微分方程--基礎

1、第七章微分方程內(nèi)容提要:微分方程的概念1. 微分方程：F (x, y, y ；，y(n) = 02. 微分方程的階3. .微分方程的解y = f (x)隱式解f (x, y) = 04. 微分方程的通解y = f (x)+c與隱式通解f(x, y,c) = 05. 微分方程的特解6. 微分方程的初值問題7. 微分方程的積分曲線8. 增根與失根問題：(奇解：不能從通解中得到的解)例1求微分方程的通解dy dx。y 一 x解：fdy=M 隱式通解ln |y|=ln |x|+c顯式通解 y =kx° y x'增根：原方程解的曲線不過原點例2 解方程22 dy dy。解：JCP306

2、,通解為： y* ；y x =xy'ln | y |=- cdx dxx失根：實際上微分方程的解包括(0,0)或說積分曲線過原點。建議：注意題目是 解方程 還是 求方程的通解一階微分方程1可分離變量方程： g(y)dy = f(x)dx 例dy=x+y。 dx解：拆不成就捆令+. . dy du du成可分離了x y u ,1, u 1dx dx dx注意倒過來的情況： dy 1 -JCP313 dx x - y2齊次方程：以=邛(與令丫*dx x3 一階線性方程：y' + P(x) y = Q(x)其解：y =e - P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx C1建議：Q(x)

3、P(x)dx丫 = A(x) A(x) dx C , A(x)飛例曳=x+y即：y - y = x注意倒過來的情況：dy _ 1 ，即x'-x=ydxdx x y4*貝努利方程y + P(x)y =Q(x)yn(n ¥0,1)解法：令 z = y1* 變?yōu)?z' + (1 -n)P(x)z = (1 -n)Q(x)75*全微分方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy =0 滿足 P；=Q；例：(x+y)dx+ (x y)dy =0 解1：齊次方程；解 2：湊微分法；解 3：拆微分法;三、*可降階的微分方程：直接積分型；不顯含 Y型；不顯含X型1. yk= f (x)

4、型的微分方程特點：右端僅含x.解法：積分兩次.2. y“ = f (x, y)型的微分方程特點：右端不顯含未知函數(shù)y.解法：換元，化為一階方程求解.步驟如下：令y=p,則y” = dp = p，方程化為pjf(x, p) dx(這是關于變量 x, p的一階方程)；解出p ;再由y'=p解出y .例題1 求微分方程y，=y+x的通解.(JCP323T1-5)3. 丫”="丫,丫)型的微分方程特點：右端不顯含 x.解法：換元，化為一階方程求解.步驟如下:令y = p,則y = dp=dpdy=p曲，方程化為pdp=f(y,p) dx dy dx dydy(這是關于變量 y , p

5、的一階方程)；解出p ；再由y' = p解出y .例題2 求微分方程y，= (y)3+y，的通解.(JCP323T1-10)1.微分方程xy"+3y'=0的通解為 .【y = 2x -x2 】練習題2 .求初值問題!"x )y =2xy ,的解. y(0) =1,y(0) =33 .解方程 yy"y2 =0.【y =C2eC1x 】4 .求初值問題 yy " = 1 + y'2, y(1) =1, y'(1) =0 的解.【y = 1 (e" + e1。)】 235 .求效分萬程y(x+y )=y滿足初始條件y(

6、1) = y (1) =1的特解.107-2, y=_2x2+1】33四、五、高階線性微分方程解的結構1 .齊次的：y " + P(x)y'+Q(x)y =0結論1:如果y(x)與y2(x)是方程的兩個解，則 y =C . (x) CC2y2 (x)也是其解結論2：如果yi(x)與y2(x)是方程的兩個無關的解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解推論：如果y1(x),，yn(x)是齊次方程y(n) +a(x)y(n口 +an(x)y' + an(x)y =0的N個無關的解，則其通解為y =C1yi(x) C2y2(x)Cnyn(x)2 .非齊次的：y“

