高等數(shù)學(xué)課件：8-3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法

1、二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂第三節(jié)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 第八八章 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 nnuuuu1321)1(交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) :定理定理8.6 (萊布尼茨審斂法萊布尼茨審斂法) 若若交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足滿足:則則; ),2,1()11 nuunn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足其余項(xiàng)滿足.1 nnur）（0 nu1. 定義定義稱滿足條件稱滿足條件1), 2)的級(jí)的級(jí)數(shù)為數(shù)為萊布尼萊布尼茨交錯(cuò)級(jí)數(shù)茨交錯(cuò)級(jí)數(shù))()(43212uuuuSn )()(54

2、3212uuuuuSn 1u 單調(diào)增加且有上界單調(diào)增加且有上界2nS12limuSSnn 22 nSnu2 1 先證先證部分和數(shù)列部分和數(shù)列S2n單調(diào)增加且有上界單調(diào)增加且有上界.)(212nnuu )(1222 nnuu)(21222nnnuuS 0 un 遞減遞減證證證明思路：證明思路：,lim2SSnn SSnn 12limSSnn lim+故級(jí)數(shù)收斂于故級(jí)數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項(xiàng)的余項(xiàng)nSnnSSr )(21 nnuu 21nnnuur.1 nu,limSSnn 仍為萊布尼茨仍為萊布尼茨 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)2 再證再證SSnn 12lim又又12lim nnSnnS2lim

3、S )(lim122 nnnuS注注1 萊布尼茨定理中的條件萊布尼茨定理中的條件(1)可換成：可換成：)(1Nnuunn 不單調(diào)不單調(diào)2nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu反例：反例：，對(duì)對(duì)于于nnnn2)1(2)1(11 nnnu2) 1(2 0不單調(diào)，不單調(diào)，雖然雖然nu事實(shí)上，事實(shí)上，單調(diào)增加單調(diào)增加3nu;)0()1(11發(fā)散發(fā)散 nnnnuu)0lim( nnu121221 kkuk222 ,2322kku nnnu2) 1(2 nnnn2)1(2)1(11 但但21)21(11nnn 收斂收斂 111)1(npnn 例例1 證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)：證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)： pp31211 pn

4、n1)1(1)0( p收斂，并估計(jì)其余項(xiàng)收斂，并估計(jì)其余項(xiàng) rn .解解pnnu1 因因),(0 npnnu1 且且 111 npun由由萊萊布布尼尼茨茨審審斂斂法法 pnnnur111 且且知知級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，需證需證un遞減趨于零遞減趨于零得得收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)取取, 1 p 111nnn即即和和為為, 2ln 2ln111 nnn231211 nn111注注 1(第五節(jié)第五節(jié)) 11,1)1(nnn收斂收斂.11發(fā)散發(fā)散但但 nn絕對(duì)值級(jí)數(shù)絕對(duì)值級(jí)數(shù)問題問題:斂斂散散性性的的關(guān)關(guān)系系？與與 11nnnnuu二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂 1. 定義定義 111)1(npnn

5、 1nnu若若收斂收斂 ； 11nnu）（ 12nnu）（條件收斂條件收斂,例如：例如：絕對(duì)收斂：絕對(duì)收斂：條件收斂條件收斂: 1nnu發(fā)散發(fā)散. 1nnu若若收斂，但收斂，但絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,.11發(fā)發(fā)散散但但 npn 11,1) 1(npnn收收斂斂；10 p. 1 p收斂收斂 11npn2. 定理定理 (絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系絕對(duì)收斂與收斂的關(guān)系)證證 設(shè)設(shè) 1nnunv令令 0 1nnv收斂收斂, 12nnv,2nnnvuu 而而 1nnu 1nnu收斂收斂.)(21nnuu nv,nu 收斂收斂 ,定理定理8.7若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂， 1nnu則該級(jí)數(shù)必收斂則該級(jí)數(shù)必收斂.

6、則則由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)，注注 收斂收斂1nnu絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 1nnu?由比較審斂法知由比較審斂法知,1 nnu 12nnv均收斂均收斂 12!sinnnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1!sin22nnnun 解解例例2.!sin12 nnn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂即即,112收收斂斂而而 nn 12!sinnnn收收斂斂條件收斂、條件收斂、絕對(duì)收斂還是發(fā)散？絕對(duì)收斂還是發(fā)散？ 判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)判定交錯(cuò)級(jí)數(shù) 110)1(nnnn的斂散性的斂散性. . 例例3解解nnnnuvnnu)1(10 ，絕對(duì)收斂性絕對(duì)收斂性110 nnuvnn)1(101 nn,1011發(fā)散發(fā)散而而 nn發(fā)散發(fā)散 1nnv)

7、,(nf令令 10 nnun)0(10)( xxxxf2)10()10(21)( xxxxxf2)10(210 xxx)10(0 x單單調(diào)調(diào)減減少少，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))(10 xfx 條件收斂性條件收斂性2分析分析10 nnun需判定需判定遞遞減減、趨趨于于零零時(shí)，時(shí)，故當(dāng)故當(dāng)10 n)()1(nfnf )10(1 nuunn即即 nnulim又又10lim nnnnnn101lim 由由萊萊尼尼布布茨茨判判別別法法知知 110)1(nnnn 收斂收斂. . 0 綜合綜合1, 2 可知：可知： 110)1(nnnn 條件收斂條件收斂. . 注注 1 用萊布尼茨判別法判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)用萊布尼茨判別法判斷交

