數(shù)學(xué)模型簡單實(shí)例

1、黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系余吉東黔南民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系余吉東縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)千年來人類對于數(shù)學(xué)的研究縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，數(shù)千年來人類對于數(shù)學(xué)的研究一直是沿著一直是沿著兩個方向進(jìn)行的。兩個方向進(jìn)行的。在在上，探討客觀世界在量的方面的本質(zhì)和規(guī)律，上，探討客觀世界在量的方面的本質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并積累數(shù)學(xué)知識，然后運(yùn)用公理化等方法建構(gòu)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)并積累數(shù)學(xué)知識，然后運(yùn)用公理化等方法建構(gòu)數(shù)學(xué)的理論體系，這是對數(shù)學(xué)科學(xué)自身的研究。理論體系，這是對數(shù)學(xué)科學(xué)自身的研究。在在上，則運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識去解決各門科學(xué)和人類上，則運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識去解決各門科學(xué)和人類社會生產(chǎn)與生活中的問題，這里首先要運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的方社會生產(chǎn)與

2、生活中的問題，這里首先要運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的方法建構(gòu)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法法建構(gòu)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)的理論和方法導(dǎo)出結(jié)果，再返回原問題實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的解決，這是對數(shù)導(dǎo)出結(jié)果，再返回原問題實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的解決，這是對數(shù)學(xué)科學(xué)應(yīng)用的研究。學(xué)科學(xué)應(yīng)用的研究。 “科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”這一重要的科學(xué)論斷被越這一重要的科學(xué)論斷被越來越多的人所接受。來越多的人所接受。在西方國家的國民經(jīng)濟(jì)增長中百分之七十以上依靠新在西方國家的國民經(jīng)濟(jì)增長中百分之七十以上依靠新科學(xué)技術(shù)?？茖W(xué)技術(shù)。我們所處的信息時代的一個重要特點(diǎn)是數(shù)學(xué)的應(yīng)用向我們所處的信息時代的一個重要特點(diǎn)是數(shù)學(xué)的

3、應(yīng)用向一切領(lǐng)域滲透，高科技與數(shù)學(xué)的關(guān)系日益密切，產(chǎn)生了許一切領(lǐng)域滲透，高科技與數(shù)學(xué)的關(guān)系日益密切，產(chǎn)生了許多與數(shù)學(xué)相結(jié)合的新學(xué)科，如數(shù)學(xué)化學(xué)、數(shù)學(xué)生物學(xué)、數(shù)多與數(shù)學(xué)相結(jié)合的新學(xué)科，如數(shù)學(xué)化學(xué)、數(shù)學(xué)生物學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會科學(xué)等等。學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會科學(xué)等等。當(dāng)今社會日益數(shù)學(xué)化，一些有遠(yuǎn)見的科學(xué)家就曾深刻當(dāng)今社會日益數(shù)學(xué)化，一些有遠(yuǎn)見的科學(xué)家就曾深刻指出：指出：“信息時代高科技的競爭本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競信息時代高科技的競爭本質(zhì)上是數(shù)學(xué)的競爭。爭?！薄啊薄爱?dāng)今如此受到稱頌的當(dāng)今如此受到稱頌的高技術(shù)高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)學(xué)技術(shù)”?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化是當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個主要趨向，它已科學(xué)的

4、數(shù)學(xué)化是當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個主要趨向，它已經(jīng)在不同的程度上涉及一切科學(xué)領(lǐng)域和人類活動的各個方經(jīng)在不同的程度上涉及一切科學(xué)領(lǐng)域和人類活動的各個方面。面。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)結(jié)其他非數(shù)學(xué)科學(xué)的中介和橋數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)聯(lián)結(jié)其他非數(shù)學(xué)科學(xué)的中介和橋梁，它不僅是對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述，而且是對實(shí)際問題梁，它不僅是對實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述，而且是對實(shí)際問題進(jìn)行理論分析和科學(xué)研究的有力工具。進(jìn)行理論分析和科學(xué)研究的有力工具。因此，建立數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模是發(fā)展科學(xué)和解決實(shí)因此，建立數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模是發(fā)展科學(xué)和解決實(shí)際問題首先需要解決的關(guān)鍵課題，其內(nèi)容十分豐富、廣泛，際問題首先需要解決的關(guān)鍵課題，其內(nèi)容十分豐富、廣

