導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2文名師課件

1、1 3 x2- -2 x+5. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間; 設(shè)設(shè)f(x)=x - - 2 (2)當(dāng)當(dāng) x? ?- -1, 2 時(shí)時(shí), f(x)m 恒成立恒成立, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) m 的取值范圍的取值范圍. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -x- -2, 2 2 令令 f? ?(x)0 得得 - - x0得得x1. 3 3 2 , 1); y=f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - 3 2 單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是 (- -, - - )和和(1, +). 3 (2)命題等價(jià)于命題等價(jià)于 f(x) 在在 - -1

2、, 2 上的最大值小于上的最大值小于 m . 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x=- - 或或1. 3 22 2 1 1 f(1)=3 , f(2)=7, f(- -1)=5 , f(- - )=5 , 3 27 2 2 f(x) 在在 - -1, 2 上的最大值為上的最大值為 7. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 1 m的取值范圍是的取值范圍是 (7, +). 70. x- - 3 故當(dāng)故當(dāng) x1 時(shí)時(shí), f? ?(x)0; 當(dāng)當(dāng) - -1x1 時(shí)時(shí), f? ?(x)0. 當(dāng)當(dāng) x=- -1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極大值取得極大值; 當(dāng)當(dāng) x=1 時(shí)時(shí), f(x) 取得極小值取得極小值.

3、f(- -1)- -f(1)=4. 函數(shù)函數(shù) f(x) 的極大值比極小值大的極大值比極小值大 4, 即即 (- -1- -a- -b+1)- -(1+ a+b+1)=4. 整整理得理得 a+b=- -3. 由由 , 得得 a=- -1, b=- -3. 故故 a, b 的值分別為的值分別為 - -1, - -3. 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)的單調(diào) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=- - x 3 區(qū)間、極值區(qū)間、極值; (2)若當(dāng)若當(dāng) x? ?a+1, a+2 時(shí)時(shí), 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解

4、解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2, 令令 f? ?(x)=0 得得 x=a 或或 x=3 a. 0a1, a3a. 當(dāng)當(dāng) x 變化時(shí)變化時(shí), f? ?(x), f(x) 的變化情況如下表的變化情況如下表: x (- -, a) a (a, 3 a) 3 a (3 a, + ) 0 0 f? ?(x) + - - - - f(x) ? 極小值極小值 ? 極大值極大值 ? 由上表可知由上表可知, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (a, 3 a), 單調(diào)遞單調(diào)遞減區(qū)間是減區(qū)間是(- -, a) 和和 (3 a, + ). 4 3 當(dāng)當(dāng) x=a時(shí)

5、時(shí), f(x)取極小值取極小值 f(a) =- - a +b; 3 當(dāng)當(dāng) x=3 a 時(shí)時(shí), f(x) 取極大值取極大值 f(3 a)=b. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 3 1 3+2 ax2- -3 a2x+b, 0 a1. (1)求函數(shù)求函數(shù) f(x)的單調(diào)的單調(diào) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=- - x 3 區(qū)間、極值區(qū)間、極值; (2)若當(dāng)若當(dāng) x? ?a+1, a+2 時(shí)時(shí), 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 試確定試確定 a的取值范圍的取值范圍. 解解: (2)0a1, 2 aa+1. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 3 f? ?(x)=- -x2+4 ax- -3 a2 在在 a+1,

6、a+2 上為減函數(shù)上為減函數(shù). f? ?(x)max=f? ?(a+1)=2 a- -1, f? ?(x)min=f? ?(a+2)=4 a- -4. 當(dāng)當(dāng) x? ?a+1, a+2 時(shí)時(shí), 恒有恒有 |f? ?(x)|a, 即即 - -af? ?(x)a 恒成立恒成立. 4 a- -4- -a 且且 2 a- -1a. 4 解得解得 a1. 又又0a1, 5 4 故故a 的取值范圍是的取值范圍是 , 1). 5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 4 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 在在 x=0 處取得極值處取得極值, 曲線曲線 y=f(x) 過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn) P(- -

7、1, 2). 若曲線若曲線 f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn) P 處的切線與直線處的切線與直線 y=2 x的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角. (1)求求 f(x) 的解析式的解析式; (2)若若 f(x) 在在區(qū)間區(qū)間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 求求 m 的取值范圍的取值范圍. f(0)=0? ?d=0. 解解: (1)曲線曲線 y=f(x)=ax3+bx2+cx+d 過(guò)原點(diǎn)過(guò)原點(diǎn), f(x)=ax3+bx2+cx, f? ?(x)=3 ax2+2 bx+c. 函數(shù)函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx 在在 x=0 處取得極值處取得極值, f? ?(0)=0? ?c=0.

