高中數(shù)學(xué)《微積分基本定理》素材2 新人教A版選修2-2

1、微積分的產(chǎn)生與發(fā)展    一、準(zhǔn)備    在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初的歐洲，文藝復(fù)興帶來了人們思維方式的改變資本主義制度的產(chǎn)生，使社會(huì)生產(chǎn)力大大得到解放資本主義工廠手工業(yè)的繁榮和向機(jī)器生產(chǎn)的過渡，促使技術(shù)科學(xué)和數(shù)學(xué)急速向前發(fā)展    在科學(xué)史上，這一時(shí)期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學(xué)提出了新的課題公元1492年，哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸，證實(shí)了大地是球形的觀念；1543年，哥白尼發(fā)表了天體運(yùn)行論，使神學(xué)的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動(dòng)搖；開普勒在16091619年，總結(jié)出行星運(yùn)動(dòng)的三大定律，導(dǎo)致后來牛頓萬有引力

2、的發(fā)現(xiàn)；1609年伽里略用自制的望遠(yuǎn)鏡觀察了月亮、金星、木星等星球，把人們的視野引向新的境界這些科學(xué)實(shí)踐拓展了人們對世界的認(rèn)識，引起了人類思想上的質(zhì)變十六世紀(jì)，隨著資本主義生產(chǎn)萌芽的出現(xiàn)，產(chǎn)生了新的生產(chǎn)關(guān)系，社會(huì)生產(chǎn)力有了很大的發(fā)展社會(huì)實(shí)踐中有大量處于不斷運(yùn)動(dòng)和變化的關(guān)系需要人們?nèi)フJ(rèn)識和處理對它們的研究從而獲得了“變量”的概念對變化著的量的一般性質(zhì)和它們之間的依賴關(guān)系的研究，又得到了“函數(shù)”的概念使得對數(shù)學(xué)的研究從常量開始進(jìn)入了變量的領(lǐng)域這成為數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是“變量”數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟    由于“變量”作為新的問題進(jìn)入了數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)的研究方

3、法也就提出了新的要求在十七世紀(jì)前半葉，解析幾何的觀念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家接近了但是十七世紀(jì)三十年代，解析幾何才被笛卡爾（Descartes，R（法）15961650）和費(fèi)爾馬（Fermat，Pde（法）16011665）創(chuàng)立    一般認(rèn)為，解析幾何的主要?jiǎng)?chuàng)立者是笛卡爾1637年，笛卡爾用法文寫了三篇論文折光學(xué)、氣象學(xué)和幾何學(xué)，并為此寫了一篇序言科學(xué)中正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論，哲學(xué)史上簡稱為方法論幾何學(xué)提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，這標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生和笛卡爾同時(shí)或較早，費(fèi)爾馬已得到解析幾何的要旨他在平面與立體軌跡引論（開始于1629年，1636

4、年前完成“立體軌跡”指不能用尺規(guī)作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同）一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過對方程的研究可以推斷出曲線的性質(zhì)    在解析幾何里，由于建立了坐標(biāo)系，可以用字母表示變動(dòng)的坐標(biāo)，用代數(shù)方程刻畫一般平面曲線，用代數(shù)運(yùn)算代替幾何量的邏輯推導(dǎo)，從而把對幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對解析式的研究，使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來了這種新的數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學(xué)的思想和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，思格斯把它稱為數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)此后人類進(jìn)入了變量數(shù)學(xué)階段，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟為十七世紀(jì)下半葉微積分算法的出現(xiàn)準(zhǔn)備了條件    二

5、、產(chǎn)生    微積分出現(xiàn)于十七世紀(jì)后半葉的西歐牛頓（Newton，I（英）16421727）和萊布尼茨（Leibniz，GW（德）1646171）在十七世紀(jì)后半葉各自獨(dú)立地建立了微積分，這是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第二個(gè)決定性步驟微積分是經(jīng)過長時(shí)間的醞釀才產(chǎn)生的微積分的原理可以追溯到古代在中國，公元前4世紀(jì)的桓團(tuán)、公孫龍街等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；公元3世紀(jì)的劉徽，公元56世紀(jì)的祖沖之、祖暅對圓周率、面積以及體積的研究，都包含有極限和微積分的思想萌芽在歐洲，公元前3世紀(jì)古希臘的歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes約公元前287212）所