5、泛，目前已發(fā)展為一門新學(xué)科。目前已發(fā)展為一門新學(xué)科。 從包湯圓（餃子）說起從包湯圓（餃子）說起殺羊方案殺羊方案相遇問題相遇問題測量電阻測量電阻比賽場次比賽場次氣象預(yù)報問題氣象預(yù)報問題黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久磚塊延伸磚塊延伸尋找黑匣子尋找黑匣子艦艇的會合艦艇的會合價格競爭價格競爭遺傳模型遺傳模型通常，1公斤面， 1公斤餡，包100個湯圓（餃子） 今天，1公斤面不變，餡比 1公斤多了，問應(yīng)多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？問題問題圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓。若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為v。V和 nv 哪個大?SsssVvvv(共n個)從包湯圓（餃子）說起從包湯

6、圓（餃子）說起定性分析定性分析V比 nv大多少?定量分析定量分析從包湯圓（餃子）說起從包湯圓（餃子）說起假設(shè)假設(shè)1. 皮的厚度一樣2. 湯圓(餃子) 的形狀一樣 模型模型應(yīng)用應(yīng)用若若100100個湯圓（餃子）包個湯圓（餃子）包1 1公斤餡公斤餡, ,則則5050個湯圓個湯圓( (餃子餃子) ) 可以包可以包 公斤餡公斤餡R 大皮 的半徑；r 小皮的半徑3221,RkVRkS3221,rkvrksnsS nvnvnV)(2/3kSV 2/3ksvvnV2/3V是 nv是 倍n1.41.4返回問題殺羊方案問題殺羊方案 現(xiàn)有現(xiàn)有26只羊，要求只羊，要求7天殺完且每天必須殺奇數(shù)只，天殺完且每天必須殺奇

7、數(shù)只，問各天分別殺幾只？問各天分別殺幾只？分析：分析：1). 這是一個有限問題，解決此類問題的一這是一個有限問題，解決此類問題的一類方法是枚舉，你可以試試。類方法是枚舉，你可以試試。2). 依題意，設(shè)第依題意，設(shè)第i天殺天殺)( 12為自然數(shù)iikk 只，只，則所提問題變?yōu)樵谧匀粩?shù)集上求解方程則所提問題變?yōu)樵谧匀粩?shù)集上求解方程7126)12(iik于是，我們有了該問題的數(shù)學(xué)語言表達(dá)于是，我們有了該問題的數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型求解：求解：建模：建模：用反證法容易證明本問題的解不存在。用反證法容易證明本問題的解不存在。返回 例例 某人平時下班總是按預(yù)定時間到達(dá)某處，然某人平時下班總是按預(yù)定時

8、間到達(dá)某處，然然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早然后他妻子開車接他回家。有一天，他比平時提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時比平時提前了十分鐘到家，問此人共步行了多長時間？間？ 似乎條件不夠哦似乎條件不夠哦 。 換一種想法，問題就迎換一種想法，問題就迎刃而解了。假如他的妻子遇刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開往會合地到他后仍載著他開往會合地點(diǎn)，那么這一天他就不會提點(diǎn)，那么這一天他就不會提前回家

9、了。提前的十分鐘時前回家了。提前的十分鐘時間從何而來？間從何而來？ 顯然是由于節(jié)省了從顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)，又從會合相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)，又從會合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需故，故由相遇點(diǎn)到會合點(diǎn)需開開5分鐘。而此人提前了三分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會合點(diǎn)，故相遇十分鐘到達(dá)會合點(diǎn)，故相遇時他已步行了二十五分鐘。時他已步行了二十五分鐘。 ？例例 某人第一天由某人第一天由 A A地去地去B B地，第二天由地，第二天由 B B地沿原路返回地沿原路返回 A A 地。問：在什么條件下，地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天可以保證

10、途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達(dá)該地。中的同一時間到達(dá)該地。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由一天由B B去去A A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。達(dá)時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。 （請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明）（請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明） 例例 某人早某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上時從山下旅店出發(fā)沿