8、 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) P(- -1, 2) 的切線斜率為的切線斜率為 f? ?(- -1)=3 a- -2 b, 而曲線而曲線 f(x)在在 點(diǎn)點(diǎn) P 的切線與直線的切線與直線 y=2 x 的夾角為的夾角為45? ?, 且傾角為鈍角且傾角為鈍角, 2- -f? ?(- -1) f? ?(- -1)=- -3. 又又f(- -1)=2, | |=1且且f? ?(- -1)0? ?x0, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為 (- -, - -2 和和 0, +). 函數(shù)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 2 m- -1, m +1 遞增遞增, 2 m- -1, m +1 (- -, - -2 或或 2 m

9、- -1, m +1 0, +). 2 m- -12 m- -10. 1 解得解得m- -3 或或 m 2. 2 1 即即m的取值范圍是的取值范圍是(- -, - -3 , 2). 2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 5 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x3- -ax2- -3 x. (1)若若 f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函上是增函1 數(shù)數(shù), 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 的取值范圍的取值范圍; (2)若若x=- - 是是f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 求求f(x) 3 在在 1, a 上的最大值上的最大值; (3)在在(2)的條件下的條件下, 是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù) b, 使得使得函數(shù)函數(shù) g(

10、x)=bx 的圖象與函數(shù)的圖象與函數(shù) f(x) 的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn), 若存在若存在, 求出實(shí)數(shù)求出實(shí)數(shù) b 的取值范圍的取值范圍; 若不存在若不存在, 請(qǐng)說(shuō)明理由請(qǐng)說(shuō)明理由. 解解: (1)由已知由已知 f? ?(x)=3 x2- -2 ax- -3. f(x) 在區(qū)間在區(qū)間 1, +) 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 在在 1, +) 上恒有上恒有 f? ?(x)0, 即即 3 x2- -2 ax- -30 在在 1, +) 上恒成立上恒成立. 由于由于 f? ?(0)=- -30 且且 3+ b? ?0. 解得解得 b- -7 且且 b? ?- -3. 故實(shí)數(shù)故實(shí)數(shù) b 的取值范

11、圍是的取值范圍是 (- -7, - -3)(- -3, +). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 6 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=x3- -3 ax2+2 bx 在點(diǎn)在點(diǎn) x=1 處有極小值處有極小值 - -1, 試確試確定定 a, b 的值的值, 并求出并求出 f(x) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 解解: 由已知可得由已知可得: - -1= f(1)=1- -3 a+2 b, 即即 3 a- -2 b=2. 又又 f? ?(x)=3 x2- -6 ax+2 b, 即即 6 a- -2 b=3. 0 =f? ?(1)=3- -6 a+2 b, 1 1 由由 , 解得解得 a= , b=- - . 3

12、2 f? ?(x)=3 x2- -2 x- -1. 1 由由 f? ?(x)=0 得得, x=1 或或 - - . 3 1 1 當(dāng)當(dāng) x1時(shí)時(shí), 有有f? ?(x)0; 當(dāng)當(dāng)- - x1時(shí)時(shí), 有有f? ?(x)0. 3 3 1 故故 f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- -, - - )和和(1, +); 3 1 f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是 (- - , 1). 3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 7 已知已知 f(x)=x2+c, 且且 ff(x)=f(x2+1). (1)設(shè)設(shè) g(x)=ff(x), 求求 g(x); (2)設(shè)設(shè) ? ?(x)=g(x)- -?

13、?f(x), 試問(wèn)試問(wèn): 是否存在實(shí)數(shù)是否存在實(shí)數(shù) ? ?, 使使 ? ?(x) 在在(- -, - -1)內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù), 且在且在 (- -1, 0) 內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù). 解解: (1)ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+c, f(x2+1)=( x2+1)2+c. 由由 ff(x)=f(x2+1) 得得, c=1. f(x)=x2+1, g(x)=(x2+1)2+1= x4+2 x2+2. =x4+(2- -? ?)x2+2- -? ?. (2)? ?(x)=g(x)- -? ?f(x)=x4+2 x2+2- -? ?(x2+1) ? ? ?(x)=4 x3+2(2-