6、建立的確定面積和體積的方法，也都包含有上述萌芽在十六世紀(jì)末、十七世紀(jì)初，由于受力學(xué)問題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù)方法來解決的影響，促使許多數(shù)學(xué)家去探索微積分開普（KeplerJ（德）15711630）、卡瓦列里（Cavalieri，F(xiàn)B（意）15981647）和牛頓的老師巴羅（Barrow，I（英）16301677）等人也研究過這些問題，但是沒有形成理論和普遍適用的方法1638年，費(fèi)爾馬首次引用字母表示無限小量，并運(yùn)用它來解決極植問題稍后，他又提出了一個(gè)與現(xiàn)代求導(dǎo)過程實(shí)質(zhì)相同的求切線的方法，并用這種方法解決了一些切線問題和極值問題后來，英格蘭學(xué)派的格雷果里（Gregory，J（

7、英）16381675）、瓦里斯（WalliS，J（英）16161703）繼續(xù)費(fèi)爾馬的工作，用符號“0”表示無限小量，并用它進(jìn)行求切線的運(yùn)算到十七世紀(jì)早期，他們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題的特殊方法諸如，求曲線的切線、曲率、極大極小值，求運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度以及面積、體積、曲線長度、物體重心的計(jì)算等但他們的工作差不多都局限于一些具體問題的細(xì)節(jié)之中，還缺乏普遍性的規(guī)律    牛頓是從物理學(xué)觀點(diǎn)來研究數(shù)學(xué)的，他創(chuàng)立的微積分學(xué)原理是同他的力學(xué)研究分不開的他發(fā)現(xiàn)了力學(xué)三大定律和萬有引力定律1687年牛頓出版了他的名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，原理從作為力學(xué)基礎(chǔ)的定義和公理（運(yùn)動(dòng)定律）

8、出發(fā)，將整個(gè)力學(xué)建立在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)演繹基礎(chǔ)上就數(shù)學(xué)本身而言，原理不僅深入地運(yùn)用了牛頓本人創(chuàng)造的分析工具，而且也是牛頓分析學(xué)說的第一次正式公布他超越前人的功績在于：將前人創(chuàng)立的特殊技巧統(tǒng)一為一般的算法，特別是確立了微分與積分這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系（微積分基本定理）    萊布尼茨卻是從幾何學(xué)的角度去考慮微積分的，特別是和巴羅的微分三角形有密切關(guān)系1684年，他在學(xué)藝雜志上發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)文章一種求極大極小和切線的新方法，這是世界上最早的微積分文獻(xiàn)，比牛頓的自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理早3年他在文章中談到量的微分概念，提出量的和、差、積、商、根、冪的微分公式，以及微分方法在求

9、切線、求極值等幾何問題上的應(yīng)用以后又陸續(xù)發(fā)表了一些文章，提出了諸如指數(shù)。對數(shù)的微分公式和微分的進(jìn)一步的應(yīng)用，他力圖找到普遍的方法來解決數(shù)學(xué)分析中的問題這樣，在十七世紀(jì)七十年代中期，萊布尼茨通過研究幾何問題，建立了與流數(shù)法實(shí)質(zhì)一樣的微積分算法他所引進(jìn)的微積分符號“d，f”比牛頓用的符號更靈活，更能反映微積分的本質(zhì)例如微分dx，二階微分d2x， ，都非常適合、便利這些符號一直沿用到今天，在促進(jìn)微積分方法發(fā)展方面起了積極作用    牛頓和萊布尼茨的工作是各自獨(dú)立的，他倆的工作有很大的不同，主要區(qū)別是：牛頓把x和y的無窮小增量作為求導(dǎo)數(shù)的手段當(dāng)增量越來越小的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)實(shí)際

