第7章隨機(jī)解釋變量

1、第7章隨機(jī)解釋變量單方程線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型假定解釋變量是確定性變量，并且與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)，違背這一基本假設(shè)的問題被稱為隨機(jī)解釋變量問題。本章介紹了隨機(jī)解釋變量問題的概念、 產(chǎn)生的原因和后果、檢驗(yàn)方法以及解決方法。隨機(jī)解釋變量問題的概念對于計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型Yi B0 BiXii OXz BkXki Ui,i 1,2, n(7.1.1 )其中一個(gè)基本假設(shè)是解釋變量Xi,X2, Xk是確定性變量，即解釋變量與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)。但是在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，這個(gè)假定不一定成立，這一方面是因?yàn)橛糜诮５慕?jīng)濟(jì)變 量的觀測值一般會(huì)存在觀測誤差，另一方面是經(jīng)濟(jì)變量之間聯(lián)系的普遍性使得解釋變量可能 在一定程度上依賴于應(yīng)變

2、量，即解釋變量X影響應(yīng)變量Y,而應(yīng)變量Y也會(huì)反過來影響解釋變量X。模型中如果存在一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量作為解釋變量，就稱為模型出現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量問題。其中Xk可能與隨機(jī)誤差項(xiàng) U不相關(guān)，就是說，解釋變量 Xi,X2, Xk 1都是外生的，但Xk有可能在方程(4.4.1)中是內(nèi)生的，則稱原模型存在隨機(jī)解釋變量問題。內(nèi)生性可能源自于省略誤差、測量誤差，聯(lián)立性等。為討論方便，我們假設(shè)中 X2為隨機(jī)解釋變量。在模型()中，卞據(jù)解釋變量X 2與隨機(jī)誤差項(xiàng)的關(guān)系，可以分為三種類型：1)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)獨(dú)立Cov(X2,u) E(x2,u) E(x2)E(u) 0(7.1.(2)2)隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干

3、擾項(xiàng)同期無關(guān)但異期相關(guān)Cov(X2iU) E(x2i,Ui) 0,i 1,2, n» (Jeffrey Wooldrige,2007)具體詳見 « Econometric analysis of cross section and panal data(7.1.(3)Cov(X2i,ui-s)E(x2i,ui-s)0，i1， 2，n(7.1.4)3) 隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)Cov(X2i ,ui)E(x2i,ui )0，i 1，2，n(7.1.5)實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的隨機(jī)解釋變量在許多經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，自變量的非隨機(jī)性假定有時(shí)是不符合實(shí)際的。因?yàn)椋?許多經(jīng)濟(jì)變量是不能用控制

4、的方法進(jìn)行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能是確定的，而是隨機(jī)的。 由于隨機(jī)誤差項(xiàng)中包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量同模型中保留的解釋變量往往存在一定的相關(guān)關(guān)系。 在自回歸模型中，因變量作為解釋變量也必定是隨機(jī)變量。因此，我們必須對模型中的解釋變量為隨機(jī)變量且與隨機(jī)項(xiàng)相關(guān)的情形進(jìn)行討論。在單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中，凡是外生變量都被認(rèn)為是確定性的，于是隨機(jī)解釋變量問題主要變現(xiàn)于用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。同時(shí)， 由于經(jīng)濟(jì)活動(dòng)具有連續(xù)性，使得這類模型在以時(shí)間序列數(shù)據(jù)作樣本的模型中占據(jù)較大份額。例如， 消費(fèi)不僅受收入的影響，還受前期消費(fèi)水平的影響。投資不僅受收入的

5、影響，還受前期投資水平的影響。但是，并不是所有包含滯后被解釋變量的模型都會(huì)帶來隨機(jī)解釋變量問題，下面通過幾個(gè)例子來說明。耐用品的存量由前一個(gè)時(shí)期的存量和當(dāng)期收入共同決定，于是著名的“耐用品存量調(diào)整模型”表示為Qt01 It2Qt 1utt 1,2,3, ,n( 7.2.1 )這是一個(gè)滯后被解釋變量作為解釋變量的自回歸模型。但是如果模型中不存在隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)性，那么隨機(jī)解釋變量Qt 1只與ut 1相關(guān)，而與ut不相關(guān)，屬于上述的第一種情況。再如，在著名的“合理預(yù)期的消費(fèi)函數(shù)模型”中，首先認(rèn)為消費(fèi)是由對收入的預(yù)期所決定的，或者說消費(fèi)是有計(jì)劃的，而這個(gè)計(jì)劃是根據(jù)對收入的預(yù)期制定的。于是有:Ct

