n階常系數(shù)線性非齊次方程解法

1、n階常系數(shù)線性非齊次方程解法對(duì)于形如y(n) aji - 鳥劌 何“ f(x)的解法，它的通解等于 其對(duì)應(yīng)的齊次方程y(n) - aiy(n' - anJy' an0的通解與它本身的一 個(gè)特解之和.比較系數(shù)法(待定系數(shù)法)下面分兩種類型討論：10設(shè) f(t) =(b°tm btmbmt bm)e't，其中及 bi(i =0,1, ,m)為實(shí)常數(shù).當(dāng)不是特征根時(shí)，y(n) 刮亠亠anJy' any = f (x)有形如 yi(x)= Q (x)e勺特解，其中 Qm(x)二 q°xm qxmi qmx qm當(dāng)是k ( k -1)重特征根時(shí)，y(n

2、) 看心an_)y' any二f (x)有 形如 yjx )=xkQm(x) / 的特解，其中 Qm(x) =q°xm+qiXm_1+qmx + qm , 對(duì)于y(x )中的Qm(X )的系數(shù)，則可以由待定系數(shù)法求得.例11求方程y -5y 6y =6x2 -10x 2的通解解 先求對(duì)應(yīng)齊次方程y”-5y6y=0的通解，其特征方程是2'；5冷6=0；故特征根為1=2, ',2=3從而，對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解為 2x3xy = Gec?e ;由于，0不是特征根，因而已知方程有形如二Ax2 * Bx，c的特解.為確定代B,C將它代入原方程中，由于 / = 2Ax B

3、,/ = 2A,故 2A -5(2Ax B) 6(Ax x丄 xi R $ i x則 f(t)二A(t)e -e：x B(t)-= At)e(： E 沖看甘 2i再利用迭加原理，于是有兩種形式：(1)如果:不是特征根，則特解具有形式y(tǒng)i neQmcosx+Qmsin ®x其中Qm(x),Q(x)是系數(shù)待定的m次多 項(xiàng)式. Bx c) = 6x2 10x 2.比較上式等號(hào)兩端x的同次幕系數(shù)，可得A=1, B=0, C=0,故已知方程特解為 = x2，則原方程的通解為 y = x2 c(e2x - c2e3x.例12求方程討一4八4y =2e2x.解 由于，_ 4.1 川 4 = 0 則

4、 1 = 2 = 2故齊次方程通解為：y=e2x(G C2)，由于 =2為二重特征根，故有 二 Ax2e2x,故A = 1,力=x2e2x,則原方程的通解為y二x2e2x e2x(C c2x).2 設(shè) f (t)二A(t)cos ：t B(t)sin te：t，其中:-為常數(shù)，而 A(t),B(t) 是帶實(shí)系數(shù)t的多項(xiàng)式，其中一個(gè)的次數(shù)為m，個(gè)的次數(shù)不超過m， 則有形如x =tkP(t)cos t - Q(t)si n te：t的特解.其中k為特征方程 P( )0的根的重?cái)?shù)，而P(t),Q(t)均為特定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于 m的t的多項(xiàng)式i及亠丄及i fx-ifi根據(jù)歐拉公式，有cos/仝

5、-,sin22i(2)如果J 是k重特征根，則特解應(yīng)具有形狀% = xkeaxQm（x）cos ：x Qm（x）sin x.例 13 求解方程 x x = sint _cos2t .解先求對(duì)應(yīng)的齊次方程x''x=0，我們有2 仁0,故特征根為I 7, 2 =；由于迭加原理，則原方程可化為X" + x = s i n* ”x +x = -co2t(1) 對(duì)于x x = si nt，由于- i：二i是特征根，故方程x x = si nt具有形如Xi =t(Acost - Bcost)的特解，現(xiàn)將上式代入x x = sint，則1A , B = 0 ;則 x x =sint

6、 的通解為 x tcost c1 (t)cost c2(t)sint.2(2) 對(duì)于x" x - -co$2t，由于_i：二2i不是特征根，故方程x x - -cos?t具有形如X1 = (Aco令t - Bsi r2t)的特解.現(xiàn)將上式代入x x-co2t，貝卩 A = 1， B = 0,3則 x x - -cos2t 的通解為 cos2t cost Jsint .3故原方程的通解為 = q cost c2 si nt -丄t cost cos2t.23總結(jié)：比較系數(shù)法用于方程右端 是某些基本函數(shù)的情況，常 見的有：多項(xiàng)式，指數(shù)函數(shù)，正弦(或余弦)函數(shù)以及它們的某種乘 積組合，然后

7、根據(jù)的前面所歸納的類型，從而求出方程的特解， 進(jìn)而求出通解.拉普拉斯變換91它無需求出已知方程的通解，而是直接求出它的特解來，從而在 運(yùn)算上得到很大簡化，這一方法的基本思想是：先通過拉普拉斯變換 將已知方程化為代數(shù)方程，求出代數(shù)方程的解，再通過逆拉普拉斯變 換，便可得到所求初值問題的解.由積分F(s) =etf(t)dt所定義的確定于復(fù)平面上的復(fù)變數(shù)s的函數(shù)F(s)稱為f(t)的拉普拉斯變換，其中f(t)與t_0有定義，且滿足不等式f(t) Me芒，這里M,；為某兩個(gè)正常數(shù)，這時(shí)f(t)為原函數(shù)，而F(s)稱為像函數(shù).例14求函數(shù)f(t)二eat的拉普拉斯變換.dt1e(as)ta s例 15 解方程 xx=sint;x(o)=0,x(0) -2.解 由于 X x I - bint】，從而s2x(s)丄x(s) 厶21+sx(s)(1 s2)二1 1 -s22 2(1s2)由于x(s)二1s2 -