無(wú)窮大量與無(wú)窮小量極限的運(yùn)算法則

1、第五講I授課題目：§ 2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量；§2.5極限的運(yùn)算法則。教學(xué)目的與要求：理解無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念，弄清無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系; 掌握極限的運(yùn)算法則。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念、相互關(guān)系； 用極限的運(yùn)算法則求極限。講授內(nèi)容：1、2、1、2、IV§ 2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量一、無(wú)窮大的概念：引例：討論函數(shù) yf(x)1，當(dāng)x 1時(shí)的變x 12.5 5 7.5 1 I化趨勢(shì)也即:x丄E1E越來(lái)越大(任意11x 1I時(shí)有：x 10，當(dāng)E。即： ER ，要定義2.9成立，則稱變量1如：limx 1 x 1R，變量y在其變化過(guò)程中，總有一時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)

2、刻以后，y E y是無(wú)窮大量，或稱變量 y趨于無(wú)窮大，記：lim y氏量,注1.2.3.例如:，lim lg xx 0，lim tgxx2y，則習(xí)慣地稱此時(shí)y f (x)的極限為無(wú)窮(大)；若：lim無(wú)窮大不能與很大的數(shù)混淆； 無(wú)窮大與無(wú)界變量的區(qū)別；1y f (x)當(dāng) x k ,(k0, 1, 2)時(shí)，f (x)sin x,無(wú)界，但非無(wú)窮大，x k時(shí)，f (x)為有限數(shù)。例1函數(shù)y xcosx在(,)內(nèi)是否有界？又當(dāng)x 窮大？為什么？ 解用反證法時(shí)，此函數(shù)是否為無(wú)若:當(dāng)x時(shí)，y xcosx非無(wú)窮大，則M0,X0,當(dāng) x X 時(shí),有 xcosx M,(1),取 Xn 2n,當(dāng)n充分大時(shí)2必有x

3、nX,而XnCOSXn0與(1)式矛盾。x時(shí)，y xcosx ,非無(wú)窮大。4.無(wú)窮大運(yùn)算的結(jié)論：(1) 有界變量與無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量；(2) 兩個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量；(3) 有限個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量。二、無(wú)窮小量：1. 概念：定義2.10 以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。11例如：lim n 0,則稱n 時(shí)，變量 yn-是無(wú)窮小量n 2n2-注無(wú)窮小量非很小的數(shù)，但零是可作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù)。2. 兩個(gè)重要結(jié)論：結(jié)論1定理 2.9 lim y A， y A ，lim 0。如XX6mH X6x 5x556，而：lim 0 ,xx x5XX6 mH X論結(jié)定理2.10若:lim0，且：

4、y M ,M 0,lim y推論 若:C為常數(shù),lim0 lim C0 o例如：lim xsin1 ?x 0xlim x0，1 sin 1，1門lim xsin 0。x 0xx 0x三、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系:定義2.11 設(shè),是關(guān)于同一過(guò)程的無(wú)窮小,lim 也是關(guān)于同一過(guò)程的極限,定理2.11若：lim y,lim 0 ;若：limy0,(0)lim 例如：limxe,lim 4-0 oxx e注無(wú)窮大、無(wú)窮小與極限過(guò)程有關(guān)。 四、無(wú)窮小的階(無(wú)窮小的比較)：1.概念：若：lim 0，則稱 是比 較高階的無(wú)窮小，記:若:lim ，則稱是比低階的無(wú)窮?。蝗?limc(c0)，則稱是與同階的無(wú)

5、窮小；特別地：c1時(shí),稱與是等價(jià)的無(wú)窮小，記：。例如:limx1x0時(shí)，x與2x是同階無(wú)窮小'x 02x2注1.同一過(guò)程的無(wú)窮小方能比較；2. lim 存在，方能比較2.重要結(jié)論：定理2.12 若:，且:lim'，貝V lim= lim。常用的等價(jià)無(wú)窮小:x例22比ex.X0時(shí)，x sin xtgxarcsin x arctgx ln(x 1) e設(shè)：x 0時(shí)，(1 cosx)ln(11高階的無(wú)窮小，則n ?1, x2）是比xsin xn高階的無(wú)窮小,xsin xn 是lim (1 cosx) ln(1 x2)x 03 ；nxsinxlXm02x 2x2nxx3 n02lim

6、- xxxsin x又：lim2x 0 ex1-limx 0xxx2lim xn 1x 00,n 10n1,即：1 n 3,故：n2。§ 2.5極限的運(yùn)算法則定理2.13 若：lim xA,lim y Blim( x y)lim xlimy推論1 lim XiA , ii 1,2,n ,nlim xi 1inlim xi1ni 1A 0推論2 limlim0,lim()0注可推廣到有限個(gè)。定理2.14 若:lim xA,lim y Blim(xy)lim xlimyAB推論1 lim xiA , ii 1,2,n ,nlimxii 1nlim xii 1nA1推論2 limlim0,

7、lim0注可推廣到有限個(gè)。nnnA推論 3 lim f (x) Alim0 , lim 0,B 。f(x)推論4 lim xc為常數(shù)推論5 lim xlim xn (lim x)nlim cx clim x cA1lim x7An(lim x)n(AO),定理2.15若:limx A, limlim ylim xlim ylim(3x2x 1lim (3x2 2x 1) 3lim xx 1“若：f(x)是求:2x 1) or2rx 11多項(xiàng)式，則:2求：若:2limx 1lim f (x)X x0x 5o3 122x23x 12x2f (x)是 lim x 2 3x 12lim (2x x 5

8、)5lim(3x 1)7x 2v/若:f(x)毀p(x)!叫。4&) q(x。) lim p(x) p(Xo)x xo研究:limx 2 xx24limx 2 5x5xf (xo) o,p(xo)0 p(x),q(x)是多項(xiàng)式,則:limx xof(x)lim 坐x xo p(x)5x lim 2 。x 2 x 4例4x 3求：lim 2x 3 x 9解x 3x 3lim 2limx 3x29 x 3(x3)( x 3)1 1 limx 3 x 36例5求：limx 4x 2。(!)x 44解Vx2lim x 4 x 4limx 4Vx 2(、x 2)( x 2)例6求：lim1 x1

9、0x ox解71 _x 1 limx ox叫14(1 x 1)( -1 x x&rx 1)xx(.1 x 1)lim 1 丄x o 1 x 12例7求:lim 1 2X 3。x 4 x 221 2x 3x 22(2x 8)( _x 2.2)(x 4)( . 1 2x 3)lim2( X 22)x 4 ( .1 2x 3)2 23mHx3X4x32x21解limlimX3x4 1X2x21例9求:lim0X8x27x24XXX314XlimX2x218x2 7x2lim 一X8a。nn 1b0limma1xm 1b1xan 1Xan0, nx b°xmbm 1Xbm,n注mm

10、( a° O,bo 0,a, ,bj 是常數(shù)，且:m0,1,2, ,n ,10 已知：yj 0,1,2, ,m)。x 1,xx2 3xx31f(X)lim f(x)x 0lim0f(X)lim(xx 01),X又: Jim f (x)X211 求：limXlimXx( X3x 1,研究：I叫 f (x),im f (x) , ,limlim f (x)x 02x 3x 13”X 11x)limXf(X)lim (xX1);2lim x( .x 1 x)XlimX12 求：lim ( . x2 1X. X21 X21) Timxx21 (x21).x21. x21limxx=lim10。V小結(jié)與提問(wèn)：1. 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的 主要內(nèi)