最大值最小值的求法PPT課件

1、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院最大值最小值的求法最大值最小值的求法并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)并且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), ,上的最大值上的最大值與最小值存在與最小值存在. .則則 在在)(xf,ba步驟步驟: : 1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); ;2.求區(qū)間端點(diǎn)、求區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值, ,比較大小比較大小, , 哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值, ,小哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值就是最小值. .哪個(gè)哪個(gè)注意注意: : 如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值, ,則這個(gè)極值就是則這個(gè)極值就是(最大值或最小值最大值或最小值). .最值最值完完若函數(shù)若函數(shù)

2、 xf在在 a b 上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例7求求14123223 xxxy的在的在 上上4 , 3 的最大值與最小值的最大值與最小值.解解),1)(2(6)( xxxf解方程解方程, 0)( xf得得. 1, 221 xx計(jì)算計(jì)算;23)3( f;34)2( f;7)1( f;142)4( f最大值最大值,142)4( f最小值最小值;7)1( f比較得比較得完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例8 求函數(shù)求函數(shù) 在在 上的最大上的最大xxy 2sin 2,2 值及最小值值及最小值.解解 函數(shù)函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù),xxy 2sin 2,2 , 1

3、2cos2)( xyxf令令, 0 y得得.6 x,22 f,22 f,6236 f.6236 f西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例8 求函數(shù)求函數(shù) 在在 上的最大上的最大xxy 2sin 2,2 值及最小值值及最小值.解解令令, 0 y得得.6 x,22 f,22 f,6236 f.6236 f西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例8 求函數(shù)求函數(shù) 在在 上的最大上的最大xxy 2sin 2,2 值及最小值值及最小值.解解令令, 0 y得得.6 x,22 f,22 f,6236 f.6236 f故故 在在 上最大值為上最大值為y 2,2 ,2 最小值為最小值為.2 完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例10 某房地產(chǎn)公司有某

4、房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租套公寓要出租, 當(dāng)租金定當(dāng)租金定為每月為每月180元時(shí)元時(shí),公寓會(huì)全部組出去公寓會(huì)全部組出去. 當(dāng)租金每月當(dāng)租金每月增加增加10元時(shí)元時(shí), 就有一套公寓組不出去就有一套公寓組不出去, 而租出去的而租出去的房子每月需花費(fèi)房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)元的整修維護(hù)費(fèi). 試問房租定為試問房租定為多少可獲得最大收入多少可獲得最大收入?解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元元,x租出去的房子有租出去的房子有 1018050 x套套, 每月總收入為每月總收入為西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元元,x組出去的房子有組出去的房子有 1018050 x套套, 每月總

5、收入為每月總收入為西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院解解 設(shè)房租為每月設(shè)房租為每月 元元,x租出去的房子有租出去的房子有 1018050 x套套, 每月總收入為每月總收入為,1068)20(1018050)20()( xxxxxR,570101)20(1068)(xxxxR 解解, 0)( xR得得 (唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)).350 x故每月每套租金為故每月每套租金為350元時(shí)收入最高元時(shí)收入最高.最大收入為最大收入為 (元元).10890)350( R完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例11求內(nèi)接于橢圓求內(nèi)接于橢圓 而面積最大的矩而面積最大的矩12222 byax形的各邊之長(zhǎng)形的各邊之長(zhǎng).解解設(shè)設(shè) 為橢圓上第一象限內(nèi)

6、任意一點(diǎn)為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn),),(yxM則則以點(diǎn)以點(diǎn) 為一頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的面積為為一頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形的面積為M,0 ,422)(22axxaxabyxxS 且且. 0)()0( aSS22222222244)(xaxaabxaxxxaabxS 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例11求內(nèi)接于橢圓求內(nèi)接于橢圓 而面積最大的矩而面積最大的矩12222 byax形的各邊之長(zhǎng)形的各邊之長(zhǎng).解解22222222244)(xaxaabxaxxxaabxS 西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例11求內(nèi)接于橢圓求內(nèi)接于橢圓 而面積最大的矩而面積最大的矩12222 byax形的各邊之長(zhǎng)形的各邊之長(zhǎng).解解22222222244)(

