華南理工大學(xué)高數(shù)(下)習(xí)題冊答案匯總

1、第七章多元函數(shù)微分學(xué)作業(yè)1多元函數(shù)1.填空題y 22 (1)已知函數(shù)f x y， x y,則f x,yx22(2) z arcsin yJx皿x 0(4)函數(shù)f (x, y) x ' 的連續(xù)范圍是 全平面y, x 0y2 2x , o(5)函數(shù)z 當(dāng)在y2 2x處間斷.y2 2x 2.求下列極限3 ；9 xy lim;x 0x Vy 0x y3 ,9 xy 39 t r t 1解：lim lim lim -x 0 xy t 0 t t 03 V9t 6 lim (x2y2) e (x y)xyy2 4 的定義域是x, y 4 x2y2 9 ；9(3) z lnxln(y x)的定義域是

2、x, y ,x 0, y x 1 x, y x 0,x y x 1 ；解：y322、八x lim (x y) ex y(x y)lim (xx yy)2e (xy)2xexye由于limtte t limlimt2 lim ttlimtt2 elimt2t elimt故 lim (x2xyy2)(x y)limx y(x2 (xy) ey)x2xe ye3.討論極限limx 0 y 0是否存在.解：沿著曲線kx3,x, y0,0，有 xlim y kx33x y620x ylim0kx66-26x k x萬因k而異，從而極限limx 0 y 0不存在2xy4.證明 f (x, y)0,0在點(diǎn)(

3、0,0)分別對于每個(gè)自變量 x或y0都連續(xù)，但作為二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)卻不連續(xù).解：由于 f(x,0)0, f (0, y)0,從而可知在點(diǎn)(0,0)分別對于每個(gè)自變量x或y都連續(xù)，但沿著曲線y kx, x, y0,0，有 lim2axy 2 lim 22kx2 2"0x2 y2 x 0x2 k2x22k-2因k而異, 1 k2從而極限lim x 0y 0x, y不存在，故作為二元函數(shù)在點(diǎn)(0,0)卻不連續(xù).1.填空題(1)設(shè) f(x, y)(2)(3)設(shè) f x,In(3)2 xz(4)曲線2.設(shè) u e證明作業(yè)2偏導(dǎo)數(shù)，則 fx(3,4)證：因?yàn)?x所以2x x2xe3.設(shè) z

4、 y1nx2 z2 x解：z elnxlnyy2x在點(diǎn)2x x2,4,52x3y處的切線與Ox軸正向的傾角是0.xyey2x3yx-2 ey從而 xln x In ey ln y 2zInx In e 2ln yxlnx In ey ln y2- xln2 y ln y 山2 y xln xln eln yxlnlnx ln y eInInxy1 lnx一 y4.設(shè)uxz arctan 一 y2u2 x2u2 y解：因?yàn)閥zx y0 yz 2x2xyz22 2x yxz2 , y2u2 yxz 2yy2xyz,x arctan, y0,所以2xyz2xyz5.設(shè)函數(shù)(1)試求x,y0,解：當(dāng)x

5、fy x,y當(dāng) x 0, fxfy 0,yx,y的偏導(dǎo)函數(shù);0, fx x,y_ 2. 12x ysin 一 ,x0,yf 0,y lim y 03-2fx x, y 4x 2xy4x3fx x,f x,y.1sin -,x22xy, 1sin 一 x1 cos一x4x30,yy f 0,y y 022xy1 sin 一x21y cos一 xsin- 0x00 0lim 0y 0 y1221sin x y cos xx(2)考察偏導(dǎo)函數(shù)在0,3點(diǎn)處是否連續(xù)limx 0 y 3fyx,y21lim 2x ysin 0x 0 y 3fy0,3fy x,y在0,3點(diǎn)處連續(xù),lim x 0 y 3fx

6、x,ylim4x3 2xy2.1 sin 一 x1 cos- 不存在，從而 fx x, y 在 x0,3點(diǎn)處不連續(xù)作業(yè)3全微分及其應(yīng)用1 .填空題(1)z f (x, y)在點(diǎn)(x° , y°)處偏導(dǎo)數(shù)存在是 z f(x, y)在該點(diǎn)可微的必要條件;(2)函數(shù)zx2y3在點(diǎn)2, 1處，當(dāng) x 0.02, y 0.01時(shí)有全增量z0.2040402004,全彳It分 dz 0.20；(3)設(shè)z f(x,y)在點(diǎn)(x° ,y°)處的全增量為 z,全微分為dz,則f(x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處的全增量與全微分的關(guān)系式是z dz o dz ；(4)x_.r

