201x年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題八數(shù)學(xué)思想方法與高考數(shù)學(xué)文化第2講分類討論思想轉(zhuǎn)化與化歸思想文

1、第第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學(xué)思想解讀1.分類討論的思想是當(dāng)問題的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究的對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答.實(shí)質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個(gè)擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，思維受阻或?qū)で蠛?jiǎn)單方法或從一種狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時(shí)也是獲取成功的思維方式.探究提高1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時(shí)，應(yīng)分0a1兩種

2、情況討論.2.利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，若公比q的大小不確定，應(yīng)分q1和q1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式?jīng)Q定的. 解析(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，解得a12.因?yàn)镾n2an2，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12，兩式相減得，an2an2an1，即an2an1，則數(shù)列an為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則S5S4a52532.探究提高1.圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論.2.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論. 應(yīng)用3由變量或參數(shù)引起的分類討論【例3】已知f(x)xaex(a

3、R，e為自然對(duì)數(shù)的底).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)e2x對(duì)xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f(x)1aex，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)是(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得xln a，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上的單調(diào)遞增，在(ln a，)上的單調(diào)遞減. 探究提高1.(1)參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.本題中參數(shù)a與自變量x的取值影響導(dǎo)數(shù)的符號(hào)應(yīng)進(jìn)行討論.(2)解析幾何中直線點(diǎn)斜式、斜截式方程要考慮斜率k存在或不存在，涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系要進(jìn)行討論.2.分類討論要標(biāo)準(zhǔn)明確、統(tǒng)一，層次

4、分明，分類要做到“不重不漏”.【訓(xùn)練3】(2015全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍.探究提高1.一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡(jiǎn)單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達(dá)到成批處理問題的效果.2.對(duì)于某些選擇題、填空題，如果結(jié)論唯一或題目提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的量用特殊值代替，即可得到答案.應(yīng)用2函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化【例5】已知函數(shù)f(x)3e|x|，若存在實(shí)數(shù)t1，)，使得對(duì)任意的x1，m，mZ且m1，都有f(xt)3ex，

5、試求m的最大值.解當(dāng)t1，)且x1，m時(shí)，xt0，f(xt)3exextext1ln xx.原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為：存在實(shí)數(shù)t1，)，使得不等式t1ln xx對(duì)任意x1，m恒成立.令h(x)1ln xx(1xm). 探究提高1.函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助.2.解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡(jiǎn)，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍.探究提高1.第(1)題是正與反的轉(zhuǎn)化，由于不為單調(diào)函數(shù)有多種情況，先求出其反面，體現(xiàn)“正難則反”的原則.題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對(duì)

6、很少，從后面考慮較簡(jiǎn)單，因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中.2.第(2)題是把關(guān)于x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為在0，4內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看作是“主元”，而把其它變?cè)醋魇菂?shù).【訓(xùn)練6】已知函數(shù)f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)(x)0，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_.1.分類討論思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略.對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件

7、，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思想，降低問題難度.常見的分類討論問題： (1)集合：注意集合中空集 討論.(2)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a1和0a1的討論，函數(shù)yax2bxc有時(shí)候分a0和a0的討論，對(duì)稱軸位置的討論，判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n1和n1的討論；等比數(shù)列中分公比q1和q1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論.(7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b0和b0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論.(8)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等.2.轉(zhuǎn)化與化歸思