6、e11tutCt 1lltelut 1(722 )其中，I：表示t期收入預(yù)期值，而預(yù)期收入與實(shí)際收入之間存在差距，用函數(shù)形式表 現(xiàn)出來為:(7.2.3 )Ite 1 It Itei該式是由合理預(yù)期理論給出來的，因此可以進(jìn)一步推導(dǎo)出Ct01 1It 1 It 1 UtCt 10 Ut 1 Ut1 1 I t Ct 1 utut 1(724 )在該模型中，作為解釋變量的Ct 1是一個(gè)隨機(jī)解釋變量，同時(shí)由于Ct 1與ut 1高度相關(guān),所以它與模型（7.2.4 ）中的隨機(jī)誤差項(xiàng)utut 1也高度相關(guān)。屬于上述第三種類型。隨機(jī)解釋變量的后果當(dāng)模型存在隨機(jī)解釋變量時(shí)，如果仍采用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，

7、不同性質(zhì)的 隨機(jī)解釋變量會(huì)產(chǎn)生不同的后果。對一元線性回歸模型Y B°回在前面得到如下最小二乘估計(jì)量：01XiYixi/0 1 (7.3.1) x2隨機(jī)解釋變量X與隨機(jī)干擾項(xiàng)科的關(guān)系不同，參數(shù)OLS估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也會(huì)不同。7.3.1估計(jì)量的漸近特征如果一個(gè)變量是隨機(jī)變量，它的精確抽樣分布是很難找到的，只能是漸進(jìn)結(jié)果。例如，當(dāng)線性回歸模型滿足最小二乘法的假定條件時(shí)，其參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具有無偏性和有效性。 優(yōu)勢最小二乘估計(jì)量并不具有這種統(tǒng)計(jì)特征，但隨著樣本容量的增加卻具有了這種特征。1 )漸近無偏性設(shè) n 是參數(shù)的估計(jì)量，其中n 為樣本容量，設(shè)依次抽樣的樣本容量n 分別為ni 1 n

8、，則n是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望值為E( n ),方差為Var( n )=E n -E( n ) 2。隨著樣本容量n 取值的不同，得到下面隨機(jī)解釋變量序列nn1n2n|1,2, r| E( n )| E( n1),E( n2),E( nr)| Var( n)| E n1 E( n1)2,E n2 E( n2)2, ,E nr E( nr)2 ( 7.3.2 )所謂漸近分布是指。當(dāng)樣本容量n 趨于無窮大時(shí)，上面各隨機(jī)變量序列分別收斂到一定分布。對于均值、方差存在以下關(guān)系。Lim E( n) E( )nLim Var( n ) E E( )2( 7.3.3 )其中 E( ) ， E E( )2分別

9、是n 的漸近期望值和漸進(jìn)方差。如果Lim E( n)則稱 n 是 的漸近無偏估計(jì)。即當(dāng)樣本容量n 充分大時(shí)，n 的均值趨向于總體參數(shù)。以上的討論是在樣本容量充分大的情況下進(jìn)行的。如果小樣本估計(jì)量是有偏的，但其估計(jì)量具有漸近無偏性，我們就可以增加樣本來優(yōu)化估計(jì)結(jié)果。2)一致性一致性估計(jì)是指對于任意給定的兩個(gè)任意小的正數(shù), ，總存在一個(gè)充分大的樣本容P|量no ,使得當(dāng)n> no時(shí)，滿足7.3.4 )值趨向于總體真稱估計(jì)序列n是 的一致估計(jì)序列，即當(dāng)樣本容量 n充分大時(shí),實(shí)值的概率接近于1,記為P Lim n(7.3.5 )n也可以簡記為piim綜上所述，由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論可知，要想建立一個(gè)一