7、xaxaabxaxxxaabxS 由由, 0)( xS求得駐點(diǎn)求得駐點(diǎn) 為唯一的極值可為唯一的極值可20ax 疑點(diǎn)疑點(diǎn). )(xS的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn), abaaaabS222422max 依題意依題意 , )(xS存在最大值存在最大值 , 20ax 是是故故 最大值最大值西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例11求內(nèi)接于橢圓求內(nèi)接于橢圓 而面積最大的矩而面積最大的矩12222 byax形的各邊之長(zhǎng)形的各邊之長(zhǎng).解解abaaaabS222422max 依題意依題意 , )(xS存在最大值存在最大值 , 20ax 是是故故 )(xS的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn), 最大值最大值西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例11求內(nèi)接于橢圓求

8、內(nèi)接于橢圓 而面積最大的矩而面積最大的矩12222 byax形的各邊之長(zhǎng)形的各邊之長(zhǎng).解解abaaaabS222422max 依題意依題意 , )(xS存在最大值存在最大值 , 20ax 是是故故 完完對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 值為值為y,2b時(shí)面積最大時(shí)面積最大.b2,2a即當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為即當(dāng)矩形的邊長(zhǎng)分別為)(xS的最大值點(diǎn)的最大值點(diǎn), 最大值最大值西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例12 由直線由直線 及拋物線及拋物線 圍成圍成8, 0 xy2xy 一個(gè)曲邊三角形一個(gè)曲邊三角形, 在曲邊在曲邊 上求一點(diǎn)上求一點(diǎn),2xy 使曲使曲線在該點(diǎn)處的切線與直線線在該點(diǎn)處的切線與直線 及及 所圍成所圍成0 y8 x的三

9、角形面積最大的三角形面積最大.解解 根據(jù)幾何分析根據(jù)幾何分析, 所求三角形面積為所求三角形面積為),80)(16(2182102000 xxxxS由由, 0)1616643(41020 xxS解得解得,3160 x(舍去舍去).160 x西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院解解 根據(jù)幾何分析根據(jù)幾何分析, 所求三角形面積為所求三角形面積為),80)(16(2182102000 xxxxS由由, 0)1616643(41020 xxS解得解得,3160 x(舍去舍去).160 x西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院解解 根據(jù)幾何分析根據(jù)幾何分析, 所求三角形面積為所求三角形面積為),80)(16(2182102000 xxxx

10、S由由, 0)1616643(41020 xxS解得解得,3160 x(舍去舍去).160 x, 08316 nS274096316 S為極大值為極大值.故故 為所有三角形中面積的最大者為所有三角形中面積的最大者.274096316 S完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例13求數(shù)列求數(shù)列 的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) nnenna1222(已知已知 ).3723 e解解 令令,1),122()(22 xxxexfx則則)86(21)(22 xxexfx由由, 0)( xf得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn).173 x當(dāng)當(dāng))173 , 1( x時(shí)時(shí),; 0)( xf當(dāng)當(dāng)),173( x時(shí)時(shí),; 0)( xf所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí),

11、173 x也是最大值也是最大值.)(xf函數(shù)函數(shù) 取得極大值取得極大值 ,西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例13求數(shù)列求數(shù)列 的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) nnenna1222(已知已知 ).3723 e解解所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí), 173 x也是最大值也是最大值.)(xf函數(shù)函數(shù) 取得極大值取得極大值 ,西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院例例13求數(shù)列求數(shù)列 的最大項(xiàng)的最大項(xiàng) nnenna1222(已知已知 ).3723 e解解 所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí), 173 x值值, 也是最大值也是最大值.)(xf函數(shù)函數(shù) 取得極大取得極大由于由于, 81737 又又,23)7(7ef ,36)8(4ef , 136373623)8()7( ef

12、f因此當(dāng)因此當(dāng) 時(shí)時(shí), 7 n.23)7(77efa ,7a得數(shù)列的最大項(xiàng)得數(shù)列的最大項(xiàng)完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)取得極值的必要條件點(diǎn)取得極值的必要條件:. 0)(0 xf使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的使函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)， 函數(shù)的函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得極值必在臨界點(diǎn)取得.2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法第一充分條件第一充分條件第二充分條件第二充分條件西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念

13、2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法第一充分條件第一充分條件第二充分條件第二充分條件西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法第一充分條件第一充分條件第二充分條件第二充分條件注注: 在函數(shù)的連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)處，在函數(shù)的連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)處， 類似第一充分類似第一充分條件，條件， 可通過討論該點(diǎn)左右鄰近處函數(shù)的單調(diào)性，可通過討論該點(diǎn)左右鄰近處函數(shù)的單調(diào)性，來判別函數(shù)的極限情況來判別函數(shù)的極限情況 .3. 極值與最值極值與最值西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法3.

