 2Mgh2T2 -4二 Jc4二 Mh20(4-15)(4-16)聯(lián)立解（4-15 ）、（ 4-16 ）式，可得出g =4 2h/ - h222 2人2丁2(4-17)這樣就消去了 Jc，所以（4-17 ）測(cè)g就有著廣泛的適用性。從（4-17 ）式，更可十分明確地看到T與M的無(wú)關(guān)性。雖然，任意兩組（h1,T1 ），（ h2,T2）實(shí)測(cè)值，都可以由（4-17 ）式算出g ;但是，對(duì) 于一個(gè)確定的“物理擺”選取怎樣的兩組（

5、h,T ）數(shù)據(jù)，使能得出最精確的 g的實(shí)測(cè)結(jié)果 呢？為此必須研究T （ h ）關(guān)系：將（4-12 ）式平方，于是可得出工亙24 二 Mgh g(4-18 )從此式可以看出T2與h的關(guān)系大體為一變形的雙曲線(xiàn)型圖線(xiàn)：當(dāng)h趨于0時(shí)Ttr,當(dāng)h*, T亦趨于a；可見(jiàn)在 h的某一處一定有一個(gè)凹形極小值。為此，對(duì)（4-18 ）作一次求導(dǎo)并令其為0；即由巴=o,可得dhJCMgh(4-19 )(4-20 )Mh2 =JC =Ma2即移動(dòng)擺軸所增加的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恰為質(zhì)心處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即h =a處所相應(yīng)的T為極小值（為什么？）。（注意：體會(huì)稱(chēng)a為回轉(zhuǎn)半徑的含義）將（4-13 ）式取二次導(dǎo)數(shù)為研究T （ h）關(guān)系特在

6、0.6m長(zhǎng)的扁平擺桿上，間隔 2cm均勻鉆出直徑為1cm的28個(gè)孔以作為O點(diǎn)的Hi值（i= ±1 , ±2 , ±3, ±14）于是可得出如圖 4-3所示的圖4-3擺動(dòng)周期T與擺軸離中心距離h的關(guān)系曲線(xiàn)。在共軛的A , B二極小T值點(diǎn)以上，沿任一 T h畫(huà)一條直線(xiàn)，交圖線(xiàn)于 C, D , E, F 四點(diǎn)；皆為等T值點(diǎn)，錯(cuò)落的兩對(duì)等T值間的距離（hD+h e）= h c + h f被稱(chēng)為等值單擺長(zhǎng)。 為理解這一點(diǎn)，將（4-17 ）式的Ti與Te （或Td）對(duì)應(yīng)，T2與Tf （或Tc）對(duì)應(yīng)，hi為與Ti對(duì)應(yīng)的hE，h2為與T2對(duì)應(yīng)的hF，并將(4-17)式改

7、形為:2 2 2 2 2(4-22)4"TiT2Ti -T2g _2(hi h2)2(hi 弋)（4-22 ）與（4-17 ）的等同性同學(xué)們?cè)谡n后去用代數(shù)關(guān)系式驗(yàn)證。從（4-22 ）可知,當(dāng)Ti = T 2 （ =T ）時(shí)，即化為單擺形式的公式（4-6 ），故稱(chēng)（hE+hF）、（ hc+h d）為等值單擺長(zhǎng)。從（4-20 ）式可知： OB = OA = a ；而 ax2 = h e+ h i從圖4-3可知，A，B二共軛點(diǎn)為T(mén)（ h）的極小值點(diǎn)，若在它附近取二個(gè)h值來(lái)計(jì)算g則將引起較大的誤差。所以欲取得精確的g的測(cè)量值，就只能取最大的F點(diǎn)和相應(yīng)的E點(diǎn)來(lái)計(jì)算g值。因孔的非連續(xù)性，E只能取