10、致性估計(jì)量，必須滿足兩個(gè)條件LimE( n) 和 LimVar( n) 0nn即估計(jì)量n具有漸近無偏性，并且當(dāng)樣本容量充分大時(shí)，n的方差趨近于0。3)隨機(jī)解釋變量模型最小二乘估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)特征隨機(jī)解釋變量X的OLS估計(jì)量可能出現(xiàn)下面三種情況(1)如果X與隨機(jī)誤差項(xiàng)u相互獨(dú)立，即E(XiUi)E(Xi)E(Ui) 0,得到的參數(shù)估計(jì)量仍然是無偏一致估計(jì)量。由于 xiui Xi X ui Xiui X ui因此則有1E( i) i rE(XiU) XE(u。1(7.3.6 )Xi這說明1是1的無偏估計(jì)量。同理可以證明 0是0的無偏估計(jì)量。(2)如果X與科同期不相關(guān)，而異期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有偏，

11、但卻是一致的。由(7.3.1)易知E(?1)d E( 4%)31E(kg)(7.3.7)Xi盡管Xi與ui同期無關(guān)，但對任一的分母中一定包含不同期的X；由異期相關(guān)性知 ki與5相關(guān)，導(dǎo)致E(?i)由，即參數(shù)估計(jì)量是有偏的。但是1Y”Plim (Xjii)c /V P lim(國nxii)g n gC0v(Xi,X212.P1Var(Xi)XiP lim(xi )' "n(7.3.8 )12即在假定PLimx2 0的情況下，分子項(xiàng)等于 0,于是上式成立。這說明最小二n乘估計(jì)量1雖然是有偏的，但它是1的一致估計(jì)量。(3)如果隨機(jī)解釋變量X與隨機(jī)誤差項(xiàng)u同期相關(guān)，得到的參數(shù)估計(jì)量有

12、偏且非一致。由于 Cov Xi ,Ui 0所以則有1 P LimnXiui Cov(Xi ,ui)0(7.3.9 )即 Plim 1111Plim Xiui XPlim nnUiPlim 1xi2n(7.3.10 )這說明最小二乘估計(jì)量1是有偏的，也不是 1的一致估計(jì)量。同理也可以證明 °是有偏的，也不是 °的一致估計(jì)量。但是需要注意的是，如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當(dāng)該滯后被解釋變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)同期相關(guān)時(shí)，普通最小二乘估計(jì)量是有偏的且非一致的。即使同期無關(guān),其普通最小二乘估計(jì)量也是有偏的，因?yàn)榇藭r(shí)肯定會(huì)出現(xiàn)異期相關(guān)?？傊诖嬖陔S機(jī)解釋變量問題時(shí)，采用OL

13、S法估計(jì)模型參數(shù)，得到的參數(shù)估計(jì)量在小樣本情況下是有偏的， 在大樣本情況下也不具有漸進(jìn)無偏性，就有可能產(chǎn)生嚴(yán)重的誤導(dǎo)結(jié)果。隨機(jī)解釋變量的檢驗(yàn)(內(nèi)生性)隨機(jī)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)在國內(nèi)，暫時(shí)還很少提及，這里簡單介紹下國外學(xué)者的主要檢驗(yàn)方法之一一豪斯曼檢驗(yàn)(Hausman,1978)。舉例說明，假定我們有單一的被懷疑的內(nèi)生變量y 3 B1x 口乙 B3Z2 u(7.4.1)其中，假定x是內(nèi)生性變量，Z1,Z2是外生的。如果 X與u不相關(guān)，我彳門應(yīng)該用 OLS法估計(jì)（4.4.20）模型。豪斯曼檢3是直接比較OLS和2SLS的估計(jì)結(jié)果，判斷其差異是否在統(tǒng)計(jì)上顯著。如果所有變量是外生的，OLS和2SLS都