14、 極值與最值極值與最值西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法3. 極值與最值極值與最值極值是局部性概念，極值是局部性概念， 它是函數(shù)在某領(lǐng)域內(nèi)的它是函數(shù)在某領(lǐng)域內(nèi)的最大或最小值，最大或最小值，因而某鄰域內(nèi)的極大值可能小因而某鄰域內(nèi)的極大值可能小于另一鄰域的極小值，于另一鄰域的極小值，此外，極值不可能在此外，極值不可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得區(qū)間的端點(diǎn)取得 .最值是整體性概念，最值是整體性概念，是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別

15、法3. 極值與最值極值與最值最值是整體性概念，最值是整體性概念，是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法3. 極值與最值極值與最值最值是整體性概念，最值是整體性概念，是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的是整個(gè)區(qū)間函數(shù)值的最大或最小者，最大或最小者，它還可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得它還可以在區(qū)間的端點(diǎn)取得.4. 求最值的一般步驟求最值的一般步驟(1) 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(2) 求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概

16、念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法3. 極值與最值極值與最值4. 求最值的一般步驟求最值的一般步驟(1) 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(2) 求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極值的概念函數(shù)極值的概念2. 函數(shù)極值的判別法函數(shù)極值的判別法3. 極值與最值極值與最值4. 求最值的一般步驟求最值的一般步驟(1) 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(2) 求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值；(3) 比較上述函數(shù)值，取其最大比較上述函數(shù)值，取其最大(小小

17、)者即為者即為最大最大(小小)值值 .西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)4. 求最值的一般步驟求最值的一般步驟西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)4. 求最值的一般步驟求最值的一般步驟特別地，若區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，特別地，若區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)， 又在該點(diǎn)處又在該點(diǎn)處函數(shù)有極值，函數(shù)有極值，則這個(gè)極值就是所求的最大則這個(gè)極值就是所求的最大(小小)值值 .5. 極值與最值應(yīng)用題極值與最值應(yīng)用題 解決這類應(yīng)用問題的解決這類應(yīng)用問題的關(guān)鍵關(guān)鍵 : 是恰當(dāng)?shù)剡x擇自是恰當(dāng)?shù)剡x擇自變量，變量，建立正確而簡(jiǎn)單的建立正確而簡(jiǎn)單的目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)，即欲求其即欲求其極值的某函數(shù)，極值的某函數(shù)， 把實(shí)際問題化為求該

18、函數(shù)的極把實(shí)際問題化為求該函數(shù)的極值問題值問題 .完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院函數(shù)極值的判別函數(shù)極值的判別定理定理 2 (第一充分條件第一充分條件)(1) 如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx有有，0)( xf則則)(xf在在0 x處取得處取得極大值極大值；(2) 如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx有有，0)( xf則則)(xf在在0 x處取得處取得極小值極小值；(3) 如果如果),(00 xxx ),(00 xxx及及時(shí)，時(shí)，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院函數(shù)極值的判別函數(shù)極值的判別定理定理 2 (第一充分條件第一充分條件)(3) 如果

19、如果),(00 xxx ),(00 xxx及及時(shí)，時(shí)，西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院函數(shù)極值的判別函數(shù)極值的判別定理定理 2 (第一充分條件第一充分條件)(3) 如果如果),(00 xxx ),(00 xxx及及時(shí)，時(shí)，)(xf 符號(hào)相同，符號(hào)相同，則則)(xf在在0 x處處無極值無極值 .注注 : 在函數(shù)的連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)處，在函數(shù)的連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)處，類似第一充類似第一充分條件，分條件，可以通過討論該點(diǎn)左右鄰近函數(shù)的單可以通過討論該點(diǎn)左右鄰近函數(shù)的單調(diào)性，調(diào)性，來判別函數(shù)的極值情況來判別函數(shù)的極值情況 .完完西南財(cái)經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院極值判別法極值判別法 : 第二充分條件第二充分條件定理定理 3 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)，且處具有二階導(dǎo)數(shù)，且, 0)(, 0)(00 xfxf那么那么(1) 當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處處取得極大值；取得極大值