14、-? ?)x =2 x(2 x2+2- -? ?). ? ?(x) 在在 (- -, - -1) 內(nèi)為減函數(shù)內(nèi)為減函數(shù), ? ? ?(x)0 在在 (- -, - -1) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. ? ?- -22(- -1)2=2, ? ?- -22. ? ?4. 又又? ?(x) 在在 (- -1, 0) 內(nèi)為增函數(shù)內(nèi)為增函數(shù), ? ? ?(x)0 在在 (- -1, 0) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. 即即 2 x2+2- -? ?2 x2 在在 (- -1, 0) 內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立. 當(dāng)當(dāng) x? ?(- -1, 0) 時(shí)時(shí), 2 x2b, 點(diǎn)點(diǎn)(- -1, 2+ b)在函數(shù)圖象上在函數(shù)圖象上, 且在直

15、線且在直線 y=b 的上方的上方. 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線的圖象不能總在直線 y=b 的下方的下方. 另解另解: 當(dāng)當(dāng) a=1 時(shí)時(shí), f(x)=- -x3+x2+b, f? ?(x)=- -3 x2+2 x. 8 4 4 2 2 令令 f? ?(x)=0 得得 x1=0, x2= . )=- - + + b= +bb, 3 而而 f( 27 9 27 3 2 4 y=b的上方的上方. 點(diǎn)點(diǎn) ( , +b)在函數(shù)圖象上在函數(shù)圖象上, 且在直線且在直線 3 27 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象不能總在直線的圖象不能總在直線 y=b 的下方的下方. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已

16、知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (1)若若 a=1, 函數(shù)函數(shù) f(x) 的圖象的圖象能否總在直線能否總在直線 y=b 的下方的下方? 說(shuō)明理由說(shuō)明理由; (2)若函數(shù)若函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上上是增函數(shù)是增函數(shù), x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一個(gè)根的一個(gè)根, 求證求證: f(1)- -2; (3)若曲若曲線線 f(x) 上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. (2)證證: x=2 是方程是方程 f(x)=0 的一個(gè)根的一個(gè)根, f(2)=0 即即 - -8+4 a+b=0

17、? ?b=8- -4 a. 2 2又又 f? ?(x)=- -3 x +2 ax, 令令 f? ?(x)=0 得得 x1=0, x2= a. 3 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 0, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù), 2 a3. a2. 3 f(1)=- -1+ a+b=7- -3 a- -2, 即即 f(1)- -2. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (3)若曲線若曲線 f(x) 上任意不同上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于兩點(diǎn)的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. (3)解解: 設(shè)設(shè) P(x1, y1), Q(

18、x2, y2) 為曲線為曲線 y=f(x) 上任兩點(diǎn)上任兩點(diǎn), x1? ?x2. 曲線曲線 f(x) 上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于 1, y1- -y2 - -x13+ax12+b- -(- -x23+ax22+b) 即即 1, 1, x - -xx1- -x2 12 - -(x1- -x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1- -x2)(x1+x2) 亦即亦即 1恒成立恒成立. x1- -x2 x1? ?x2, x1x21+( x1+x2)2- -a(x1+x2) 恒成立恒成立. 1 2恒成立恒成立, 而而 x1x2 (x +x ) 12 4 1 22 恒

19、成立恒成立. 1+( x1+x2) - -a(x1+x2) (x +x ) 124 3 2- -a(x +x )+10 恒成立恒成立. (x +x )124 12 . 2- - 3a 3a- -30. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 8 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=- -x3+ax2+b(a, b? ?R). (3)若曲線若曲線 f(x) 上任意不同上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于兩點(diǎn)的連線的斜率小于 1, 求求 a 的取值范圍的取值范圍. 另解另解: 設(shè)設(shè) P(x1, y1), Q( x2, y2) 為曲線為曲線 y=f(x) 上任兩點(diǎn)上任兩點(diǎn), 不妨不妨 x1x2. 曲線曲線 f(x) 上任意

20、不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于上任意不同兩點(diǎn)的連線的斜率小于 1, y1- -y2 1, x1x2, x1- -x2x1- -x2. x1- -x2 即即 f(x1)- -f(x2)x1- -x2. f(x1)- -x1f(x2)- -x2. 記記 g(x)=f(x)- -x, 則則 g(x1)g(x2). g(x) 為為 R 上的減函數(shù)上的減函數(shù). g? ?(x)0 即即 - -3 x2+2 ax- -10 對(duì)對(duì) x? ?R 恒成立恒成立. a2- -30. - - 3 a 3 . 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 n 2x 2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=( x - -1) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?