14、是一致性的；如果差異顯著，就可以斷定 x 是內(nèi)生的（ z1 , z2 保持外生性） 。我們可以通過計(jì)算 OLS和2OLS下的參數(shù)估計(jì)值來判斷二者是否存在差異，但是這種方法相對而言比較復(fù)雜，使用回歸檢驗(yàn)會(huì)更加容易，它是以估計(jì)x 的誘導(dǎo)型為基礎(chǔ)的。此時(shí)誘導(dǎo)型是x 01z12z23z34z4（7.4.2）其中Z3,Z4是其他的外生變量，未出現(xiàn)在模型（4.4.20）中。此時(shí)，因?yàn)楦鱾€(gè) Zi與u不相關(guān)，所以x與v不相關(guān)且u與v不相關(guān)，這也是我們將要檢驗(yàn)的。假設(shè)u 1 e,其中e與 v 不相關(guān)且均值為零，那么u 與 v 不相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)1 =0。檢驗(yàn)1是否為零方法就是將v作為回歸元添加到模型中做t 檢驗(yàn)。

15、因?yàn)?v 是模型中的隨機(jī)誤差項(xiàng)，不能被直接觀測，因此應(yīng)該用OLS估計(jì)誘導(dǎo)型方程（）,從而獲取誘導(dǎo)型殘差序列v。因此OLS估計(jì)為y Bo B1x 1乙 B3Z22V（7.4.3 ）其中為誘導(dǎo)型（4.4.21） 用OLS估計(jì)所獲得的殘差。然后用 t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)零假設(shè)：1=0,如果以一個(gè)小的顯著水平拒絕零假設(shè)，我們就可以因u 與 v 相關(guān)推斷出x 是內(nèi)生的。7.4.1 單一解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)1 ）在模型（4.4.20 ）中，用內(nèi)生變量x 對所有外生變量（包括那些在結(jié)構(gòu)方程中和其它方程中的工具變量）做回歸，估計(jì)它的誘導(dǎo)型（），并獲得殘差序列v。2）將 v 添加到結(jié)構(gòu)方程（4.4.20 ）中，用y 做內(nèi)

16、生變量x 和殘差 v 的回歸，并用t 統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) v 的顯著性。3）如果v的OLS估計(jì)量的t統(tǒng)計(jì)量顯著，則拒絕原假設(shè)（解釋變量是非隨機(jī)的），認(rèn)為解釋變量x是隨機(jī)變量；如果v的OLS估計(jì)量的t統(tǒng)計(jì)量不顯著，則沒有充分理由拒絕原假設(shè)，即說明解釋變量x 為非隨機(jī)的。具體操作過程如下例 已知1978年-1998年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值Y,最終消費(fèi)C1,資本形成總額 K的樣本觀測值見表所示表1978-1998年我國國內(nèi)生產(chǎn)總值、最終消費(fèi)和資本形成總額年份YC1K197819791980198119821983198419851986198719881989199019911992199319941995199

17、619971998案例來源：李子奈，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，高等教育出版社，2005年第二版建立國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終消費(fèi)模型C1t1Ytut由于最終消費(fèi)C1是國內(nèi)生產(chǎn)總值 丫的一部分，因此C1和丫均受到隨機(jī)誤差項(xiàng) u的影響，即可以認(rèn)為Y為隨機(jī)解釋變量且與 u高度相關(guān)。我們首先用豪斯曼檢驗(yàn)來判斷Y是否為隨機(jī)解釋變量。首先用內(nèi)生變量 Y作K的回歸，在估計(jì)模型窗口輸入 Y C K，點(diǎn)擊OK估計(jì)出回歸方程,如圖所示Vtew|PFoc|QbjMt| PririH良匕布配白Fnrx小景也"百總£J012Sl工quaAi7EHTITLED TvrkfiLe： WILTlED; ;VnititleDep

18、en dent Variable: Y Method: Leas! Square?Date; 04/19/09 Ums; 21:16Sample: 1978 1938Included otos&ivatians: 21VariableCoefficientStd. Error t-SiaiisticProb.K2 5410790.02744492.59051o.oooaC762.98563T3573T2042J370 0552R-squared0.997739M%n dependent var26566.87Adjusted Rsquared0.997672E.D. dependent

