高中數(shù)學平面幾何對稱問題（共25張PPT）

1、 課題引入 教材P101 11對稱問題對稱問題中心對稱問題中心對稱問題點關于點的對稱點關于點的對稱線關于點的對稱線關于點的對稱軸對稱問題軸對稱問題點關于線的對稱點關于線的對稱線關于線的對稱線關于線的對稱例例1. 已知點已知點A(5,8) ，B(4 ，1) ，試求，試求A點點 關于關于B點的對稱點點的對稱點C的坐標。的坐標。（一）點關于點對稱（一）點關于點對稱一一.中心對稱中心對稱(關于點的對稱關于點的對稱)），（解得的中點為點和點由對稱關系知，點）（解：設點63CB,C3641xyyx練習練習:求點求點P(2,5)關于原點的對稱點關于原點的對稱點.求點求點P(2,5)關于關于Q(-3,-7)的

2、對稱點的對稱點.點關于點的對稱點關于點的對稱),(),(AyxAnmO)2 ,2(ynxm注：注： )0, 0(),(yx),(yx 解題要點：解題要點：中點公式的運用中點公式的運用例例2、 求直線求直線y=3x4關于點關于點P(2,1)的對稱直線方程的對稱直線方程.( , )M x yP解：設對稱直線上任一點，則其關于 的對稱點P(2,1)xyOy=3x4分析一分析一: : 將直線的對稱轉化為直線上的點的對稱將直線的對稱轉化為直線上的點的對稱. .還可以有什么方法？還可以有什么方法？3100 xy化簡得3100.xy所求直線方程是上在直線43)2,4(Nxyyx4)4(32xy(二）直線關于

3、點的對稱二）直線關于點的對稱直線關于點對稱直線關于點對稱 法一：法一： l 2上的任意一點的對稱點在上的任意一點的對稱點在l 1上上 f (x,y)=0M(x,y)法二：法二： l 1 / l 2且且P到兩直線等距。到兩直線等距。對稱關于點與若P21ll練習練習求直線求直線m:2x+3y-1=02x+3y-1=0關于點關于點P(1,4)P(1,4)對稱的直線對稱的直線n n的方程的方程. .二二.軸對稱軸對稱(即關于直線的對稱即關于直線的對稱)例例3.求點求點A(-7,1)關于直線關于直線l:2x-y-5=0的對稱點的對稱點B的坐標的坐標.解解(法一法一) 設設B(m,n）由點關于直線對稱的定

4、義知）由點關于直線對稱的定義知: 線段線段ABl 即; =-1 2)7(1mn線段線段AB被直線被直線l平分平分,即線段即線段AB的中點的中點21,27 nm在直線在直線l上上,故有故有 2 - -5=0 27m21n(一一)點關于直線的對稱點關于直線的對稱:聯(lián)立聯(lián)立 解得解得m=9 n= -7B(9,-7)（法二）（法二）直線直線ABl, 直線直線AB過點（過點（-7，1）直線直線AB的方程為的方程為y-1=- y-1=- （x+7x+7） 即即x+2y+5=0 x+2y+5=021052052yxyx由 解得 13xy即即AB的中點為（的中點為（1，-3） ，又，又A（-7，1）由中點坐標

5、公式得由中點坐標公式得B的坐標為（的坐標為（9，-7）.小結小結:求點求點P(x0,y0)關于直線關于直線l:Ax+By+C=0By+C=0對稱點對稱點Q(x1,y1)的方法的方法:點關于一般直線的對稱點關于一般直線的對稱),(0:AbaAcByAxl上中點在直線平分：垂直：方法：lAAlAA練習：練習：求求A（3,-2）關于直線）關于直線2x-y-1=0 的對稱點坐標。的對稱點坐標。13 4(, )55A 點關于特殊直線的對稱點關于特殊直線的對稱),(00yxA軸y 軸x xy xy),(00yx ),(00 xy ),(00 xy),(00 xy bxy),(00bxby例例4. 試求直線