7、+ P(x)y'+Q(x)y = f (x)結論1：設y*(x)是方程y"+P(x)y' + Q(x)y = f(x)的一個特解，丫則是對應的齊次方程的通解，則y =Y(x) +y*(x)是非齊次的通解結論2：如果非齊次方程為y*+P(x)y' + Q(x)y = f1(x) + f2(x)而y1 * (x)與y2* (x)分別是方程y " + P(x)y ' + Q(x)y = fi(x)和 y "+P(x)y'+Q(x) y = f2(x)的特解，則 y1 * (x) + y2 * (x)是原方程 的特解二階常系數(shù)線性微

8、分方程1 常系數(shù)齊次線性微分方程y * + P(x)y' + Q(x)y = 0= y"+py' + qy = 0特征力程r2 +pr+q =0的兩個根r1 ,r2微分方程y" + py * + qy = 0的通解兩個不相等的實根 I1J2兩個不相等的實根r1=r2一對共軻復根1,2 = n 土 i Py =C1er1x +C2er2x，y =(G +C2x)er1x，y =3" (C1 cosPx +C2 sin Px)例 1： y” + 5y'+ 6y = 0；例 2： y" 4y'+4y = 0 ;例 3:2 .常系

9、數(shù)非齊次線性微分方程(簡單的)y"+py，+qy= f (x)特解的求法：待定系數(shù)法，(常數(shù)變易法，微分算子法)結論1：如果f(x) = Pm(x)e*，則方程有形如y* =xkQm(x)e五的特解，y" 2y+5y = 0， i,2=i±2i0, 土不是特征方程的根k =1, 土是特征方程的單根2 ?是特征方程的重根例 1： 2y" + y'y=2ex例 2： y*+3y'+2y =3xe" 例 3 y"6y'+9y = (x + 1)e3x解1：兒二i不是特征方程2r2 +r 1 =0,r1 = 1,r2=

10、1/2的根，故y*=Cex代入原方程得C=1解2：兒=，是特征方程r2 +3r+2 =0,r1 = 1,r2 = 2的單根，故 y* = x(Ax + B)e"，代入原方程得 A = 3/2, B = 3解 3： Z =3是特征方程 r2 6r 99 =0,r1 = r2 = 3的重根， 故 y* =x2(Ax + B)e3x代入原方程得 A=1/6, B=1/2結論 2：如果 f (x) =e% P (x)coscox + Pn (x) sincox ，則方程有形如 y* =xke丸 Rm(x)cos(ox +Rm(x)sin(cix的特解，_p,九+心(九_i不是特征方程的根，m

11、 = maxl,n，R；(x),R2(x)是m次多項式k =1，九+心(九一心)是特征方程的單根例 4： y" 2y' + 5y = exsin2x 例 5 y" + 4y = xcosx解4：九+心=1+2i是特征方程r2 _2r+5=0,r1,2 =1±2i的單根，故y* = xex Acos2x + Bsin 2x代入原方程得 A = _1/4,B = 0即：y* = (xex cos2x) / 4解 5：九+i®=i 不是特征方程 r2 +4 =0,r1,2 =±2i 的單根，故 y* = (Ax + B)cosx+ (Cx +

12、 D)sin x代入原方程得 A=1/3,B=0,C =0,D = 2/9 即：v* 1 xccsx 十2 sin Xyx cos x sin x3 9六、微分方程的簡單應用1 .幾何中的應用2 . *力學中的應用例1 一質(zhì)量均勻的鏈條掛在一無摩擦的釘子上，運動開始時，鏈條的一邊下垂 8米，另一邊下垂10米,試問整個鏈條滑過釘子需多長時間？解：設鏈條的線密度為N,經(jīng)過t時間下滑了 x米，由牛頓第二定律，得d 2xm2-=(10+x)Ng - (8-x)Ng , m=18 x(0) = 0, x (0) = 0dt乂"_g乂=&1 二、/-v-gt3,即：99 解得 x(t)