11、一條路徑上山，下午山，下午5時到達(dá)山頂并留宿，次日早時到達(dá)山頂并留宿，次日早8時沿同一時沿同一路徑下山，下午路徑下山，下午5時回到旅店，則這人在兩天中的時回到旅店，則這人在兩天中的同一時刻經(jīng)過途中的同同一時刻經(jīng)過途中的同地點(diǎn)，為什么地點(diǎn)，為什么? 解法一：解法一： 將兩天看作一天，一人兩天的運(yùn)動看作一天將兩天看作一天，一人兩天的運(yùn)動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運(yùn)功，兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運(yùn)功，因?yàn)閮扇送瑫r出發(fā)，同時到達(dá)目的地，又沿向一因?yàn)閮扇送瑫r出發(fā)，同時到達(dá)目的地，又沿向一路徑反向運(yùn)動，所以必在中間某一時刻路徑反向運(yùn)動，所以必在中間某一時刻t兩人相遇，兩人相

12、遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點(diǎn)。一地點(diǎn)。 解法二：以時間解法二：以時間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)木€從山下旅店到山頂?shù)穆烦搪烦蘹為縱坐標(biāo)，從山為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨橄碌缴巾數(shù)目偮烦虨閐;嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證：令令 思考題：思考題：有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都有一邊界形狀任意的蛋糕，兄妹倆都想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)想吃，妹妹指著蛋糕上的一點(diǎn)P，讓哥哥過點(diǎn)，讓哥哥過點(diǎn)P切切開一人一半，能辦到嗎開一人一半，能辦到嗎?返回 例例 在一摩天大樓里有三根電線從底層控制室在一摩天大樓里

13、有三根電線從底層控制室通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有通向頂樓，但由于三根電線各處的轉(zhuǎn)彎不同而有長短，因此三根電線的長度均未知。現(xiàn)在工人師長短，因此三根電線的長度均未知?，F(xiàn)在工人師傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電傅為了在頂樓安裝電氣設(shè)備，需要知道這三根電線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻線的電阻。如何測量出這三根電線的電阻? 由三元一次線性方程組解出由三元一次線性方程組解出x,y,z即得三根電即得三根電線的電阻。線的電阻。 說明：此問題的難點(diǎn)也是可貴之處是用方程說明：此問題的難點(diǎn)也是可貴之處是用方程“觀點(diǎn)觀點(diǎn)”、”立場立場”去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使去分析，用活的數(shù)學(xué)思想使

14、實(shí)際問題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。實(shí)際問題轉(zhuǎn)到新創(chuàng)設(shè)的情景中去。返回例37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支 球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束。問共需進(jìn)行多少場比賽？36112591812224210218236一般思維：逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊(duì)，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊(duì)，因此比賽進(jìn)行了36場。返回 例氣象預(yù)報問題例氣象預(yù)報問題 在氣象臺在氣象臺A的正西方向的正西方向300 km處有一臺風(fēng)中處有一臺風(fēng)中心，它以心，它以40 km/h的速度向東北方向移動；根據(jù)臺的速度向東北方向移動；根據(jù)臺風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心風(fēng)的強(qiáng)度，在距其中心250 km以內(nèi)的地方將受到

15、以內(nèi)的地方將受到影響，問多長時間后氣象臺所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)影響，問多長時間后氣象臺所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響的影響?持續(xù)時間多長持續(xù)時間多長?此問題是某氣象臺所遇到的實(shí)際問題，為了此問題是某氣象臺所遇到的實(shí)際問題，為了搞好氣象預(yù)報，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。搞好氣象預(yù)報，現(xiàn)建立解析幾何模型加以探討。以氣象臺以氣象臺A為坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平而直角坐標(biāo)原點(diǎn)建立平而直角坐標(biāo)系，設(shè)臺風(fēng)中心為系，設(shè)臺風(fēng)中心為B，如圖如圖 根據(jù)題意，根據(jù)題意，A點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為(-300，0)，單位為單位為km臺風(fēng)中心的運(yùn)動軌跡為直臺風(fēng)中心的運(yùn)動軌跡為直線線BC，這里的，這里的CBA450，當(dāng)臺風(fēng)，當(dāng)臺風(fēng)中心在運(yùn)動過