7、在,我(0,1)處的du22x ydx ；(5)(ln y)cosx,則 du (ln y 產(chǎn)cosxln ln y sin xdx dy ;yln y(6)x z ,(一)，則 duyZx.z z . z x .()-dx dy ln dz ;=，貝U du - x2 y2 z2 2 z2. 2 y2 .證明：f x, yJRy在點(diǎn)0,0處連續(xù)，fx 0,0與fy 0,0存在，但在0,0處不可微.證：由于 f(0, y) 0, f(x,0) 0,從而 fy(0,0)0, fx(0,0)0.但是3.limx 0y 0dz2 y設(shè)函數(shù)x,y試證:(1)函數(shù)證：因?yàn)閒x 0,0又limx 0y 0

8、從而在0,0處不可微.0,x,y在點(diǎn)0,0處是可微的;f lim x 0x,00,02.1x sin 0limx 0, fy 0,00x 0 x 0z dz22x ylimx 0y 0221x y sin2x y所以函數(shù)f x, y在點(diǎn)0,0處是可微的函數(shù)fx x,y在點(diǎn)0,0處不連續(xù).證：當(dāng) x2 y2 0, fx x, y12xsin 2x y2x1-2 cos-2x y x y.r.12x1 F lim fx x, y lim 2xsin 77cos7 小存在,xoxx o222222y 0x 0x y x y x y故fx x, y在點(diǎn)0,0處不連續(xù)作業(yè)4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.填

9、空題(1)u2 ln v,u -, vx3y 2x,則2-y- ln 3y 2x x2y22x 3y 2x(2)x y xy ,x u cosv, y333-u sin v cos v sin2vsinv sin2vcosv ；(3)zx y ,z22uzx y ,貝U x y 2xln x x(4)x2y,yw dz八 cosxsinx ,貝U2x = dx 2、sinx2.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解： xfl1f1(2)設(shè) u解：因?yàn)閐uf21 f2 f1z yf2,x, y, z , zy,t ,ty,x，其中f,均可微，求一u和 xf1dx f2dyf3dz,

10、dz1dy2dt,dt1dy 2dx從而duf1dx f2dy f31dy21dy2dxf12 2 dx f 21 f3所以f1xu2, yf3 1 f33.驗(yàn)證下列各式(1)設(shè) z fu可微,則1證：因?yàn)?xyfz2， y2y2ff21 2xyf(2)設(shè) zf22y2ff2yfz2 y2 y3xxy ，其中可微，則z xy y0.證：因?yàn)?x3xxy2y3xxy所以x2 z xy y2 y3x2xyxy2y3xxyxy2y yTxy4.設(shè)zxf22 x,其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：因?yàn)?f1f22y2 xf 2xf12工f2,x2xf12yxf2 2xf:2y12x2yx4yfi22

11、y32-Xf22(-)x (丫)其中函數(shù) X X22c u 2 u c 2Xy y 2 0.x y y具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證：證:因?yàn)?y3 X2 y4 X2 y_3 X從而左邊2 2yX X2 y_4 X2 y3 X2Xy1.填空題(1)已知(2)已知2y(3)已知(4)已知2 cos(5)已知dzzf1dx2.設(shè)F解:2z2 x作業(yè)5 隱函數(shù)求導(dǎo)法z 2 Jxyz 0 ,則2 cosxz, zf?dy1xf1f2zF1 一xF21F2z, xy yz2x y.2，x y2, xyz xz xy 、 xyz 'z dy yzln zdx;xy yzln ysin 2xdx sin

12、2ydy；sin 2z，其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則0,其中F2F1 yF2F22F12y F20,F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2 z2 xyF2F1 yF2F22 y yzxF1yF2 F2 F1 yF2 x2F1 yF22F1 yF2F2 F11yF21F1 F12yF223F1yF23求由方程組z2 x2y2y2 c 23z所確定的y x及z x的導(dǎo)數(shù)S及dz20d x d x,右 dz 2xdx 2ydy解：由已知''2xdx 4ydy 6zdzdz 2xdx 2ydy2xdx2 dz 2xdx6zdz 02xdx 2 6z dz 0dzx dyxdx 2ydy 3z 2xd

