第十章--第八節(jié)------離散型隨機變量及其分布列與超幾何分布(理)

1、2021/8/612021/8/621.理解取有限個值的離散型隨機變量的分布列理解取有限個值的離散型隨機變量的分布列 的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要的概念，認識分布列刻畫隨機現(xiàn)象的重要 性，會求取有限個值的離散型隨機變量的分性，會求取有限個值的離散型隨機變量的分 布列布列2理解超幾何分布，并能進行簡單的應(yīng)用理解超幾何分布，并能進行簡單的應(yīng)用2021/8/632021/8/642021/8/651離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì)(1)離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的取值為的取值為a1，a2，隨機變量，隨機變量X取

2、取 ai的概率為的概率為pi(i1,2，)，記作：，記作： (i 1,2，) 或把上式列成表或把上式列成表P(Xai)pi2021/8/66Xaia1a2P(Xai)稱為離散型隨機變量稱為離散型隨機變量X的分布列的分布列(2)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)pi0(i1,2，)；p1p21.p1p22021/8/672超幾何分布超幾何分布 一般地，設(shè)有一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有件產(chǎn)品，其中有M(MN)件次品，從中任件次品，從中任 取取n(nN)件產(chǎn)品，用件產(chǎn)品，用X表示取出的表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件件產(chǎn)品中次品的件 數(shù)，那么數(shù)，那么P(Xk) (其中其中k為非負整數(shù)為

3、非負整數(shù))，則稱，則稱X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布的超幾何分布2021/8/681下列下列4個表格中，可以作為離散型隨機變量分布列的個表格中，可以作為離散型隨機變量分布列的 一個是一個是 () A.X0 1 2P0.3 0.4 0.5B. X0 1 2P0.3 0. 10.82021/8/69 C.D.X1 2 3 4P0.2 0.5 0.3 0X0 1 2P答案：答案：C2021/8/6102袋中有大小相同的袋中有大小相同的6只鋼球，分別標有只鋼球，分別標有1,2,3,4,5,6六個號六個號 碼，任意抽取碼，任意抽取2個球，設(shè)個球，設(shè)2個球號碼之和為個球號碼之和為X，則，則

4、X的所有的所有 可能取值個數(shù)為可能取值個數(shù)為 () A36 B12 C9 D8解析：解析：X的所有可能取值為：的所有可能取值為：3,4,5,6,7,8,9,10,11共共9個個答案：答案：C2021/8/6113已知隨機變量已知隨機變量X的分布列為的分布列為P(Xi) (i1,2,3)， 則則P(X2) () A. B. C. D.解析：解析： 1，a3，P(X2) .答案：答案：C2021/8/6124已知隨機變量已知隨機變量X的分布列為：的分布列為： 則則x_.X0 1 2 3 4P0.1 0.2 0.3 x 0.1 解析：解析：0.10.20.3x0.11，x0.3. 答案：答案：0.3

5、2021/8/6135從從4名男生和名男生和2名女生中任選名女生中任選3人參加演講比賽，則所選人參加演講比賽，則所選3 人中女生人數(shù)不超過人中女生人數(shù)不超過1人的概率是人的概率是_解析：解析：設(shè)所選女生人數(shù)為設(shè)所選女生人數(shù)為x，則，則x服從超幾何分布，服從超幾何分布，其中其中N6，M2，n3，則，則P(x1)P(x0)P(x1) .答案：答案：2021/8/6142021/8/6151.離散型隨機變量的特征是能一一列出，且每一個值各代離散型隨機變量的特征是能一一列出，且每一個值各代 表一個試驗結(jié)果，所以研究隨機變量時，關(guān)心的是隨表一個試驗結(jié)果，所以研究隨機變量時，關(guān)心的是隨 機變量能取哪些值，

