安徽大學(xué)期末試卷量子力學(xué)習(xí)題

1、量子力學(xué)試題1 . 1924年，德布洛意提出物質(zhì)波概念，認(rèn)為任何實物粒子，如 電子、質(zhì)子等，也具有波動性，對于具有一定動量p的自由粒子，滿足德布洛意關(guān)系：2 .假設(shè)電子由靜止被150伏電壓加速，求加速后電子的的物質(zhì)波波長：3 .計算1K時，C60團簇(由60個C原子構(gòu)成的足球狀分子)熱運動所對應(yīng)的物質(zhì)波波長4 .計算對易式?x, f (x)和x, f (?x),其中？x為動量算符的X分量, f(x)為坐標(biāo)的x函數(shù).5 .如果算符？、？滿足關(guān)系式？ ？ 1 ,求證(1) ?2?2? 2?(2) ?3 ?3? 3?26 .設(shè)波函數(shù)(x) sinx,求(且x2x2?dxdx7 .求角動量能量算符？z

2、i 的本證值和本征態(tài)8 .試求算符F? ieix旦的本征函數(shù)dx9 .證明一維束縛定態(tài)方程的能量E是非簡弁的10 .在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：U( x) U(x),證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱11 . 一粒子在一維勢場U(x)0,中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)12 .設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)為2 ,1(x) Asin kx 1 coskx求此時粒子的動量期望值和動能期望值13 . 一維運動粒子的狀態(tài)是Axe (x)0,x,當(dāng) x 0當(dāng)x 0其中 0,求:(1)粒子動量的幾率分布函數(shù);(2)粒子的動量期望值。14 .在一維無限深勢阱中運動的粒子，勢阱的寬度為子的狀態(tài)由波函數(shù)

3、(x) Ax(a x)描寫，A為歸一化常數(shù),求粒子的幾率分布和能量的期望值15 .設(shè)粒子處于范圍在0,a的一維無限深勢阱中狀態(tài)用函數(shù)(x)4 sin xcosa a2 _X a,求粒子能量的可能測量值及相應(yīng)的幾率16.設(shè)氫原子處在(r,1)a03er/ao的態(tài)(a為第一玻爾軌道半(1) r的平均值;2勢能之的平均值r17 .質(zhì)量為m的一個粒子在邊長為a的立方盒子中運動，粒子所受勢能V(x, y,z)由下式給出:0, x 0,a ; y 0, a ; z 0, a V(x,y,z),others試寫出定態(tài)薛定謂方程，弁求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；12218 .氫原子處于態(tài)r, ,7%工Rd

4、7%丫1中，問333(1) r,是否為能量的本征態(tài)？若是，寫出其本征值。若不是，說明理由；(2)在r,中，測角動量平方的結(jié)果有幾種可能值？相應(yīng)幾率為多少19 .在一維諧振子能量表象中寫出坐標(biāo)x和動量p的矩陣表示20 .在t=0時，自由粒子波函數(shù)為82 sin bx x一x,020 xb(1)給出在該態(tài)中粒子動量的可能測得值及相應(yīng)的幾率振幅;(b)12( 2i)sin2 Px2 bb ( b)2P2(2)求出幾率最大的動量值；px b求出發(fā)現(xiàn)粒子在b b dpx區(qū)間中的幾率； ,21(b) dPx-dPxb21 .設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：E1及E2,現(xiàn)在受到微擾H?的作用，微擾矩陣元為

5、 H12 H21 a, H11 H22 b； a、b都是 實數(shù)。用微擾公式求能量至二級修正值22, 一維無限深勢阱(0 x a)中的粒子受到微擾H (x)2 - ax2 (1 -) a(0 x 1)2a(-x a)2作用，試求基態(tài)能級的一級修正。(2馬23 .具有電荷為q的離子，在其平衡位置附近作一維簡諧振動，在光的照射下發(fā)生躍遷。設(shè)入射光的能量為1( )0其波長較長,求： 原來處于基態(tài)的離子，單位時間內(nèi)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。討論躍遷的選擇定則24 .電荷e的諧振子，在t 0時處于基態(tài)，t 0時處于弱電場oe之中(為常數(shù))，試求諧振子處于第一激發(fā)態(tài)的幾率。25 .質(zhì)量為m的粒子處于位勢V x

6、,y,z0 0 x a,0 ya和0z a其他中。假設(shè)它又經(jīng)受微擾H? bxy,試求第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正。26 .用試探波函數(shù)(x)x /a估計一維諧振子基態(tài)能量和波函數(shù)27 .設(shè)粒子在一維空間中運動， 具哈密頓量為H,它在H0表象中的EoE自 0 ，EE0A.1 1求H的本征值和本征態(tài)；E Eo E, u 2 111E0 E, u 21B.若t=0時，粒子處于1,它在白0表象中的表7K為1 、一。試求0出t 0時的粒子波函數(shù)；10V2工28 . 一個電荷為的一維諧振子受到弱電場的作用，利用微擾理 論求能量至二級修正值弁與其精確結(jié)果比較29 .若S是電子的自旋算符，求(1) xzxyx=? S ?30 .二個自旋二的粒子組成的系統(tǒng)由等效哈密頓算符 2用 A(S1z S2z) BS1 S2描述，其中是二個自旋，S1z,S2z是他們的分量，A, B為常數(shù)，求系統(tǒng)的所有能級31 . 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成？32 .一量子體系的