13、= (e 3+e3)1 ,令 x = 8 ,則 t =-j=ln(9 + q80)x(0) =0,x(0) =02g3 .經(jīng)濟應用第七講微分方程-題型、解與通解問題例dy = y2 ,通解y =二,不包括y 二 0dxx c、一階線性方程：y' + P(x)y =Q(x)其解：y = e-p(x)dx IfQ(x)e'(x)dxdx +C 】例 1設 f (x)可導，且 f f (ux)du =1 f (x) +1，求 f (x)1斛：將原方程兩邊乘以X,信f (ux)dux = xf (x) + x對左漏積分令 ux = tx1巳砥.10 f (t)dt = 2 xf (x)

14、 + x，求導Gf (x) =- f (x) +xf (x) +1即：f'(x)/f (x) = W 通解：f(x) = Cx + 2 x x例2.求解微分方程y'xcosy +sin2y) =1解：，1,， C，、. C ，y =, x =xcosy sin2y, x _(cosy)x =sin2yxcosy sin2y對應的齊次方程：x._(cosy)x=0的解為X=Cesiny,再用常系數(shù)變易法 x=C(y)esiny代入原方程求出解。解二：直接用公式：通解為x = A(y)|fQ(y)dy + c I A(y)= e#)dy，_ A(y) 'A(y) =e -

15、P(y)dy 二 ecosydy 二 esinyQ(y) sin 2y 2sin y而丫dy siny dy= siny dsin y - -2e (1 sin y) A(y) ee故通解為 x =esiny-2e'iny(1 siny) C=2(1 siny) Cesiny練習：求方程(1+e/y) ydx+(y _x)dy =0 的通解。(yex/y+x = c)三、高階線性微分方程解的結構例 y y = ex cosx = y y ex y y 二 c o sc 2斛：對應齊次萬程通斛為：Y(x)=C1 cosx+ C2sinx (特征萬程為r +1=0,r=±i)y

16、* + y = ex 的特解為 y1 = Cex 代入得 c=i/2，即 y1 = 1 ex2y" + y = cosx的特解為 y2 =x(Acosx+Bsinx)代入得：A=0, B=1/2即：y2 = 1xsinx 2原方程的通解為y二C1 cosc C2sinx 1ex 1xsinx 22四、微分方程的初值問題例設f (x)為一階連續(xù)函數(shù)，且滿足 f (x) =sin x - x (x -t) f (t)dt，求f (x)解：顯然 f (x) =sin x x 0 f (t)dt + 0tf (t)dt，則 f '(x) =cosx j f (t)dt， f &quo

17、t;(x) + f (x) = -sinx注意邊值條件：f (0) =0, f (0) =1齊次方程 f "(x) + f(x) =0的通解為：Y =C1 cosx+C2sinx非齊次方程f *(x) + f (x) =sin x的一個特解為：y* =x(Acosx十Bsin x)代入解得 A=1/2,B = 0故通解為：.1y =C1cosx C2 sin x xcosx 2由初值條件得 C1=0, C2=1故y = f(x)=；(sinx+xcosx)注意：積分方程化為微分方程時，不要忘記找出隱含的初始條件。五、簡單應用：例(01S2)設L是一條平面曲線，若上任一點P(x, y)

18、(x >0)到坐標原點的距離，恒等于該點處的切線在 Y軸上的截距，且 L經(jīng)過(1/2,0)，試求L的方程。解：設曲線l過點p(x, y)(x >0)的切線方程為 Y - y = y'(X x),令x=o,則該切線在Y軸上的截距為y_yx,由題設有|y y'x|=jx2 +y2 ,(1)先求 y y x = x2 + y2這是齊次微分方程。令u = y,化為 y _dx,解之得(見公式) x21 u xcCC C22ln(u+vu +1) =ln， u +<u +1=一 ， ux+4(ux) +x =C，即：y+<x +y =Cxx1由 L 經(jīng)過(1/2,0),知 C=1/2, L 的萬程為 y+；x2 +y2 =5 即:1222(2)再求y yx =-Jx +y，同理可求得：y = x 4詳解：由 y -yx二Yx2+y2 有 y'=)+ J+(_y)2 令