6、包含了哪些試驗結(jié)果機變量能取哪些值，包含了哪些試驗結(jié)果(基本事件基本事件)2離散型隨機變量的分布列常用表格的形式表示，其結(jié)離散型隨機變量的分布列常用表格的形式表示，其結(jié) 構(gòu)為兩行、構(gòu)為兩行、n1列，第一行表示隨機變量的取值，第列，第一行表示隨機變量的取值，第 二行對應(yīng)于隨機變量的概率二行對應(yīng)于隨機變量的概率 2021/8/616設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的分布列為的分布列為X0 1 2 3 4P0.2 0.1 0.1 0.3 m求：求：(1)2X1的分布列；的分布列；(2)|X1|的分布列的分布列2021/8/617思路點撥思路點撥2021/8/618課堂筆記課堂筆記由分布列的性質(zhì)知：

7、由分布列的性質(zhì)知：0.20.10.10.3m1，m0.3.首先列表為：首先列表為：X0 1 2 3 42X1 |X1|1 3 5 7 91 0 1 2 32021/8/619從而由上表得兩個分布列為：從而由上表得兩個分布列為：(1)2X1的分布列：的分布列：2X1P (2)|X1|的分布列：的分布列：|X1|P135790.20.10.10.30.301230.10.30.30.32021/8/620保持題目條件不變，求保持題目條件不變，求P(12X19).解：解：P(12X19)P(2X13)P(2X15)P(2X17)0.10.10.30.5.2021/8/621 求一隨機變量的分布列，可

8、按下面的步驟：求一隨機變量的分布列，可按下面的步驟：1明確隨機變量的取值范圍；明確隨機變量的取值范圍；2求出每一個隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率；求出每一個隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率；3列成表格列成表格2021/8/622特別警示特別警示(1)解決該類問題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機變解決該類問題的關(guān)鍵是搞清離散型隨機變量量X取每一個值時對應(yīng)的隨機事件，然后求出取每一個值時對應(yīng)的隨機事件，然后求出X取每一個值取每一個值的概率的概率(2)列出分布列后，要注意應(yīng)用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分列出分布列后，要注意應(yīng)用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或概率是否正確布列或概率是否正確2021/8/623 袋中裝著

9、標有數(shù)字袋中裝著標有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各的小球各2個，從袋中個，從袋中任取任取3個小球，按個小球，按3個小球上最大數(shù)字的個小球上最大數(shù)字的9倍計分，每個小倍計分，每個小球被取出的可能性都相等，用球被取出的可能性都相等，用X表示取出的表示取出的3個小球上的最個小球上的最大數(shù)字，求：大數(shù)字，求：(1)取出的取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；個小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機變量隨機變量X的分布列；的分布列；(3)計分介于計分介于20分到分到40分之間的概率分之間的概率2021/8/624思路點撥思路點撥2021/8/625課堂筆記課堂筆記(1)法一：法一：“一次取出的一次取出的

10、3個小球上的數(shù)字互不個小球上的數(shù)字互不相同相同”的事件記為的事件記為A，則，則P(A) .法二：法二：“一次取出的一次取出的3個小球上的數(shù)字互不相同個小球上的數(shù)字互不相同”的事件記的事件記為為A，“一次取出的一次取出的3個小球上有兩個數(shù)字相同個小球上有兩個數(shù)字相同”的事件記為的事件記為B，則事件，則事件A和事件和事件B是對立事件是對立事件因為因為P(B) ，所以所以P(A)1P(B)1 .2021/8/626(2)由題意，由題意，X所有可能的取值為所有可能的取值為2,3,4,5.P(X2) ；P(X3) ；P(X4) ；P(X5) .2021/8/627所以隨機變量所以隨機變量X的概率分布列為

11、：的概率分布列為：XP2 3 4 52021/8/628(3)“一次取球所得計分介于一次取球所得計分介于20分到分到40分之間分之間”記為事件記為事件C，則，則P(C)P(X3或或X4)P(X3)P(X4) .2021/8/629若將題目條件中的若將題目條件中的“最大數(shù)字最大數(shù)字”改為改為“最小數(shù)字最小數(shù)字”，試解，試解決上述問題？決上述問題？解：解：(1)同例同例2解法解法.(2)由題意，由題意，X所有可能的取值為所有可能的取值為1,2,3,4，P(X1) ；2021/8/630P(X2) ；P(X3) ；P(X4) .所以隨機變量所以隨機變量X的分布列為：的分布列為：XP1 2 3 420

