初等數(shù)論第一章第5節(jié)-最小公倍數(shù)

1、2021/8/61第五節(jié) 最小公倍數(shù)2021/8/62定義 1212121212,.nnnnna aaa aaa aaa aaa aa整數(shù)的公共倍數(shù)稱為的公倍數(shù)的正公倍數(shù)中的最小的一個叫做的最小公倍數(shù)記為2021/8/63定理11212(1) ,1 |, , |;(2) , , ;(3),|,|,|;(4)| , , |.nnaaa aaa bb aa aaaaaa ba bb若則2021/8/64:(1),(2);證明顯然2021/8/6511221211211212(3),|,|,|,|,|.|,;nniima aamaaaamammmmmmm設則由推出即同理可得故2021/8/66(4)

2、|, |,|, |,0,|, , |.a b b ba m b m mbma bb 顯然又若則故有2021/8/67定理2, , , .( , )aba ba ba b對任意正整數(shù)有2021/8/68121212111:,.( , )( , )(,)1,( , ) ( , )( , ),(),.( , )( , ),( , ),( , )1,mabmak mbkabakbkkka ba babbka ba ba bbabkt tmakta ba btabmtmaba bababmta bt 證明 設 是 和 的一個公倍數(shù) 則于是即是整數(shù) 從而另一方面 對于任意的整數(shù)由所確定的 顯然是 與 的公

3、倍數(shù)因此 與 的公倍數(shù)必是的形式當時 得到最小公 , .( , )aba ba b倍數(shù)2021/8/69推論1 兩個整數(shù)的任何公倍數(shù)可以被它們的最小公倍數(shù)整除. 2021/8/610:,( , )1,.abmtaba bt證明是 與 的公倍數(shù)的形式且時 是最小公倍數(shù)結論成立2021/8/611推論2, , , .m a bma mbm a b設是正整數(shù) 則2021/8/6122:,(,) , .( , )( , )ma mbma mbma mbm abmabm a bm a ba b證明2021/8/613定理312122233-2-1-1-112,(2),.nnnnnnnnna aan na

4、 amm ammammama aam若是個正整數(shù)記則2021/8/614122233-111212121223312:,2,3,1,2,3, ,;,21,21.,.,nnniiiinnnnnna amm ammamm mina m a m inma aama aaa m a mm ma mm mm mmmma aa證明 由知且故是的一個公倍數(shù)反之 設 是的任一公倍數(shù) 則故由定理 推論又同樣由定理 推論 得依此類推 最后可得因此故.n2021/8/615例題1525,231.求2221,391,136.求2021/8/616525 231525 231:525,2315775.(525,231)

5、211解2021/8/617:221,391,136221,391,136221 3915083 136,1365083,13640664.(221,391)(5083,136)2解2021/8/618 3.求正整數(shù)a,b,使得a+b=120,(a,b)=24,a,b=144.2021/8/619 3.ab=(a,b)a,b=24144=3456,又a+b=120,a=48,b=72或a=72,b=48. 2021/8/6204, , , , (,).a b ca b c ab bc caabc例 設是正整數(shù)則2021/8/621:3, , , , , , , ,( , ) , , , , ,

6、 ,( , , )(,)(,(,)(, ( , )( , ,)( , , )(,), , , , .aba b ca b ca ba ba b ca b ca b ca b cab bc caab bc caab c a babcab a b abcab a b caba ba ba b證明 由定理 知又又以上兩式相乘可知結論成立2021/8/622( , ): , , , , , ( , )(, )( , ).(,( , ) )(,)(,)abcaba ba b ca b ccaba bca babcabcabcab a b cab ac bcab bc ca另證2021/8/623 例5

7、設a,b是正整數(shù),證明(a+b)a,b=ab,a+b.2021/8/624():() , (),( , )( , )() ,( ,),( ,)( , ),() ,( , ),() ,( , )abb abab a babaa ba bb abb ab b abb aba bb abb ab a bb abb aba b證明而即結論成立2021/8/625思考問題1 , , :( , )( , )( , )1.a b cabca bb cc a的充要條件是2(0),(,). , m mmm ma baba b設是的公倍數(shù) 則3( , )1,(,)1.a bab ab若則2021/8/626 4.

8、判斷下列結論是否成立.22232222(1)( , )( , ), , , ;(2)( , )( , ),( , , )( , );(3)| ,|,| ;(4)|,| ;(5)(,)(,);(6)( , , )( , ),( , ).a ba ca ba ca ba ca b ca bd a d abd baba baab ba ba b ca ba c若則若則若則若則2021/8/627 5.給出四個整數(shù),它們的最大公約數(shù)是1,但任何三個數(shù)都不既約.2021/8/628-16,:(1)|,1,2,1;(2),|;(3)( , )1,|1.jppppp cjpa p aaa pp a設 是素數(shù)

9、 證明對任意正整數(shù)若則2021/8/6291:( , )( , )( , )1,(,)(,),)( ( , ),)( ,)1,3, , , .(,) , , ,3(,)1,( , )1,(,)(,( , ) )(,)(, )1,( , )1,a bb cc aab bc caab bc cab a c cab caabca b cab bc caa b cabcab bc caa bdab bc caab b a cab dcab dda b證明 若則由第 題得若由第 題得假設則產生矛盾 故同( , )1,( , )1.b cc a理可得2021/8/6302:(,)(,)( , ),( ,

10、)(,). , m mabmb mam a babm ma bmmababa b證明 因為所以2021/8/6313:( , )1,( ,)1,( ,)1,(,)1.a ba abb abab ab證明 由得同樣所以2021/8/632 4.(1)不成立.如a=b=1,c=2; (2)成立; (3)不成立.如d=4,a=4,b=2; (4)不成立.如a=8,b=4; (5)成立; (6)成立.2021/8/6332 3 530,2 3 742,2 5 770,3 5 7105. 2021/8/634!18:(1),!(- )!(- )!|!.,!(- )!|(-1)!|;jpjppcjpjjpjppjpjpp c證明是整數(shù)又 為素數(shù)2021/8/635111111(2).11,.2,|.1,(1)(1)11(),|,1,2,1,|,|(1)(1).1. 1 ,2,|;ppppppppppppjppppaanp nnannnnc ncnnnnc ncnp cjpp nnpnnanap aa 用數(shù)學歸納法當時 結論成立假設當時 結論成立 即則當時且即時結論成立由知 對于任意正整數(shù)有2021/8/636-1-1(3)|,| (-1),( , )1,|1.pppp a