8、Te近乎于Tf的點(diǎn)代入（4-22 ）式。還可取略大、略小的兩組值都計(jì)算出再取平均。A或B在實(shí)驗(yàn)上雖然不利于測(cè)量出較精確的g，但運(yùn)行在Tb （或Ta）值下的擺，其 性能最穩(wěn)定。 可倒擺為提高測(cè)g的精度，歷史上在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的物理擺的擺桿上，加兩個(gè)形體相同而密度不 同的兩個(gè)擺錘對(duì)稱(chēng)地放置。于是質(zhì)心 C點(diǎn)隨即被改變，圖4-3的圖線(xiàn)也隨之改變，特別是 Tc （即Ti）, Tf （即T2）所相應(yīng)的he （即hi），hF （即h2）也隨之改變。但曲線(xiàn)的形狀依 歸。所以，用此時(shí)的 T（ =Tf =Te）和hi（ =h e），h2（ =h f）按（4-22 ）式來(lái)計(jì)算出 g。 當(dāng)然，由于擺桿孔的非連續(xù)性，所以?xún)H能

9、用Tc Tf的實(shí)測(cè)值，這時(shí)（4-22 ）式的右端的第2項(xiàng)僅具很小的值。所以（Ti - T2）很小，而（hi - h2）較大。所以實(shí)驗(yàn)須先在重鐵錘的擺桿的下端測(cè)出Ti后，將擺倒置過(guò)來(lái)，從遠(yuǎn)端測(cè)出大于Ti的值然后逐漸減h2直至T2小于Ti為止。將加有二擺錘的擺叫作可倒擺（或稱(chēng)為開(kāi)特氏擺）；（4-22 ）式就稱(chēng)為可倒擺計(jì)算式。擺錘用兩個(gè)而不是用一個(gè)，而且形體作成相同，是因?yàn)榈怪靡院笤跀[動(dòng)過(guò)程中，擺的 空氣阻尼等對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)的影響可消除。由物理擺的理論可知，可倒擺（開(kāi)特?cái)[）僅是物理擺的特例。 錘移效應(yīng)a 加錘擺的擺動(dòng)周期 Tm設(shè)原擺為一帶刻度的擺桿。擺的質(zhì)量為 M，質(zhì)心為C （設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)），擺心為0,

10、 C0距離為h，質(zhì)心C處與擺心0處沿0Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Jc、Jo。以上條件皆固定不 變。然專(zhuān)業(yè)資料*圖4-4 *加錘擺(4-24)Tm =2 二Ma2 Mh2 mr2 m(h-x)2(M m) g (h5mmX)(4-28 )后再加一個(gè)圓柱形的擺錘，錘的回轉(zhuǎn)半徑為r，質(zhì)量為m ;正軸與上述各軸平行。錘移動(dòng)沿 CO方向?yàn)?X。置錘于X處，如圖 4-4所示。擺的總質(zhì)量為M '二M m（4-23）質(zhì)心變?yōu)镃',由一次矩平衡原理可得出CC' m X /（M m）所以新的擺長(zhǎng)h' = h CC hm X/(M m)(4-25)由平行軸定理，可得Jo，= Ma2 Mh2

11、mr2 m(h-X)2(4-26)設(shè)重力加速度g已知（不變），則帶錘的擺動(dòng)方程式仿（4-7 ）、（4-10 ）式為：（動(dòng)量 矩定理）J0v - -(M m) g hm X /(Mm) si(4-27)i .加錘擺的周期公式 Tm為:在研究錘移效應(yīng)時(shí)，令（固定不變）2 2 2C 二 Ma mh mr所以有此式的特點(diǎn):k =(M m) g(4-30) 4 f m(h X)2V k (hm x) M m(4-31 )它與無(wú)錘擺的形式相似，即原T ( h)關(guān)系與現(xiàn)在Tm (X)關(guān)系相似,(此時(shí)h為固定常數(shù))由于X的取向等原因，所以 Tm ( X)相當(dāng)于圖4-3曲線(xiàn)的左葉，Tm(X)的漸近線(xiàn)亠X =0,

12、即XJh時(shí),M mm而X的負(fù)向則為，XT Tm + mh，則Tm為復(fù)數(shù)(無(wú)意義)它也存在著極(小)值所以應(yīng)由(4-32 )dT m ( X )dXdTmdXdTmdfdfdXc m(h X)2k(h-XX) m + X所以有2d c m (h _ X )M + M-0)X2U =C m(h -X),V =h m X , M +m代入u、d () uv . _ dX -dvdX2vduv X可得(h -X)2m(h-X) (-1)-C m(h-X)(G( 4-33)7X)2mm22(hX) (2mh-2mX) (-1)(c - mh -2mhX mX)=OM +mM +mm2X 22 m(c m