8、錯(cuò)級(jí)數(shù))0()1(11 nnnnuu是否收斂時(shí)，要考察是否收斂時(shí)，要考察 un 是否單調(diào)減少，通常是否單調(diào)減少，通常有以下有以下三種三種方法：方法：比值法：比值法：1)(1?1Nnuunn 差值法：差值法：2)(0?1Nnuunn 函數(shù)法：函數(shù)法：3由由un 找一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)找一個(gè)可導(dǎo)函數(shù) f (x),)(nunf 使使?0)( xf再考察再考察2 關(guān)系關(guān)系收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu收斂收斂 1nnu?（一般地）（一般地）但但特殊地，特殊地，有有定理定理8.8設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足滿足 1nnu1lim1 uunnn)1lim( unnn或或則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù),1發(fā)散

9、發(fā)散 nnu.1發(fā)散發(fā)散且且 nnu, 1lim1 uunnn由由),(1Nnuunn 可得可得, 0lim nnu于是于是, 0lim nnu從而從而.1發(fā)散發(fā)散故故 nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu說明說明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）證證 ,!11 nnnnnnnnnnnuu1lim 又又nnn)11(lim 知知，由由定定理理8 . 8 散？散？收斂、條件收斂還是發(fā)收斂、條件收斂還是發(fā)是絕對(duì)是絕對(duì)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 1!nnnn例例4解解 nnnnnnn!11lim1 , 1 e .!1發(fā)發(fā)散散 nnnn ,!11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnnn比值法判定比值法判定定理定理

10、8.9，對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu）（），），（令令nnnnnnuuuu-2121 絕對(duì)收斂的充要條件是絕對(duì)收斂的充要條件是則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu 11nnnn，數(shù)數(shù)則得到兩個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)則得到兩個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)都收斂。都收斂。和和 11nnnnnnnu 定理定理8.10條件收斂，條件收斂，若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1nnu都發(fā)散。都發(fā)散。和和則則 11nnnn證證 反證法反證法 （充分性）（充分性）都收斂，都收斂，和和設(shè)設(shè) 11nnnnnnnu 矛盾。矛盾。收斂，收斂， 1nnu有一個(gè)發(fā)散，有一個(gè)發(fā)散，和和若若 11nnnnnnnnnnuu- 或或由由收斂，收斂，以及以及 1nnu盾。盾。另外一個(gè)級(jí)數(shù)

11、收斂，矛另外一個(gè)級(jí)數(shù)收斂，矛分別為分別為 *3. 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)*性質(zhì)性質(zhì)1 (交換律交換律).S則則逐項(xiàng)相乘逐項(xiàng)相乘 ，jivu 1nnw并按并按任意順序任意順序排列排列也絕對(duì)收斂也絕對(duì)收斂, 1nnv 1nnu 與與設(shè)設(shè)都絕對(duì)收斂都絕對(duì)收斂,S其和為其和為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置改變項(xiàng)的位置而改變其和而改變其和.*性質(zhì)性質(zhì)2 (分配律分配律)其和其和得到的級(jí)數(shù)得到的級(jí)數(shù) 1nnv 1nnu故故 11121)(nnnnvuvuvuS 柯西乘積柯西乘積1. 利用部分和極限利用部分和極限:3. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法0lim nnu比值審斂法比

12、值審斂法根值審斂法根值審斂法比較審斂法比較審斂法內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法）（任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法）2. 利用收斂的必要條件利用收斂的必要條件:發(fā)散發(fā)散 不存在不存在SSnnlim 發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂判判 1nnu收斂收斂 1nnu發(fā)散發(fā)散判判 1nnu發(fā)散發(fā)散 1nnu4. 萊布尼茨萊布尼茨判別法判別法: 收斂收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu 1)1( 11!1)1()2nnn nnn2) 1(222112 1!1)2nn 12)3nnn發(fā)散發(fā)散;收斂收斂;收斂收斂.備用題備用題例例1-1 判定下列的斂散性：判定下列的斂散性： !31!211 !1)1(1nn 112) 1() 3nn

13、nn問題問題 上述級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)上述級(jí)數(shù)的絕對(duì)值級(jí)數(shù) 是否收斂是否收斂 ? 1nnv 111) 1() 1nnn 31211 nn1) 1(1收斂收斂收斂收斂收斂收斂 11)1nn解解，因因ppnnnx1cos ,)1(11收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)又又 pnpnp收收斂斂，故故 1cosnpnnx例例2-1 是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1cos1 pnnxnp?條條件件收收斂斂還還是是發(fā)發(fā)散散.cos1絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂從從而而 npnnx例例2-2 證明證明 1214) 1()2(;sin) 1 (nnnnennn 證證 (1),1sin44nnn 因因而而 141nn收斂收斂 , 14sinnn

14、n 故故收斂收斂,因此因此 14sinnnn 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 .絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 .,2nnenu 令令nnnuu1lim 因因 lim n121 nen）（nen2211lim nnen11 e因此因此 12)1(nnnen 12)1(nnnen故故收斂收斂,絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂. 12) 1()2(nnnen .0sin11的的斂斂散散性性判判定定 nnxnx例例3-1解解 nxunnsin1 因因)( nnx發(fā)發(fā)散散，而而 1nnx發(fā)發(fā)散散， 1nnunxsin 由由比比較較法法知知.故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂,0sinlim nxn且且 是是）（故故xnnxnn2sin11 ,萊萊布布尼尼茨茨交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) xnnxnx21sinsin又又.因因此此條條件件收收斂斂例例3-2 ), 3 , 2 , 1(0 nun設(shè)設(shè), 1lim nnun且且則則 ).()(11111 nnnnuu(A) 發(fā)散發(fā)散 ; (B) 絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂;(C) 條件收斂條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析, 1lim nunn由由,11nun知知選選 (B) 錯(cuò)錯(cuò) ;)(2111uunS 又又)(3211uu C)(4311uu )(5411uu )()1(1111 nnuun