13、x 2ydydx,1 3z dxx 6xy2y 6yz4.設(shè)函數(shù)z f udt確定u是x, y的函數(shù),其中f uu均可微;連續(xù)，且1.試證：P y xx 0.y證：因?yàn)榻?因?yàn)?x ze階連續(xù)偏，求 f u .x .e sinu e cosy,-2 yy,x .e sinxe cosyexsiny滿足方程x .e sin ysin y)2z2 x2z2y2x2 xe f (u)e , ff(u) 0特征方程為0,r11,r21, f uuuc1ec2e作業(yè)6方向?qū)?shù)與梯度1.填空題(1)在梯度向量的方向上，函數(shù)的變化率 最大 ；(2)函數(shù)在給定點(diǎn)的方向?qū)?shù)的最大值就是梯度的模（3）函數(shù) z 4

14、x2 9y2在點(diǎn) 2,1 的梯度為 gradz 16,18;(4)函數(shù)u xyz在點(diǎn)(1,1,1)處沿方向l cos ,cos , cos 的方向?qū)?shù)是夾角余弦為coscos cos cos ,且函數(shù)u在該點(diǎn)的梯度是1,1,1；解：gradz1,12x y,2 y x1,13,3r lo2 15,.53、, 5 "Vz在該點(diǎn)沿梯度相反方向，即11、 ，_方向減少得最快;22沿與梯度垂直的那個(gè)方向，即1 112,12方向z的值不變r(jià)4.設(shè)X軸正向到l得轉(zhuǎn)角為x, yxyX20,在點(diǎn)0,0處沿著方向r的方向?qū)?shù).cos,sin x -,cos-22 ,sin,x yy22x y由于該函數(shù)

15、在點(diǎn)0,0處不可微，從而不能用公式,只能由定義得出沿著方向方向?qū)?shù):f x, lim00,0xy22. x ylim 022,x y. x ylim x 02222y 0 x y * x ycos sin-sin 2 2作業(yè)7偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用1 .填空題(1)已知曲面z 4 x2 y2上點(diǎn)P的切平面平行于平面 2x 2y z 1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1,2)；(2)曲面z ez 2xy 3在點(diǎn)1,2,0處的切平面方程是2x y 4 ；3x 2y 12 -(3)由曲線3xy 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)M 0,J3,J2z 0處的指向內(nèi)側(cè)的單位法向量為處的法線方程是x 2y z 4,貝U點(diǎn)

16、 P解：切點(diǎn)為111, ,2 2 2r ,T八.2,-2.-一2sintcost,cos t sin t, 2costsint 1,0, 1,4曲面 x2 2y2 3z2 21 在點(diǎn) 1, 2,2(5)已知曲線x t, y t2,z t3上點(diǎn)P的切線平行于平面,1 11的坐標(biāo)是 1,1, 1或，一3 927一 ,、rr , r、9_9. 一一 一.Tt .2 .求曲線x sin t, y sint cost, z cos t在對應(yīng)于的點(diǎn)t處的切線和法平面4方程.11x - y 從而切線為2 211法平面為x z 0,x z 0223.求兩個(gè)圓柱面的交線的方程.2 x2 x2 y2 z1在點(diǎn)M1

17、處的切線和法平面,一 r 一 一 _ r 一一 一解：n 2x,2y,0| m /1,1,0, n2 2x,0, 2z| m /1,0,1rT 1,1,01,0,11, 1, 1x切線為一1211z -2一，一%,法平面為x y11z、/204-求曲面 ax2 by2 cz2切平面為 ax0x by0y cz0zx X。ax0by°cz025.求函數(shù)z 1x2a2在點(diǎn)M b2,處沿曲線2y?1在此點(diǎn)的外法b1 abc 0在點(diǎn)x0,y0,z0處的切平面及法線的方程r斛：n 2ax0,2by0,2cz0/ ax0,by0,C4線方向的方向?qū)?shù).解：gradz m2f, 2r近，立, 2

