幾何圖形中地最值問(wèn)題(共10頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上幾何圖形中的最值問(wèn)題引言:最值問(wèn)題可以分為最大值和最小值。在初中包含三個(gè)方面的問(wèn)題:1.函數(shù):二次函數(shù)有最大值和最小值；一次函數(shù)中有取值范圍時(shí)有最大值和最小值。2.不等式: 如x7，最大值是7；如x5，最小值是5.3.幾何圖形： 兩點(diǎn)之間線(xiàn)段線(xiàn)段最短。直線(xiàn)外一點(diǎn)向直線(xiàn)上任一點(diǎn)連線(xiàn)中垂線(xiàn)段最短，在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。一、最小值問(wèn)題例1. 如圖4，已知正方形的邊長(zhǎng)是8，M在DC上，且DM=2，N為線(xiàn)段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，求DN+MN的最小值。解: 作點(diǎn)D關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D/，則點(diǎn)D/與點(diǎn)B重合，連BM,交AC于N，連DN，則DN+MN最短,且DN

2、+MN=BM。 CD=BC=8,DM=2, MC=6,在RtBCM中,BM=10,DN+MN的最小值是10。例2，已知，MN是O直徑上，MN=2,點(diǎn)A在O上，AMN=300,B是弧AN的中點(diǎn)，P是MN上的一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值是 解:作A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A/,連A/B,交MN于P，則PA+PB最短。 連OB，OA/,AMN=300,B是弧AN的中點(diǎn)，BOA/=300, 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知NOA/=600, MOA/=900,在RtA/BO中，OA/=OB=1,A/B= 即PA+PB=例3. 如圖6，已知兩點(diǎn)D(1,-3),E(-1,-4),試在直線(xiàn)y=x上確定一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到D、E兩點(diǎn)的距

3、離之和最小，并求出最小值。解:作點(diǎn)E關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連MD交直線(xiàn)y=x于P，連PE，則PE+PD最短；即PE+PD=MD。E(-1,-4), M(-4,-1),過(guò)M作MNx軸的直線(xiàn)交過(guò)D作DNy軸的直線(xiàn)于N，則MNND, 又D(1,-3),則N(1,-1), 在RtMND中,MN=5,ND=2, MD=。 最小值是。練習(xí)1.（2012山東青島3分）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm【答案】15?！窘狻咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開(kāi)（沿點(diǎn)A豎直剖開(kāi)

4、）后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)交剖開(kāi)線(xiàn)MA于點(diǎn)D。 由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知APPC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且AP=BP。 由已知和矩形的性質(zhì)，得DC=9，BD=12。 在RtBCD中，由勾股定理得。 APPC=BPPC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為15cm。2.正方形ABCD邊長(zhǎng)是4，DAC的平分線(xiàn)交CD與點(diǎn)E，點(diǎn)P,Q分別是AD,AE上的動(dòng)點(diǎn)（兩動(dòng)點(diǎn)不重合），則PQ+DQ的最小值是 解：過(guò)點(diǎn)D作DFAC，垂足為F，則DF即為PQ+DQ的最小值正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，AD=4，DAC=

5、45°，在直角ADF中，AFD=90°，DAF=45°，AD=4，DF=ADsin45°=4×=2故答案為23.（2009陜西）如圖，在銳角ABC中，AB4，BAC45°，BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM MN的最小值是_解:過(guò)B作關(guān)于A(yíng)D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B/,則B/在A(yíng)C上，且AB=AB/=4,MB=MB/,B/MN最短，即為B/H最短。在RtAHB/中，B/AH45°，AB/=4，B/H=4,BM MN的最小值是4.4.如圖，菱形ABCD中，AB=2，A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線(xiàn)

6、段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為 ，解：四邊形ABCD是菱形，ADBC，A=120°，B=180°A=180°120°=60°，作點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，連接P/Q，PC，則P/Q的長(zhǎng)即為PK+QK的最小值，由圖可知， 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，CP/AB時(shí)PK+QK的值最小，在RtBCP/中，BC=AB=2，B=60°，CP/=BCsinB=2×=5. (2012蘭州)如圖，四邊形ABCD中，BAD120°，BD90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則AMNANM

7、的度數(shù)為【 】A130° B120° C110° D100°解：作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，A，連接AA，交BC于M，交CD于N，則AA即為AMN的周長(zhǎng)最小值作DA延長(zhǎng)線(xiàn)AH，EAB120°，HAA60°，AAMAHAA60°，MAAMAA，NADA，且MAAMAAAMN，NADAANM，AMNANMMAAMAANADA2(AAMA)2×60°120°，故選：B6. （2011貴港）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線(xiàn)段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP、G