19、 var25247 69G.E. of regressior11210.11 7Akaike info criterion17.13B33Sum squared re5id28192379Schwarz criterion17.23707Loig likelihood-177.9531Hannsn-Quinn criter.17,15993artistic8573 020Durbin-Watson stat0.386837ProbCF*8tatistiC 000000圖在上圖中點(diǎn)擊 Proc Make Residual Series ,建立起殘差序列 Resid01 ,再用C1為被解釋變量，做

20、內(nèi)生變量 Y和殘差Resid01的回歸，結(jié)果如圖所示IqnatLon.： UBTirUD Voi-kfile ： UHTTTtlfi ： =lMti tled-|nix|View|ProcCbject PrintName Free到 EstimateForecast | 三匕匕 |Regjds|Dependentvariable: Ci Method: Least Squares Dte: 04/19/09 Tim 21:22Oample; 1Q70 1Q90Included observations: 21VariableCoefficient Gtd Error L-ShUctic Pro

21、bY RE3ID01C,5727000 002303248.1 88S0.0000U1373990.0490702.300033C,0116S28,Z57681.052427.750254HOOOOR-squared0,9S97,09Mean dependentvar14S94.05Adjusted R-scjuared0.99967 7S.D. dependentvar14470.05S.E. of regreisian26Q25S1Akaike inib criterion14.09277Sum舊mid121gl98, Schwars criterion14.2419gLog likeli

22、hood-14O7J1Hannan-Quinn criter.14.12516F-st5tistic30903.70Durbin-Wats on stat1.226450Prcb(F-statistic)a.OOQOuO圖可見，該回歸方程的擬合程度很好，殘差 ResidOI的t統(tǒng)計(jì)量顯著，因此可以確定變量Y為隨機(jī)解釋變量。7.4.2多個(gè)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)多個(gè)解釋變量的內(nèi)生性檢驗(yàn)原理和上述相似，在模型（7.4.4 ）中y 00 01x12x2 P3z1B4z2 u（7.4.4 ）其中，假設(shè)X1, X2是兩個(gè)內(nèi)生變量。首先分別用X1和X2對所有外生變量做回歸，估計(jì)它們的誘導(dǎo)型，并得到兩個(gè)殘差序列

23、v1和v2,再將殘差代入方程（7.4.4 ）中，用y做內(nèi)生性變量和殘差 v1和v2的回歸，然后 用F檢驗(yàn)在結(jié)構(gòu)方程中檢驗(yàn)這些殘差的聯(lián)合顯著性。檢驗(yàn)結(jié)果顯著則表明 X1,X2中至少有一個(gè)內(nèi)生解釋變量，被解釋的排斥性約束的數(shù)目就是被懷疑的內(nèi)生解釋變量的數(shù)目。隨機(jī)解釋變量的解決模型中出現(xiàn)隨機(jī)解釋變量且與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)時(shí)，OLS估計(jì)量是有偏的。如果隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)異期相關(guān)，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計(jì)量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無濟(jì)于事。這時(shí)，就需要尋求新的估計(jì)方法。目前主要的方法有正交回歸估計(jì)法、正反向回歸估計(jì)法、雖小特征值估計(jì)法、工具變量法等，其中工具變量法得到

24、了最廣泛的運(yùn)用。1) 工具變量的概念出現(xiàn)了隨機(jī)解釋變量問題時(shí)，最常用的估計(jì)方法是工具變量(instrument variables ，IV) 法。它是指在模型估計(jì)過程中被作為工具使用，以代替模型中與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的隨機(jī)解釋變量。被選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：( 1)與所替代的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；( 2)與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)；( 3)與模型中其他解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性。2) 工具變量法工具變量法是克服解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)影響的一種參數(shù)估計(jì)方法。它的基本思路是，當(dāng)隨機(jī)解釋變量X與誤差項(xiàng)u高度相關(guān)時(shí)，設(shè)法找到另外一個(gè)變量Z,它與X高度相關(guān)，而與u無關(guān)，從而用Z替換X。變量