18、.2a , b指向外側(cè)為此點(diǎn)的外法線方向，方向?qū)?shù)為a b m a br2x 2yn-2 , 2a b M衛(wèi) gradz n-上了 nnab6.證明：曲面z xf證：設(shè)切點(diǎn)為 x0,y0,z0 ,y0X01 ,z Xof Xo切平面為yoX。y。y。t XoXoXXoy。Xoy。ZZo在任意點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)，其中f具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)令x y z 0,得左邊等于右邊，從而原點(diǎn)在任意點(diǎn)處的切平面上，也即任意點(diǎn)處的切平面都通過原點(diǎn)。作業(yè)8多元函數(shù)的極值1.填空題(1)函數(shù)z x3 4x2 2xy y2的極值是 0；(2)函數(shù) zx4y4x22xyy2 的極值點(diǎn)是 1,1, ,1, 1 ；(3)函數(shù)

19、zx3y33x23y29x 的極值點(diǎn)是 1,0 ,3,2 ;n n 2 n 。(4)函數(shù) z x y 2x 2y 的極值是 f 1,0 f 1,01；(5)函數(shù)z e2x x 2y y2的極值是 -.22 .證明：函數(shù)z 1 ey cosx yey有無窮多個(gè)極大值點(diǎn)，但無極小值點(diǎn)證：因?yàn)橛蓏x1 ey sinx 0,zy eycosx ey yey 0k得駐點(diǎn)坐標(biāo)為x k ,k Z;y 11又 zxx1 ey cosx, zyy ey (cosx 2 y), 4yeysinx2k 11 k 11 k 12故 AC B211 e e 1 02只有當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)才大于零，從而才有極值。而這時(shí)k 11

20、 k 1_A 11 e 0因此該函數(shù)有無窮多個(gè)極大值點(diǎn)，但無極小值點(diǎn)。3 .求函數(shù)z ln x 3ln y在條件x2 y2 25下的極值.解：令 L In x 3ln yx2 y2 25則Lx1x從而2525275,y , x4452,y5、. 353,zmin 41n - - ln 32224.求函數(shù)f x,y在圓域x24上的最大值與最小值.解：先求圓內(nèi)部的駐點(diǎn)fx2x0,fy2y3222123x 0,Ly - 2 y 0,x y 25 x ，y y y226.求橢圓再求圓周上的有約束極值，令則 Lx 2x 2 x0,Ly2y22.0, x y 4若 0則必有x0,y0, x2y2 4 0矛

21、盾,若 0則必有x0,y2,或 x 2, y 0,由于 f 0,00, f2.04, f 0, 24從而要求的最大值為4,最小值為4.5.在半徑為R的半球內(nèi)求一個(gè)體積為最大的內(nèi)接長方體R2解：設(shè)在第一卦限內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為x, y,z ,則V 4xyz,x2令 L 4xyzLx 4yz0, Ly 4xz 2 y 0,Lz 4xy 2可得x yR -4 3c3 ,2Rr ,Vmax9- R ,其長范均為述R,3高為解：由對稱性，得知橢圓的中心點(diǎn)為0,0,1 ,從而問題轉(zhuǎn)化為求在約束條件2z 1的最值222X y 下 d Jx2 y2 z 1 2 或 d2 R2x y z 1取 L R2z 1 2x2

22、 y2 R2x y z 1由 Lx 2 x0,Ly 2 y0,Lz 2 z 10,從而，當(dāng)0時(shí)x y ,由約束條件x y1m .2R,d1, 3R0時(shí) 0,z 1,由約束條件x yR,2，d22 .填空題(每小題 3分)22于是橢圓x yx y zR2_的長半軸為J3r和短半軸為r.1第七章多元函數(shù)微分學(xué)測試試卷1 .單項(xiàng)選擇題(每小題 3分)2(1)二重極限lim 2x 4值為(D ) y 0 x y(A) 0;(B) 1;(C) - ;(D)不存在.2(2)二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(Xo，yo)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(Xo,yo)和fy(Xo，yo)都存在，則 f (x, y) ( D )(

23、A)在該點(diǎn)可微；(B)在該點(diǎn)連續(xù)可微；(C)在該點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)存在；(D)以上結(jié)論都不對.(3)函數(shù) f x, y x2 ay2 a 0 在 0,0 處(A )(A)不取極值；(B)取極小值；(C)取極大值；(D)是否取極值依賴于 a.(4)在曲線x t, y23 . .t ,z t的所有切線中，與平面2yz 4平行的切線(A)只有1條;(B)只有2條;(C)至少有3條;(D)不存在.(5)設(shè) z其中xu e ,vy ,下面運(yùn)算中(I : x2II:-zx2f2"v(A) I、II都不正確;(B)正確，II不正確;(C) I不正確，II正確;(D)、II都正確.(1)已知理想