16、程中處于以中心在運(yùn)動過程中處于以A為圓心、為圓心、半徑為半徑為250 km的圓內(nèi)的圓內(nèi)(即即MN上上)時，時，氣象臺氣象臺A所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響。所在地區(qū)將遭受臺風(fēng)的影響。因?yàn)閳A的方程為：因?yàn)閳A的方程為：直線直線BC的方程為：的方程為：其中參數(shù)其中參數(shù)t為時間為時間(單單位為位為h)。當(dāng)臺風(fēng)中心處于圓內(nèi)時，有：當(dāng)臺風(fēng)中心處于圓內(nèi)時，有：解得解得 所以，大約在所以，大約在2h以后氣象臺以后氣象臺A所在地區(qū)將會所在地區(qū)將會遭受臺風(fēng)的影響，持續(xù)時間大約為遭受臺風(fēng)的影響，持續(xù)時間大約為66h。返回例例 交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時，有一個過渡狀態(tài)一個過渡狀態(tài)亮一段時間的黃燈

17、。亮一段時間的黃燈。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。請分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。 設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請立即停車。停車是需要時間的，在請立即停車。停車是需要時間的，在這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段這段時間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離距離 L。這就是說，在離街口距離為。這就是說，在離街口距離為 L處存在著一條停車線（盡管它沒被畫處存在著一條停車線（盡管它沒被畫在地上），見圖。對于那些黃燈亮?xí)r在地上），見圖。對于那些黃燈亮?xí)r已過線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保

18、證它們?nèi)阅芤堰^線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^馬路。穿過馬路。 DL 馬路的寬度馬路的寬度 D是容易測得是容易測得 的，問題的關(guān)鍵在的，問題的關(guān)鍵在 于于L的的確定。為確定確定。為確定 L，還應(yīng)當(dāng)將，還應(yīng)當(dāng)將 L劃分為兩段：劃分為兩段：L1和和L2。 其中其中 L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時間內(nèi)駛過的路程時間內(nèi)駛過的路程 ，L2為剎車制動后車輛駛過的路程。為剎車制動后車輛駛過的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間較容易計(jì)算，交通部門對司機(jī)的平均反應(yīng)時間 t1早有早有測算，反應(yīng)時間過長將考不出駕照），而此街道的行駛速測算，反應(yīng)時間

19、過長將考不出駕照），而此街道的行駛速度度 v 也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，也是交管部門早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而可另建模型研究，從而 L1=v*t1。剎車距離。剎車距離 L2既可用曲既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來 （ 留留作習(xí)題）作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出第一步，先計(jì)算出 L應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)應(yīng)多大才能使看見黃燈的司機(jī)停得住車。停得住車。第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已過線第二步，黃燈亮的時間應(yīng)當(dāng)讓已

20、過線的車順利穿過馬路，的車順利穿過馬路，即即T 至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到 （L+D）/v。 DL返回例例 將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外將形狀質(zhì)量相同的磚塊一一向右往外疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可疊放，欲盡可能地延伸到遠(yuǎn)方，問最遠(yuǎn)可以延伸多大距離。以延伸多大距離。設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與重量均設(shè)磚塊是均質(zhì)的，長度與重量均 為為1 1，其，其 重重心在中點(diǎn)心在中點(diǎn)1/21/2磚長處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。磚長處，現(xiàn)用歸納法推導(dǎo)。 Zn(n1)n(n1)由第由第 n塊磚受到的兩個力的力矩相等，有：塊磚受到的兩個力的力矩相等，有： 1/2-Zn= (n1) Zn故故Zn =1/(2n)，從而上面，

21、從而上面 n塊磚向右推出的塊磚向右推出的總距離為總距離為 ，nkk121112121,時nnknkn 返回例例 飛機(jī)失事時，黑匣子會自動打開，飛機(jī)失事時，黑匣子會自動打開，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，發(fā)射出某種射線。為了搞清失事原因，人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的人們必須盡快找回匣子。確定黑匣子的位置，必須確定其所在的方向和距離，位置，必須確定其所在的方向和距離，試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子的方法。由于要試設(shè)計(jì)一些尋找黑匣子的方法。由于要確定兩個參數(shù)，至少要用儀器檢測兩次，確定兩個參數(shù)，至少要用儀器檢測兩次，除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。除非你事先知道黑匣子發(fā)射射線的強(qiáng)度。方法一方法一