25、Z就被稱為工具變量。( 1)一元線性回歸模型中的工具變量法記一元線性回歸模型如下：Y B。BiXj u,i 1,2, n(7.5.1)用OLS法估計(jì)模型(7.5.1)式，相當(dāng)于分別用1與Xi去乘模型兩邊，再對i求和，推導(dǎo) 出正規(guī)方程組Yi01 X iu iYi01 Xi Xi uiXi( 7.5.2 )根據(jù)最小二乘法的假設(shè)，對于隨機(jī)誤差項(xiàng)u,有E(ui) 0， Cov(Xi,ui) E(xi,ui) 0這意味著意味著在大樣本下UiiuiXi 0 n(7.5.3.)所以方程組(7.5.2)可以化成1Xi 01 Xi Xi 0(7.5.4 )求解可以得到Xi y-2Xi0 Y 1X(7.5.5)但

26、是，如果Xi與Ui相關(guān)，即使在大樣本下，也不存在-uiXi0n即OLS估計(jì)量不具有一致性，不能用上述方法求出0, 1 。如果按照工具變量的選擇條件選擇Z為X的工具變量，那么在上述估計(jì)過程中不用 X而改為Z乘以模型的兩邊，并對i求和。利用工具變量與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)的性質(zhì)，在大樣本下可略去ui與Ziui ,得到Ziyi2Zi0 Y iX(7.5.6 )(2)多元線性回歸模型中的工具變量法對于多元線性回歸模型01X1i 2X 2ikXkiUi, i1,2,n(7.5.7 )假設(shè)X 2,X k為隨機(jī)解釋變量且與誤差項(xiàng)u高度相關(guān)。同時(shí)，隨機(jī)誤差項(xiàng)u還滿足最小二乘法的其他假定條件：E ui 0,Var u

27、i:,C0V ui,us0 , i s,i,s 1,2, ,n ；Cov X j m 0, j 2,k ；解釋變量之間不存在多重共線性。同理，我們尋找工具變量 Z2,Zk,它們需要滿足以下條件：必須是有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的變量；與它們所對應(yīng)的隨機(jī)解釋變量高度相關(guān)；與隨機(jī)誤差項(xiàng)u不相關(guān)；與多元線性回歸模型中其他解釋變量不相關(guān)；工具變量Z2,Zk之間不相關(guān)。2 7k除了 X2,Xk外,2 , k其他外生變量及常數(shù)項(xiàng)均由其自身作工具變量,可得工具變量矩陣X11Z21X31ZX12Z22X 32Z1XmZ2nX3nZK1K2kn(7.5.8 )用Z替換多元線性回歸模型參數(shù)估計(jì)量表達(dá)式1X Y中的X ,得多兀

28、線性回歸模型工具變量法參數(shù)估計(jì)量表達(dá)式(7.5.9)1 _IV Z X ZY3）工具變量法估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)以一元線性回歸模型為例,用工具變量法所求的參數(shù)估計(jì)量的關(guān)系為1Zi yiZiYiZi他0Zi XiZiXiZiXi1 Zi X iZiM iZiXiZi Xi兩邊取概率極限得ZiM iZiXiPlim(目)Plim (- nZ-)1、Plim (一 z Xi)n(7.5.10 )如果工具變量Z選取得當(dāng),即有1 Plim( nZiL)Cov(Zi，%) 01 Plim(一 nZi Xi)Cov(Zi,Xi) 0(7.5.11 )一因此，Plim(B1) B由此可以說明工具變量法的參數(shù)估計(jì)值是

29、一致估計(jì)量O對于工具變量法，有以下幾點(diǎn)說明需要注意：(1)在小樣本下，工具變量法估計(jì)量仍是有偏的，這是因?yàn)?1E(乙 i) E(正(乙 i) 0zi xizixi(7.5.12因此，在建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，要保證足夠大的樣本容量，從而避免參數(shù)估計(jì)量偏誤。(2)如果模型中有兩個(gè)以上的隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)，就必須找到兩個(gè)以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計(jì)過程被使用的次序不影響估計(jì)結(jié)果。(3)在分析實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生一種誤解，以為采用工具變量法是將原模型中的隨機(jī)解釋變量換成了工具變量，即改變了原來的模型。 實(shí)際上，從上面的一元線性回歸模型的例子可以看出，工具變量法并沒有