24、氣體狀態(tài)方程 PV RT ,則(2)ln . x2 y2arctan-y x y，則d zy dx x y dy(3)函數(shù)J 在點(diǎn)(1,1,1)的梯度為1, 1,0 ；(4)已知y，其中 z為可微函數(shù)，則XZ；(5)已知曲面xy上的點(diǎn)P處的法線l平行于直線l :_6l1: 22z 12 ， x 1則該法線的方程為3.設(shè)zxfx、yg(x,一),其中yf,g均為二階可微函數(shù)，求解：因?yàn)閤fyg1yg2yg1g22所以一zxyg1g21f xg1xyg12 yg22g1x一g12 yx-2 g22 y4.設(shè)uxy,v試以新變量u,v變換方程2z2 x2 z2y其中z對各變量有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)解： 衛(wèi)

25、 yx u2z2 u2z2v從而22 zx x2 zx 2u2x z-3 y v5.已知z2 z2yf X, y , xy,z ,其中f,均為可微函數(shù)，求dzd x解：對函數(shù)取全微分得,dz f1dxf 2dy,dx1dy2dz,2dz dx , 一 從而 dy ,dzf1dx2dz dx ,1dz1 f1dx f2 2dzf2 dx(1f2 2)dz ( fdzf2)dx, 最1 f1f2f2 2n是曲面zP 1,2,3處指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)解:dudu從而3x22x, y,2Tvdv223y z » -在點(diǎn)xP處沿方向n的方向?qū)?shù).P 2,2,.ro1 ,n1 - 指向下側(cè)在

26、此即拋物面的外側(cè),31 6xdx 6ydy2 ,v2zdz x2. x3x2 3y2 z2 dx一.一._2_22.1 6xdx 6ydy 2zdz x 3x 3y z dx2.vu gradu P nro n_9 _3_ _3_2,6， 6,2.67.在第一卦限內(nèi)作橢球面222xyz2. 22abc1的切平面，使該切平面與三個(gè)坐標(biāo)平面圍成的四面體的體積最小，求切點(diǎn)的坐標(biāo)解：設(shè)切點(diǎn)為X0,yo,Zo，則切平面為等絲尊1 a b c2 2 2 a b c6xoyoZo2 Xoa2 yo b22當(dāng)1的最值問題與f x,y,x cxyz在2 y1下的最值問題等價(jià)，只是最大與最小問題煥位而已。12x2

27、y222xyz”令 L x, y,x xyz F 1a b c貝U Lxyz2x0, Ly xz2y2z20, Lz xy-0,aa222與約束條件結(jié)合推得 x 1 2 2(x y) sin -2, x y 08.設(shè) f (x, y)x yC22c0,x y 0 ,y2 ,z2 333由于在第一卦限，從而切點(diǎn)為(2) , f是否在原點(diǎn)連續(xù) x yf(x, y)在原點(diǎn)是否可微說明理由解：(1)當(dāng) x2 y20, f (x, y)(x y)2sin x2(xy)sin x(x yy)2cos x2(x_2、.1 2y(x y) 1y)sin _2 -：_rcos2x y x2 y2 x y當(dāng)x20

28、, f (x, y)在此為分段點(diǎn)，用定義求偏導(dǎo)數(shù)fx 0,0212 .1x sin 2 0y sin 0limx0, fy 0,0 limy0x 0 xy 0 y在原點(diǎn)因?yàn)槎貥O限不存在從而不連續(xù)，但 ylim f x,y f 0,00必fx 0,0 xfy 0,0 yxlim 02 .1y sin -2 0 0 x 0 yx ylim02 sin 1 2xysin.'x212x y2y0,Q 2xy9.已知x, y, z為常數(shù)，且ex y2exy2z1.解：令ex2u,y v, zt,則問題化為在約束條件u v0,v0,t 0下 f u,v,tuvt的最大值為1令 L uvtu v