12、21/8/631(3)“一次取球所得計分介于一次取球所得計分介于20分到分到40分之間分之間”的事件記為的事件記為C，則，則P(C)P(X3或或X4)P(X3)P(X4) .2021/8/632 超幾何分布是一種很重要的分布，其理論基礎(chǔ)是古超幾何分布是一種很重要的分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要運用于抽查產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概典概型，主要運用于抽查產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其中的隨機變量相應(yīng)是正品率模型，其中的隨機變量相應(yīng)是正品(或次品或次品)的件數(shù)、某的件數(shù)、某種小球的個數(shù)如果一隨機變量種小球的個數(shù)如果一隨機變量服從超幾何分布，那么服從超幾何分布，那么事件事件Xk發(fā)生的概率為發(fā)生

13、的概率為P(Xk) ，k0,1,2，m，mminM，n2021/8/633特別警示特別警示超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)變量為抽到的某類個體的個數(shù) 2021/8/634 在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某在一次購物抽獎活動中，假設(shè)某10張券中有一等張券中有一等獎券獎券1張，可獲價值張，可獲價值50元的商品；有二等獎券元的商品；有二等獎券3張，每張可張，每張可獲價值獲價值10元的獎品；其余元的獎品；其余6張沒有獎某顧客從此張沒有獎某顧客從此10張獎張獎券中任抽券中任抽2張，求：張，求：(1)該顧客中獎的概率；該顧客中獎的概率；(2

14、)該顧客獲得的獎品總價值該顧客獲得的獎品總價值X元的概率分布列元的概率分布列2021/8/635思路點撥思路點撥2021/8/636課堂筆記課堂筆記(1)該顧客中獎，說明是從有獎的該顧客中獎，說明是從有獎的4張獎券中抽張獎券中抽到了到了1張或張或2張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎的張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎的概率為概率為P .(或用間接法，即或用間接法，即P1 1 .)2021/8/637(2)依題意可知依題意可知X的所有可能取值為的所有可能取值為0,10,20,50,60(元元)，且，且P(X0) ；P(X10) ；P(X20) ；P(X50) ；P(X60) .2021/

15、8/638所以所以X的分布列為：的分布列為：XP0 10 20 50 602021/8/639將題目中的條件將題目中的條件“任抽任抽2張張”改為改為“任抽任抽3張張”，求，求(1)該顧客該顧客中獎的概率中獎的概率.(2)若抽一張券需花費若抽一張券需花費9元，那么，該顧客抽元，那么，該顧客抽2張獎券還張獎券還是抽是抽3張獎券合算？張獎券合算？解：解：(1)P1 .2021/8/640(2)用用Y表示該顧客抽表示該顧客抽3張獎券后獲得獎品總價值張獎券后獲得獎品總價值P(Y0) ，P(Y10) ；P(Y20) ；P(Y30) ；P(Y50) ；2021/8/641P(Y60) ；P(Y70) .E(

16、Y) 0 10 20 30 50 6070 24.E(Y)393.2021/8/642在例在例3的基礎(chǔ)上可得的基礎(chǔ)上可得E(X)10 20 50 60 16.E(X)292.E(Y)27E(X)18，抽抽2張獎券更合算張獎券更合算2021/8/643 以實際問題為背景，以解答題的形式考查隨機變以實際問題為背景，以解答題的形式考查隨機變量的概率、分布列是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法量的概率、分布列是高考對本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法.09年年福建高考將概率、離散型隨機變量的分布列與集合、福建高考將概率、離散型隨機變量的分布列與集合、組合數(shù)的性質(zhì)等相結(jié)合考查，是一個新的考查方向組合數(shù)的性質(zhì)等相結(jié)合考查，是一個新

17、的考查方向 2021/8/644 考題印證考題印證 (2009福建高考福建高考)(12分分)從集合從集合1,2,3,4,5的所有非空子的所有非空子集中，等可能地取出一個集中，等可能地取出一個 (1)記性質(zhì)記性質(zhì)r：集合中的所有元素之和為：集合中的所有元素之和為10，求所取出，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)的非空子集滿足性質(zhì)r的概率；的概率； (2)記所取出的非空子集的元素個數(shù)為記所取出的非空子集的元素個數(shù)為X，求，求X的分布的分布列和數(shù)學(xué)期望列和數(shù)學(xué)期望EX2021/8/645【解解】(1)記記“所取出的非空子集滿足性質(zhì)所取出的非空子集滿足性質(zhì)r”為事件為事件A.基本事件總數(shù)基本事件總數(shù)n 31；