30、改變原模型，只是在原模型的參數(shù)估計(jì)過程中用了工具變量來代替隨機(jī)解釋變量。(4)如果一個(gè)隨機(jī)解釋變量可以找到多個(gè)相互獨(dú)立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義距方法(Generalizal Method of Moments, GMM) 。 GMMi近年來計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論方法發(fā)展的重要方向之一，工具變量法是GMM勺一個(gè)特例，同樣 OLS法也可以稱為是工具變量法的特例。4)工具變量的選擇方法在實(shí)際應(yīng)用中，要找到與隨機(jī)干擾項(xiàng)不相關(guān)而又與隨機(jī)解釋變量相關(guān)的工具變量并不 是一件很容易的事，這里介紹三種統(tǒng)計(jì)中常用的分組法來選取工具變量。對于一元線性回歸模型YiXi 口,i 12 n(7

31、.5.13 )若選取Z為X的工具變量，并用Z乘以上式兩邊求和，則有Zi yiZixiyui1由于z和u不相關(guān)，即Cov z,u 0 ,因此有Plim 一 n” b Zixi(7.5.14 )ZiUi 0,則上式可以變?yōu)?7.5.15 )我們可以通過求出 b值，來進(jìn)一步確定工具變量。(1) Wald 法即將解釋變量X從小到大進(jìn)行排列，并以中位數(shù)為界分成兩組，設(shè)Y1,X1,Y2,X2分別為兩組樣本點(diǎn)的重心，則離差形式的斜率的估計(jì)量為(7.5.16 )丫2YX2 X1當(dāng)然,b也可以通過引入工具變量Z求得1 X1 中位數(shù)1否則有Y1Z1Y1Z1(7.5.17 )(2) Bartler建議首先將解釋變量

32、 X分成三組，然后舍去中間組的 n/3個(gè)樣本，此時(shí)估計(jì)量為X3 X1(7.5.18)同樣，b的計(jì)算值也可以通過引入工具變量求得1第三組日 小 其中b的計(jì)算公式同(7.5.17)X1第一組(3) Durbin 法建議將解釋變量的序號作為工具變量，此時(shí)則有Xi(7.5.19 )上述三種方法存在的問題是：前兩種方法與排序有關(guān)，因此，估計(jì)量可能是不一致的,后一種方法當(dāng)隨機(jī)誤差項(xiàng)過大時(shí)，以序號為工具變量肯呢個(gè)會(huì)與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān),從而導(dǎo)致計(jì)量產(chǎn)生誤差。在一般情況下，如果考慮到隨機(jī)解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)的主要來源是由于同期測量誤差引起的，就可以用滯后一期的隨機(jī)解釋變量作為原解釋變量的工具變量。案例操作用例

33、的數(shù)據(jù)來比較最小二乘法和工具變量法的估計(jì)結(jié)果對于國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終消費(fèi)模型Cit 0iYtUt首先采用最小二乘法來估計(jì)模型，結(jié)果如圖所示Dependent Variable: C1 Method: Least Squares Date: 04719/09 Tims: 21:32 Sample: 19751996 Incluided observations: 21VenableCoefficientetd. Errort-StatisHtProb.YU.6730040.002606213.1681o.ccaoC520.541 494,481 316.568S33o.coooR-squared0

34、J995B2h/lean dependentvar14934 05Adjusted R-scijared0.9995608 D dependentvar14473.05S E, of resression303.5092Akaike Into criterion143沏日Sunn squared resid1 750239.Schwarz criterion14Log likelihood-1467705Hannan-Quinn c ri ten14.3EC68F-staiistic45440.65Durbin-Wats on stat0.80te02Pro b(F-statistic)0.000000圖估計(jì)的模型方程為C1 620.64 0.573Y()()R2=上例中證明了國內(nèi)生產(chǎn)總值Y為隨