13、h2)M-m X -2mhX 2mh -7TT = 02 ,m22 m(c mh2)、2mh _ (2mh) -4：: 2mhM mM mX =分子，分母都除以2m （根號(hào)內(nèi)除以4m2）得12mh2M mmM m2m(c mh )M m (M m)h-.(M m)2h2 -2mh2(M m) -m(c mh2)_ (M m)h 二 '- Mh 2 2Mmh2 m2h2 _2mh2M _2m2h2 _mc m2h2_ (M m)h 二. me M 2h2所以X 一定有解，T有極值T（ X）如前所述，T （X）函數(shù)與T （ h ）函數(shù)的性狀是一樣的， 所以此極值也一定是極?。唬ㄒ?求密來(lái)判

14、定，略去）dxii 零質(zhì)量擺錘的周期（公式）Tm°將m=0代入公式（4-28 ),可得Tm zSJC +Mh2 +O+Ox(h-X)2(M 0) g嘰2Jc MhM g hgh g=Th(4-35)Th意義就是與X平行的，值為T(mén)h的T （X ）函數(shù)線(xiàn)。Th也就是無(wú)錘擺在CO = h時(shí)的擺動(dòng)周期值，這也就是研究T （X）時(shí)為什么X的取向，原點(diǎn)都與原來(lái)的T （ h ）的h取向、 原點(diǎn)為一致的原因，而另取一個(gè)有別于h的符號(hào)X是為了討論、理解得方便。理解這一點(diǎn)是弄 明下一點(diǎn)的前提。iii 周期Tm與Th （即m=0時(shí)的Tm）的交點(diǎn)，即有 Tm =T h也就是令（4-28 ）式與（4-13 ）

15、式相等，于是有:Ma2 Mh2 mr(M m) g (hm(h-X)2(4-36 )所以解得a2 h2ghMa2 Mh2 mr2 m(h-X)2(M m) g (hX)a2 h2 Ma2 Mh2 mr2 mh2 -2mhX mX2 ghg(M m)h -mX2 2 2 2 2mhX -m(h -a )X -mh(a -r ) =0hX2 _(h2 _a2)X _h(a2 _r2) =02X*(h-*)+4(a2-r2)2上式如下特點(diǎn):它與m無(wú)關(guān)。即錘的結(jié)構(gòu)、形狀相同（r相同）而密度（即質(zhì)量） 在X處擺的周期T相等。它在r : a條件下有兩個(gè)實(shí)根。(h2 -a2)2 h2a24h2即雖然它與錘質(zhì)

16、量無(wú)關(guān)，但它與質(zhì)量的分布（回轉(zhuǎn)半徑r）相關(guān),式時(shí)，無(wú)解。 當(dāng)4h2a2 (h2 V 2h（4-37）不同的擺錘，（4-38）.r 滿(mǎn)足（4-38）（4-39）時(shí)退化為只有一個(gè)解:h2-a22hiv.回到物理擺的周期公式（4-12 ）式或（4-13 ）式，在擺桿質(zhì)心點(diǎn)當(dāng)有類(lèi)似情況。當(dāng)m工0而rt0的質(zhì)點(diǎn)錘置于擺桿的質(zhì)心 C處時(shí)，并且懸掛點(diǎn)于 a處。當(dāng)m豐0 , m變則T變，這與由（4-37 ）式算出的X處r不變T變，m變而T為 不變是有所不同的。v .（鐘表擺的）T的微調(diào)遠(yuǎn)離于C, Xi , X2;調(diào)擺錘（或平衡錘一一亦可稱(chēng)之為擺的“平衡”錘）的質(zhì)量或其質(zhì)量的分布。移動(dòng) 平衡錘。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與步驟安裝、調(diào)節(jié)好儀器以后：1 測(cè)出無(wú)錘擺桿的 T （ H ）關(guān)系；（可只測(cè)半截?cái)[桿的）2 測(cè)出兩個(gè)加錘擺的 Ti （X）, T2 （X）關(guān)系；兩擺錘的形狀、尺寸須相同，而質(zhì)量 不同；3 然后按原理所述，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)表格自列。四、注意事項(xiàng)專(zhuān)業(yè)資料1 .擺幅A須小于1 °,按R=0.3m（ 1擺桿）+0.03m（擺針）=330mm 計(jì)2倍振幅2 二 3