29、t 3 ,則 Luvt0, Lvut0,Ltuv0,3uvt結(jié)合約束條件uvtuv vt tu由于該實(shí)際問題的最大值一定存在，又可能點(diǎn)唯一,因此最大值為1,1,1從而exy2 z 1第八章 重積分作業(yè) 9 二重積分的概念與性質(zhì)1 利用二重積分的性質(zhì), 比較下列積分的大?。? 1 ) (xy)2d 與 (xy) ln(1 x y z)dv 與 ln2(1 x y z)dv ，其中 是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面 x y z 1 所圍成的閉區(qū)域解 ： 因 為在 區(qū) 域 內(nèi) 部有 1 1 x y z 2 e,0 ln 1 x y z 1 ， 從 而dDD(a)D 是由直線 x 0, y 0 及 x y 1 所

30、圍成的閉區(qū)域；(b) D 是由圓周 (x 2)2(y 1)22所圍成的閉區(qū)域解：(a) 因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有x y 1, x y 2 x y 3 ，從而 (x y)2 d 大D(b) 因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有x y 1, x y 2 x y 3 ，從而 (xy)3d 大D( 2 )exyd 與e2xydDD(a)D 是矩形閉區(qū)域： 0 x 1,0 y 1 ；(b) D 是矩形閉區(qū)域：1x0,0 y 1 解： (a) 因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有0xy 2 xy,1exye2xy ，從而e2xyd大D(b) 因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有0 xy 2xy,1exye2xy0 ，從而 exyd 大D2Olnlxyz Inlxyz,因此

31、 ln(1 x y z)dv 大2.利用積分的性質(zhì)，估計(jì)下列各積分的值：(1) I xy(x y)d ，其中D是矩形閉區(qū)域：0 x 1,0 y 1 ；D解：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有 1 xy(x y) 2, D 1,因此0 I 2(2) I ln(1 x2 y2z2)dv,其中 為球體 x2y2z2 1；解：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有1 ln(1 x2y2 z2) In 2,V,34因此0 I ln22y 1位于第一象限的部分;3(3) I (x y)ds ,其中L為圓周x2L解：因?yàn)樵谇€上積分,不妨設(shè) x cost, y sint, .2 x y cost sint 、.2sin ts L 2 ,因此 2,

32、2 I 2,2122(4) I2一2dS,其中 為枉面x2 y2 1被平面z 0,z 1所截下x y z的部分.1 1解：因?yàn)樵谇嫔戏e分，從而 2一2 1, S 2 ,2 x y z因此 I 2作業(yè)10二重積分的計(jì)算1 .試將二重積分f(x, y)d 化為兩種不同的二次積分，其中區(qū)域D分別為:D(1)由直線y x,x 3及雙曲線xy 1所圍成的閉區(qū)域；1解：作圖得知區(qū)域 D可以表不為：1x3y x,x3 x得 f (x, y)d dx f x, y dyD1 1x11區(qū)域D也可以分塊表本為：一 y 1, x 3;1 y 3, y x 33y從而 f (x, y)dD13dy f x,y dx

33、13 1y33dy f x, y dx1 y(2)環(huán)形閉區(qū)域：1 x2 y24.解：在極坐標(biāo)下環(huán)形閉區(qū)域1 x2y24為 1 r 2,022從而 f (x, y)d d f r cos ,rsin rdrD01,22在直角坐標(biāo)下環(huán)形閉區(qū)域1 x y4需分塊表達(dá)，分塊積分變?yōu)?J4 x2I dx f x, y dy2. 4 x21J1 x214 x2dx f x, y dy dx fdy1.4 x21/1 x22 -M x2 dx fdy1. 4 x22.改換下列二次積分的積分次序(填空)(1)2 2y0 dy y2 f (x, y)dx4. xdx f x, y dy;0x222x-x21(2

34、) 1dx 2 x f(x, y)dyi i y2dy fx, y dx;1 2y33 y(3) 0dy 0 f(x, y)dx 1 dy 0 f(x,y)dx2 3 xdx f x, y dy .0x23 .畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分:（1）xjyd ,其中D是由兩條拋物線yx, y x2所圍成的閉區(qū)域;解：作圖，原式1 、次=dx x. ydy0x2x3 dx2 1x1413 11655(2)ex yd ,其中D是由xDy 1所確定的閉區(qū)域;冗所圍成的閉區(qū)域;2 49401 x11 x/1斛：作圖，原式=dx e dy dx e dy e 一 1 x 10 x 1e(3)x ,y2