22、點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的點(diǎn)光源發(fā)出的射線在各點(diǎn)處的照度與其到點(diǎn)光源的 距離距離的平方成反比，即的平方成反比，即 2k/dI 黑匣子所在黑匣子所在 方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定方向很容易確定，關(guān)鍵在于確定 距離距離 。設(shè)在設(shè)在同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為同一方向不同位置檢測了兩次，測得的照度分別為I1和和I2，兩測量點(diǎn)間的距離為兩測量點(diǎn)間的距離為 a，則有，則有22212)(/dadadkdkII112/IIad方法二方法二在方法一中，兩檢測點(diǎn)與黑匣子在方法一中，兩檢測點(diǎn)與黑匣子 位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易位于一直線上，這一點(diǎn)比較容易 做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對

23、照度測做到，主要缺點(diǎn)是結(jié)果對照度測 量的精度要求較高，很少的誤差會造成結(jié)果的很量的精度要求較高，很少的誤差會造成結(jié)果的很大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在大變化，即敏感性很強(qiáng)，現(xiàn)提出另一方法，在 A A點(diǎn)測得黑匣子方向后點(diǎn)測得黑匣子方向后 ，到，到B B點(diǎn)再測方向點(diǎn)再測方向 ，AB AB 距距離為離為a ，BACBAC= =，ABCABC= =，利用正弦定理得，利用正弦定理得出出 d = = asinsin/sin (/sin (+ +) ) 。需要指出的是，當(dāng)。需要指出的是，當(dāng)黑匣子位于較遠(yuǎn)處而黑匣子位于較遠(yuǎn)處而 又較小時，又較小時，+ +可能非可能非常接近常接近（ACBACB接近于接

24、近于0 0），而），而sinsin（+ +）又）又恰好位于分母上，因而對結(jié)果的精確性影響也會恰好位于分母上，因而對結(jié)果的精確性影響也會很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使很大，為了使結(jié)果較好，應(yīng)使a也相對較大。也相對較大。BACa返回 艦艦艇的會合艇的會合某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。才能與航母匯合。12,11222aabrbaah令：令：則上

25、式可簡記成則上式可簡記成 ： 222rh-yx)(A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母航母 護(hù)衛(wèi)艦護(hù)衛(wèi)艦 1 2 )()(22222b-yx a byx即：即：22222222) 1(411ababaayx可化為：可化為：記記v2/ v1=a通常通常a1 222|AP|a|BP|則則匯合點(diǎn)匯合點(diǎn) p必位于此圓上。必位于此圓上。 bxy)(tan1（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）bxy)(tan2（航母的路線方程（航母的路線方程 ）即可求出即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)和2 的值。的值。本模型雖簡單，但分析本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用 返回價格競

26、爭價格競爭 問題：兩個加油站位于同一條公路旁，為在公路上問題：兩個加油站位于同一條公路旁，為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油，彼此競爭激烈一天，甲行駛的汽車提供同樣的汽油，彼此競爭激烈一天，甲加油站推出加油站推出“降價銷售降價銷售”吸引顧客結(jié)果造成乙加油站吸引顧客結(jié)果造成乙加油站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利利潤是受銷價和銷的顧客被拉走，影響了乙站的贏利利潤是受銷價和銷售量的影響和控制他們?yōu)榱送旎負(fù)p失采取對策，決定售量的影響和控制他們?yōu)榱送旎負(fù)p失采取對策，決定也降低銷售價以爭取顧客乙加油站如何決定汽油的價也降低銷售價以爭取顧客乙加油站如何決定汽油的價格，既可以同甲站競爭，又可以獲取盡可能高的利