21、m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 2 n x n 2 +1. 解解: 由題設(shè)由題設(shè) f(x)=( + - -1)- - 1m 2, 令令 t = + , 2 m m m x m x x由由 t? ?0 得得 mx0 得得 mn xn. 2 n 2 +1在在1, +)上是增函數(shù)上是增函數(shù), 函數(shù)函數(shù) y=(t- -1)- - m t(x) 在在 m , mn ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù),

22、在在 mn , n) 上是增函數(shù)上是增函數(shù). f(x) 在在 m , mn ) 上是減函數(shù)上是減函數(shù), 在在 mn , n) 上是增函數(shù)上是增函數(shù). 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 9 n 2x 2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=( x - -1) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?m , n), 且且 1m n m - -1)+( 2. (1)討論討論 f(x) 的單調(diào)性的單調(diào)性; (2)證明證明: 對(duì)任意對(duì)任意 x1, x2? ?m , n), 不等不等n 2, (2)證證: 由由(1)知知 f(x)在在 m , n) 上的最小值為上的最小值為 f( mn )=2( - -1)m n 2. 對(duì)任意的對(duì)任意的

23、x , x? ?m , n), 有有 最大值為最大值為 f(m )=( - -1)m 12n 2n n n n 22 |f(x1)- -f(x2)|( m - -1)- -2( m m - -1)=( ) - -1. m - -4? ? m +4 n 4- -4 u2+4 u- -1. 令令 u= , h(u)=um n 1m n2, 1 m 2. 10, 2 2 h(u) 在在 (1, 2 上是增函數(shù)上是增函數(shù). h(u)h( 2 )=4- -8+4 2- -1 =4 2 - -5. 故對(duì)任意故對(duì)任意 x1, x2? ?m , n), |f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒

24、成立. 式式|f(x1)- -f(x2)|4 2 - -5 恒成立恒成立. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 10 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品, 已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 x( (噸噸) )與每噸產(chǎn)品與每噸產(chǎn)品1 2, 且生產(chǎn)且生產(chǎn)x 噸的噸的的價(jià)格的價(jià)格 p( (元元/ /噸噸) )之間的關(guān)系式為之間的關(guān)系式為 p=24200- - x 5 成本為成本為 R=50000+200 x 元元. 問(wèn)該廠每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使問(wèn)該廠每月生產(chǎn)多少?lài)嵁a(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大利潤(rùn)達(dá)到最大? 最大利潤(rùn)是多少最大利潤(rùn)是多少?( (利潤(rùn)利潤(rùn)=收入收入- -成本成本) ) 解解: 設(shè)每月生產(chǎn)設(shè)每月生

25、產(chǎn) x 噸的利潤(rùn)為噸的利潤(rùn)為 y 元元, 則則 x0, 且且 1 2y=(24200- - x )x- -(50000+200 x) 5 1 3=- - x +24000 x- -50000. 5 3 2+24000=0 得得 x=200(-(-200舍去舍去) ). 由由y? ?=- - x5 在在 0, +) 上只有一個(gè)點(diǎn)上只有一個(gè)點(diǎn) x=200 使使 y? ?=0, 它就是最大值點(diǎn)它就是最大值點(diǎn), 且最大值為且最大值為 1 3+24000? ?200- -50000 - - ? ?200=3150000( (元元) ). 5 故每月生產(chǎn)故每月生產(chǎn) 200 噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大, 最大利潤(rùn)是最大利潤(rùn)是 315 萬(wàn)元萬(wàn)元. 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例 11 要利用鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng)要利用鐵絲網(wǎng)圍成一個(gè)矩形養(yǎng)雞場(chǎng), 現(xiàn)在鐵絲網(wǎng)長(zhǎng)為現(xiàn)在鐵絲網(wǎng)長(zhǎng)為 l m, 只圍三邊只圍三邊, 另一邊為一道墻另一邊為一道墻, 問(wèn)長(zhǎng)和寬為多少時(shí)問(wèn)長(zhǎng)和寬為多少時(shí), 才能使所圍養(yǎng)才能使所圍養(yǎng)雞場(chǎng)面積最大雞場(chǎng)面積最大? y 解解: 設(shè)長(zhǎng)為設(shè)長(zhǎng)為 x m , 寬為寬為 y m . 則則 x+2 y=l. - -x l由由 x, y 均為正數(shù)得均為正數(shù)得, 0 xl. y= . x 2 - -x 1