18、事件事件A包含的基本事件是包含的基本事件是1,4,5，2,3,5，1,2,3,4； 事件事件A包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù)m3.P(A) . (5分分)2021/8/646(2)依題意，依題意，X的所有可能取值為的所有可能取值為1,2,3,4,5.又又P(X1) ；P(X2) ；P(X3) ；P(X4) ；P(X5) .(9分分)2021/8/647故故X的分布列為：的分布列為：XP從而從而EX1 2 3 4 5 . (12分分)(11分分)12 3 4 52021/8/648 自主體驗自主體驗 某中學(xué)組建了某中學(xué)組建了A、B、C、D、E五個不同的社團組織，為培養(yǎng)五個不同的社團組織，為培養(yǎng)

19、學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須參加，且只能參加一個社學(xué)生的興趣愛好，要求每個學(xué)生必須參加，且只能參加一個社團假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團的選擇是團假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團的選擇是等可能的等可能的 (1)求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的所有選法種數(shù)；求甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的所有選法種數(shù)； (2)求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團的概率；求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加同一社團的概率； (3)設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X為甲、乙、丙這三個學(xué)生參加為甲、乙、丙這三個學(xué)生參加A社團的人數(shù)，社團的人數(shù)，求求X的分布列與數(shù)學(xué)期望的分布列與數(shù)學(xué)期望2021/8/

20、649 解：解：(1)甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的選法均甲、乙、丙三名學(xué)生參加五個社團的選法均有有5種，故共有種，故共有555125(種種) (2)三名學(xué)生選擇三個不同社團的概率是三名學(xué)生選擇三個不同社團的概率是 .三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個社團的概率為三名學(xué)生中至少有兩人選擇同一個社團的概率為 1 .2021/8/650(3)由題意由題意X0,1,2,3.P(X0) ；P(X1) ；P(X2) ；P(X3) .2021/8/651故故X的分布列為：的分布列為：XP數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望EX0 1 2 3 . 0 1 2 32021/8/6522021/8/6531設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X等可

21、能取值等可能取值1,2,3，n，如果，如果P(X4) 0.3，那么，那么() An3 Bn4 Cn9 Dn102021/8/654解析：解析：P(X4)P(X1)P(X2)P(X3) 0.3，n10.答案：答案：D2021/8/6552隨機變量隨機變量X的概率分布規(guī)律為的概率分布規(guī)律為P(Xn) (n1,2,3,4)，其中，其中a是常數(shù)，則是常數(shù)，則P X 的值為的值為 () A. B. C. D.2021/8/656解析：解析：由題意得由題意得 1，a 1，a ，P X P(X1)P(X2)答案：答案：D2021/8/6573設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨

22、機變量倍，用隨機變量X去去 描述描述1次試驗的成功次數(shù)，則次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于等于 () A0 B. C. D.2021/8/658解析：解析：設(shè)設(shè)X的分布列為的分布列為XPP 2p即即“X0”表示試驗失敗，表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功，設(shè)失敗表示試驗成功，設(shè)失敗率為率為p，則成功率為，則成功率為2p.由由p2p1得得p .答案：答案：C012021/8/6594從裝有從裝有3個紅球，個紅球，2個白球的袋中隨機取出個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)個球，設(shè) 其中有其中有X個紅球，則隨機變量個紅球，則隨機變量X的概率分布為：的概率分布為：X012P2021/8/660解析：解析：P(X2) 0.3，P(X0) 0.1，P(X1) 0.6.答案：答案：0.10.60.32021/8/6615隨機變量隨機變量X的分布列如下：的分布列如下：X1 0 1PA b c其中其中a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.2021/8/662解析：解析：a，b，c成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，2bac.又又abc1，b ，P(|X|1)ac .答案：答案：2021/8/6636(2009全國卷全國卷)某車間甲組有某車間甲組有10名工人，其中有名工人，其中有4名女名女 工人；乙組