10、上就是增量的比的極限而萊布尼茨卻直接用x和y的無窮小增量（就是微分）求出它們之間的關(guān)系。這個(gè)差別反映了牛頓的物理學(xué)方向和萊布尼茨的幾何學(xué)方向的不同思維方式在物理學(xué)方面，需要關(guān)注速度、加速度等問題，而幾何學(xué)卻著眼于面積體積的計(jì)算：牛頓自由地用級數(shù)表示函數(shù)，而萊布尼茨寧愿用有限的形式來實(shí)現(xiàn)他們的工作方式也不同，牛頓是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和謹(jǐn)慎的，而萊布尼茨是富于想象的、喜歡推廣的而且是大膽的；他們對記號的關(guān)心也有差別，牛頓認(rèn)為用什么記號無關(guān)緊要，而萊布尼茨卻花費(fèi)很多時(shí)間來選擇富有提示性的符號    人類對求積問題（積分學(xué)的中心問題）的探討，可以追溯到遠(yuǎn)古但對切線問題（微分學(xué)

11、的中心問題）的探討卻是比較晚的事因而微分學(xué)的起點(diǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于積分學(xué)牛頓、萊布尼茨將這兩個(gè)貌似不相關(guān)的問題聯(lián)系起來，用“微積分基本定理”或稱“牛頓萊布尼茨公式”表達(dá)出來他們有效地創(chuàng)立了微積分的基本定理和運(yùn)算法則，從而使微積分能成為一門獨(dú)立的學(xué)科，并成為數(shù)學(xué)中最大分支“分析學(xué)”的起源，終于不再是古希臘幾何學(xué)的延展這都是他們作出貢獻(xiàn)以前不可能達(dá)到的    三、發(fā)展    在數(shù)學(xué)上，有人把十七世紀(jì)叫做天才的時(shí)期，也有人把十八世紀(jì)叫做發(fā)明的時(shí)期這兩個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)成就是巨大的微積分學(xué)的深入發(fā)展，成為了十八世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主要線索這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密

12、交織在一起，刺激和推動(dòng)了許多新分支的產(chǎn)生，使分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明特別的獨(dú)立的數(shù)學(xué)領(lǐng)域這個(gè)時(shí)期微積分學(xué)的發(fā)展有三個(gè)顯著特征   第一個(gè)特征是分支廣泛數(shù)學(xué)家從物理學(xué)、力學(xué)、天文學(xué)的研究中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)新分支，這些分支在十八世紀(jì)大都處于萌芽狀態(tài)，未形成系統(tǒng)嚴(yán)密的理論他們的目標(biāo)不是研究數(shù)學(xué)，而是用數(shù)學(xué)去解決物理學(xué)中的問題他們認(rèn)為數(shù)學(xué)只是物理學(xué)的一個(gè)工具他們關(guān)心的只是數(shù)學(xué)對天文學(xué)、物理學(xué)的價(jià)值可以說十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)力是物理學(xué)和天文學(xué)    泰勒（Taylor，B（英）16851731）和馬克勞林（Macleaurin，C（英）169

13、81746）在研究弦振動(dòng)理論和天文學(xué)問題時(shí)，得到級數(shù)展開理論；微分幾何是克萊羅（Clairaut，AC（法）17131765）歐拉（Euler，L（瑞）17071783）在研究曲線曲面的力學(xué)問題、光學(xué)問題、大地測量和地圖繪制問題時(shí)產(chǎn)生的；歐拉、拉格朗日（Lagrange，JL（法）17361813）和伯努利兄弟（Nikolaus Bernoulli16951726， DamielBernoulli 17001782（瑞）在研究力學(xué)和天體運(yùn)行問題之時(shí)，建立了變分法和常微分方程；達(dá)朗貝爾（dAlembert，JleR（法）17171783）、拉普拉斯（Laplace，PS（法）17491827）、

14、拉格朗日在研究弦振動(dòng)、彈性力學(xué)和?有引力問題時(shí)建立了偏微分方程理論（主要是一階的）；歐拉、柯西（Cauchy，AL（法）17891857）在研究流體力學(xué)問題時(shí)，建立了復(fù)變函數(shù)論等等    第二個(gè)特征是方法的交替幾何論證法是自古以來人們研究數(shù)學(xué)時(shí)所廣泛使用的方法十七世紀(jì)的時(shí)候，代數(shù)是人們興趣的中心，那時(shí)候代數(shù)和分析還沒有分開來但是到了十八世紀(jì)，它變成從屬于數(shù)學(xué)分析，而且除了數(shù)論以外，促進(jìn)代數(shù)研究的因素大部分來自數(shù)學(xué)分析隨著對微積分研究的進(jìn)一步深入，歐拉和拉格朗日認(rèn)識到分析方法具有更大的效用，就慎重地、逐漸地把幾何論證換成分析論證歐拉的許多教科書里都著重說明了怎樣使用