6、試求直線l1:x-y-2=0關于直線關于直線 l2:3x-y+3=0 對稱的直線對稱的直線l 的方程。的方程。解題要點：由線關于線對稱轉化為點關于點對稱解題要點：由線關于線對稱轉化為點關于點對稱思考：思考：若若l1/l2, 如何求如何求l1 關于關于l2的對稱直線方程？的對稱直線方程？C1lC2l1l2l1（二）直線關于直線的對稱（二）直線關于直線的對稱直線關于特殊直線的對稱直線關于特殊直線的對稱軸xCByAx0軸yxy xy0)(CyBAx()( )0AxB yC0CBxAy0)()(CxByA點點P(x,y)關于下列點或線的對稱點分別為：關于下列點或線的對稱點分別為：關于原點關于原點:_;

7、 關于關于x軸軸:_;關于關于y軸軸: _; 關于直線關于直線y=x:_;關于直線關于直線y=-x:_; 關于直線關于直線x=a:_.(-x,-y)(x,-y)(-x,y)(y,x)(-y,-x)(2a-x,y)設直線設直線則則 關于軸對稱的直線是關于軸對稱的直線是關于軸對稱的直線是關于軸對稱的直線是關于對稱的直線是關于對稱的直線是關于對稱的直線是關于對稱的直線是l0:CByAxlxyxy xy 0)( CyBAx0)( CByxA0 CAyBx0)()( CxByA補：關于原點補：關于原點:_ ; 0CyBxA）（）（：一條光線經(jīng)過點一條光線經(jīng)過點P（2，3），射到直線），射到直線x+y+1

8、=0上，反射后，穿過點上，反射后，穿過點Q（1，1），求），求光線的入射線和反射線的方程。光線的入射線和反射線的方程。xyOx+y+1=0P(2,3)Q(1,1) 31,32SR(-4,-3)32( 0245 xyx)32( 0154 xyx應用一：解決物理光學方面的問題應用一：解決物理光學方面的問題練習：練習： 一條光線經(jīng)過一條光線經(jīng)過P（-1,2），經(jīng)直線），經(jīng)直線 l:x+y-1=0反射后經(jīng)過點反射后經(jīng)過點Q（1,1），）， （1）求入射光線所在的直線方程；）求入射光線所在的直線方程； （2）求這條光線從）求這條光線從P到到Q的長度。的長度。例例 ： 已知已知ABC的頂點的頂點A（4,

9、1）,B（4, 5）,角角B的內角平分線的內角平分線BE所在直線的方程為所在直線的方程為 ，求，求BC邊所在直線方程。邊所在直線方程。01 yxB(-4,-5)A(4,-1)M（0,3）xyOE應用二：解決三角形中的角平分線問題應用二：解決三角形中的角平分線問題應用三：解決距離最值有關問題應用三：解決距離最值有關問題 例例.已知兩點已知兩點A(2,15),B(-3,5),在直線在直線l:3x-4y+4=0上找一點上找一點P,使得使得:(1)|PA|+|PB|最小最小,并求出其最小值并求出其最小值;(2)|PA|-|PB|最大最大,并求出其最大值并求出其最大值.涉及定直線涉及定直線l上一點上一點

10、P與兩定點與兩定點A，B的距的距離和（或差）的最值問題離和（或差）的最值問題1.若若A，B兩點在直線的同側：兩點在直線的同側：（1）設點）設點B關于直線的對稱點為點關于直線的對稱點為點C,則直線則直線AC與直線與直線l的的交點交點P使得使得|PA|+|PB|最??；最小；（2）直線）直線AB與直線與直線l的交點的交點P使得使得|PA|-|PB|最大。最大。2.若若A,B兩點在直線的異側兩點在直線的異側:(1)直線直線AB與直線與直線l的交點的交點P使得使得|PA|+|PB|最小最小;(2)設點設點B關于直線的對稱點為點關于直線的對稱點為點C,則直線則直線AC與直線與直線l的交點的交點P使得使得|PA|-|PB|最大最大.例：例：已知已知x,y滿足滿足x+y=0，求，求的最小值。的最小值。2222)3()2()1()3( yxyxM(1,-3)xyOM(3,-1)N(-2,3)y=xP（1）已知點）已知點A(2,0),B(-2,-2),在直線在直線l:x+y-3=0上求一點上求一點P使使|PA|+|PB| 最小最小變形變形:在在l上求一點上求一點Q使得使得| |QA|-|QB| |最大最大.（2）已知點）已知點A(4,1),B(0,4),在直線在直線l:3x-y-1=0上求一點上求一點P使使|PA|+|PB| 最小最小.變