35、d ,其中D是由不等式0 y sin x,0 xDsin x, 一 一 一 .、1111 Q斛：作圖，原式 = dx (x y )dy (x sinx -sin x)dx 0003(4)xcos僅 y)d ,其中DD是頂點(diǎn)分別為（0,0）,（區(qū)0）,（村0的三角形閉區(qū)域.解：作圖，原式=0xxdx cos(x0y)dy x(sin2x sin x)dx024.求由y 2px2qx解：曲線方程聯(lián)立，得2px2qx q2,x,y pqpq作圖知，原式= dy.pq 亡_ 2 2q y2qJpqdxp2, pq22222P3 一2p5.求由四個(gè)平面X解：四個(gè)平面x 0, y 0, x 1, y1決定

36、的區(qū)域D為：0 x 1,0在區(qū)域D內(nèi)部z 6 2x 3y 62 30從而所截得的立體的體積11V 6 2x 3y dv dy 6 2x 3y dxD003y dy6.化下列二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分:(1)110d y 0 f (x, y)dx214 cosd f r cos , r sin rdr d f r cos ,rsin rdr00002 1sin d f40r cos ,r sinrdr2- 3x-22 0 dy xf(Jxy )d y3 2sind f r cos , r sin rdr ,4 00, y 0,x 1, y 1所圍柱體被平面 z 0及2x 3y z 6所截得的

37、立體的體積.7.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列積分:x2A 922212 2.從而ex y d d e rdr 2 e e 120D00乙 y222(1) e yd ，其中D是由圓周x y4所圍成的閉區(qū)域;D解：D是圓周x2y2 4,即0 r 2,02(2)(x y)d ,其中D是由圓x2y2x y所圍成的閉區(qū)域;解：D是圓周x2 y2 x y圍成,知其為0 rcossin2 sin從而原式r cossinrdrd2sin _r2dr3412sin4 tdt(3)Db20, a b 0 所確定的閉區(qū)域;解：D是圓環(huán)的關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩部分,b , arctanarctan 與arctanarctanarct

38、an從而原式=rsinDrdrdarctancos3arctan rarctan 3cos（由對稱性更簡單：因?yàn)閤, ysinarctanarctan(4) xd ,其中DD是介于兩圓x2解：D介于兩圓之間,可知 2cos從而原式=r cosD2rdrd cos2br2draX,y22x和4cos4cosd r2dr2cosarctansin darctanbr2dra對稱點(diǎn)的積分微元反號(hào)）4x之間的閉區(qū)域.4.64 8 cos d21124 ,112 3 11cos d -733 4 2 28.用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列積分:(1)(x2 y2)d，其中D是由直線Dx，y3a ( a 0)所圍成的

39、閉區(qū)域;解：作圖知 D由直角坐標(biāo)表達(dá)方便,3a, y3a y/ 22、(x y )d dyDa yadx3aay2 dy44y ya 13-ay1233a3424129a4_4 424 141221 4 a2Jr2x2y2dD其中D是由圓周x2y2 Rx所圍成的閉區(qū)域;解：由表達(dá)式 D由極坐標(biāo)表達(dá)方便,0 r Rcos ,原式=一 R2 r2rdrdDRcos.R2 r2 rdrsin31 d2/2R3 sin3 d302r3 3R3(3) xyd , D：D解：先作坐標(biāo)軸平移，再用極坐標(biāo)u x 1 r cos , v y 1 r sind dudv rdrd ,0 r 1,02原式=uv u

40、 v 1 dudv= d2r sin cos r cos sin 1 rdr1 sin4cos1一 cos sin32121-sin - sin cos 一832 n2 y b2222/ ,、xy ,-x（4）J22-d,D：2d,aba解：用廣義極坐標(biāo)xar cos , y brsind abrdrd ,0 r 1,0作業(yè)11三重積分的概念與計(jì)算1.試將三重積分f (x, y, z)dv化為三次積分，其中積分區(qū)域分別為:(1)由雙曲拋物面xy z及平面x y 10, z 0所圍的閉區(qū)域f(x,y,z)dv11 x xydx dy f x, y, z dz ；000(2)由曲面z x222,_2y2及z 2 x2所圍的閉