27、潤格，既可以同甲站競爭，又可以獲取盡可能高的利潤 分析：在這場分析：在這場“價格戰(zhàn)價格戰(zhàn)”中，我們將站在乙加油站中，我們將站在乙加油站的立場上為其制定價格對策因此需要組建一個模型來的立場上為其制定價格對策因此需要組建一個模型來描述甲站汽油價格下調(diào)后乙加油站銷售量的變化情況描述甲站汽油價格下調(diào)后乙加油站銷售量的變化情況 為描述價格和汽油銷售量之間的關(guān)系，我們引入如下為描述價格和汽油銷售量之間的關(guān)系，我們引入如下一些指標(biāo)：一些指標(biāo)： 影響乙加油站汽油銷售量的因素影響乙加油站汽油銷售量的因素 (1)甲加油站汽油降價的幅度；甲加油站汽油降價的幅度； (2)乙加油站汽油降價的幅度；乙加油站汽油降價的幅度

28、； (3)兩站之間汽油銷售價格之差兩站之間汽油銷售價格之差 在這場在這場“價格戰(zhàn)價格戰(zhàn)”中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價格中，我們假設(shè)汽油的正常銷售價格保持定常不變，并且假定保持定常不變，并且假定于是乙加油站的汽油銷售量可以由下于是乙加油站的汽油銷售量可以由下式給出式給出返回遺傳模型遺傳模型 1問題分析問題分析 所謂常染色體遺傳，是指后代從每個親體的所謂常染色體遺傳，是指后代從每個親體的基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型基因中各繼承一個基因從而形成自己的基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和和B控控制的，那么就有三種可能的基因型：制的，那么就有三種可能的

29、基因型：AA，AB和和BB. 例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它開花例如，金魚草是由兩個遺傳基因決定它開花的顏色，的顏色，AA型開型開花，花，AB型的開型的開花，而花，而BB型型的開的開花花.這里的這里的AA型和型和AB型表示了同一外部特征型表示了同一外部特征(紅紅色色)，則人們認(rèn)為基因，則人們認(rèn)為基因A支配基因支配基因B，也說成基因，也說成基因B對于對于A是隱性的是隱性的.當(dāng)一個親體的基因型為當(dāng)一個親體的基因型為ABAB，另一個親體，另一個親體的基因型為的基因型為BBBB，那么后代便可從，那么后代便可從BBBB型中得到型中得到基因基因B B，從，從ABAB型中得到型中得到A A或或B B，且

30、是等可能性地，且是等可能性地得到得到. .：某植物園中一種植物的基因型為：某植物園中一種植物的基因型為AAAA，ABAB和和BBBB. .現(xiàn)計(jì)劃采用現(xiàn)計(jì)劃采用與與相結(jié)合的方案培育植物后代。相結(jié)合的方案培育植物后代。試預(yù)測，若干年后，這種植物的任一代試預(yù)測，若干年后，這種植物的任一代的三種基因型分布情況的三種基因型分布情況. . 2 2模型假設(shè)模型假設(shè)（1 1）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基）按問題分析，后代從上一代親體中繼承基因因A A或或B B是等可能的是等可能的, ,即有雙親基因型的所有可能結(jié)即有雙親基因型的所有可能結(jié)合使其后代形成每種基因型的概率分布情況如表合使其后代形成每種基因型

31、的概率分布情況如表 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21n( n )nnaxb,c0 1 2n, , , 3 3模型建立模型建立 注意到原問題是采用注意到原問題是采用AAAA型與每種基因型相結(jié)合，因此型與每種基因型相結(jié)合，因此這里只考慮遺傳分布表的前三列這里只考慮遺傳分布表的前三列. . 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上一代父-母基因型（母基因型（n-1代）代）AA-AAAA-ABAA-BBAB-ABAB-BBBB-BBAA11/201/400AB01/211/21/20BB0001/41/21首先考慮第首先考慮第n n代中的代中的AAAA型型 即第即第n-n-1 1代的代的AAAA與與AAAA型結(jié)合全部進(jìn)入第型結(jié)合全部進(jìn)入第n n代的代的AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的ABAB型與型與AAAA型結(jié)合只有一半進(jìn)入第型結(jié)合只有一半進(jìn)入第n n代代AAAA型，第型，第n n-1-1代的代的BBBB型與型與AAAA型結(jié)合沒有一個成為型結(jié)合沒有一個成為AAAA型而進(jìn)入第型而進(jìn)入第n n代代AAAA型型 下一代下一代基因型基因型（n代）代）上一代父上