15、分析法拉格朗日在他的分析力學(xué)的序言中大力推廣分析論證拉普拉斯在他的宇宙體系統(tǒng)中也強(qiáng)調(diào)了分析法的重要作用后來許多數(shù)學(xué)家開始認(rèn)識到分析法的重要性，這樣數(shù)學(xué)分析的思想方法逐漸被普遍地采用了    第三個(gè)特征是不嚴(yán)密正如任何一項(xiàng)重大的發(fā)明，都不可能在一開始時(shí)便完整無瑕，微積分在其產(chǎn)生的初期，也因理論的不嚴(yán)密而在許多方面陷入了自相矛盾的困境    微積分產(chǎn)生于解析幾何、物理等的直觀問題的需要，而同時(shí)也廣泛地被利用它沒有相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論作指導(dǎo)，還來不及為自己打基礎(chǔ)微積分的基礎(chǔ)是極限理論，而牛頓，萊布尼茨的極限觀念是十分模糊的究竟什么是極限？無窮小又

16、是什么？這在當(dāng)時(shí)沒有人作出過合理的解釋級數(shù)和積分的收斂性，微分和積分次序交換，高階微分的使用，以及微分方程解的存在性問題等等，那時(shí)幾乎沒有人涉足數(shù)學(xué)家就沉迷于用新的數(shù)學(xué)方法去解決物理、天文等方面的問題，而又被得到的新的成果所陶醉大家還顧及不上去追究在數(shù)學(xué)推理上的嚴(yán)密性在當(dāng)時(shí)的情況下也沒看到有這必要正如達(dá)朗貝爾在1743年說：“直到現(xiàn)在表現(xiàn)出更多關(guān)心的是去擴(kuò)大建筑，而不是在人口處張燈結(jié)彩；是把房子蓋得更高些，而不是給基礎(chǔ)補(bǔ)充適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度”因此，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開墾了許多新的處女地，數(shù)量之多是驚人的，但是他們的工作是粗糙的，不嚴(yán)密的，是刀耕火種式的工作方法由于十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家忙于應(yīng)用解析幾何和微積分

17、這兩種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具去解決科學(xué)和技術(shù)中的許多實(shí)際問題，并被新方法的成功所陶醉，而無暇顧及所依據(jù)的理論是否可靠，基礎(chǔ)是否扎實(shí)，這就出現(xiàn)了謬誤越來越多的混亂局面    四、深入    到了十九世紀(jì)，新數(shù)學(xué)中直觀的不嚴(yán)密的論證導(dǎo)致的局限性和矛盾愈發(fā)顯著，微積分的嚴(yán)密化日益引起數(shù)學(xué)家的關(guān)注嚴(yán)密的分析是從波爾查諾（Bolzano，B（捷）17861848）、柯西、阿貝爾（Abei，NH（挪）18021829）和狄利克雷（Dirichlet，PG（德）18051859）的工作開始的，為它的進(jìn)一步發(fā)展作出了大重大貢獻(xiàn)的有維爾斯特拉斯（Weiers

18、trass，K（TW）（德）18151897）柯西在他的分折教程（1821）中從定義變量開始，對于函數(shù)概念引進(jìn)了變量之間的對應(yīng)關(guān)系而單值函數(shù)的確切定義，是狄利克雷在一篇關(guān)于博里葉級數(shù)的論文中用正弦和余弦級數(shù)來表示完全任意的函數(shù)（1837）中給出的1829年狄利克雷給出了著名的狄利克雷函數(shù)（在一切有理數(shù)時(shí)取1，在一切無理數(shù)時(shí)取0）以后維爾斯特拉斯利用三角級數(shù)構(gòu)造出處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)例子關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的確切定義，即 說法，是由維爾斯特拉斯在18411856年間作中學(xué)教師時(shí)給出的波爾查諾于1817年首先給出了導(dǎo)數(shù)的定義柯西于1823年在他的無窮小分析教程概論的著作中，對定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，對于連續(xù)函數(shù)給出了定積分作為