8、P，則BPG的周長(zhǎng)的最小值是 解：要使PBG的周長(zhǎng)最小，而B(niǎo)G=1一定，只要使BP+PG最短即可，連接AG交EF于M，等邊ABC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，AGBC，EFBC，AGEF，AM=MG，A、G關(guān)于EF對(duì)稱(chēng)，即當(dāng)P和E重合時(shí)，此時(shí)BP+PG最小，即PBG的周長(zhǎng)最小，AP=PG，BP=BE，最小值是：PB+PG+BG=AE+BE+BG=AB+BG=2+1=3故答案為：37.（第二階段十三）在平面直角坐標(biāo)系中，RtOAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（9，0），tanBOA=，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為 解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD

9、交OB于P，連接AP，過(guò)D作DNOA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，RtOAB的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），OA=9，tanBOA=AB=3，B=60°，AOB=30°，OB=2AB=6由三角形面積公式得：SOAB=×OA×AB=×OB×AM，即9×3=6AM，AM=，AD=2×=9，AMB=90°，B=60°，BAM=30°，BAO=90°，OAM=60°，DNOA，NDA=30°，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（2，0），CN=92=，在RtDN

10、C中，由勾股定理得：DC=即PA+PC的最小值是，8.（2013蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtOAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3， ），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ，0），點(diǎn)P為斜邊OB上的一動(dòng)點(diǎn)，則PAC周長(zhǎng)的最小值為（）解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過(guò)D作DNOA于N，則此時(shí)PA+PC的值最小，DP=PA，PA+PC=PD+PC=CD，B（3，），AB=，OA=3，B=60°，由勾股定理得：OB=2，由三角形面積公式得：×OA×AB=×OB×AM，AM=，AD=2×=3，AMB=90°

11、;，B=60°，BAM=30°，BAO=90°，OAM=60°，DNOA，NDA=30°，AN=AD=，由勾股定理得：DN=，C（，0），CN=3=1，在RtDNC中，由勾股定理得：DC=，即PAC周長(zhǎng)的最小值為+，9.（2013徐州模擬.仿真一）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別是（0，0），（20，0）（20，10）。在線(xiàn)段AC、AB上各有一動(dòng)點(diǎn)M、N，則當(dāng)BM+MN為最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（ ）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BNOB于N，BN交AC于M，則BN=BM+MN=BM+MN，BN的長(zhǎng)就是BM

12、+MN的最小值連接OB，交DC于P四邊形ABCD是矩形，DCAB，BAC=PCA，點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，PAC=BAC，PAC=PCA，PA=PC令PA=x，則PC=x，PD=20-x在RtADP中，PA2=PD2+AD2，x2=（20-x）2+102，x=12.5cosBON=cosOPD，ON：OB=DP：OP，ON：20=7.5：12.5，ON=12tanMON=tanOCD，MN：ON=OD：CD，MN：12=10：20，MN=6點(diǎn)M的坐標(biāo)是（12，6）故答案為（12，6）10.如圖，在矩形ABCD中，AB=20,BC=10,在A(yíng)C、AB上各取一點(diǎn)M、N,使得BM+MN有最小值，求

13、最小值。解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B，交AC與E，連接BM，過(guò)B作BGAB于G，交AC于F，由對(duì)稱(chēng)性可知，BM+MN=BM+MNBG，當(dāng)且僅當(dāng)M與F、點(diǎn)N與G重合時(shí)，等號(hào)成立，AC=10，點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，BEAC，SABC=ACBE=ABBC，得BE=4 ，BB=2BE=8因BBG+CBE=ACB+CBE=90°，則BBG=ACB，又BGB=ABC=90°，得BGBABC，BG=16，故BM+MN的最小值是16cm故答案為：16cm11.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是BC、CD邊上的中點(diǎn)，則PM+PN的最小

14、值是解:作點(diǎn)N關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，交AD與N/，連接N/M，則N/M=AB最短。故答案為：MN/=10cm12.（仿真六）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E是BC中點(diǎn)P是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與B、D不重合）（1）求證：APBCPB；（2）設(shè)折線(xiàn)EPC的長(zhǎng)為y，求y的最小值，并說(shuō)明點(diǎn)P此時(shí)的位置解：AE=,BD=2,可證BP=BD,BP=,距B點(diǎn)。13.如圖，ABC是等腰直角三角形，C=900，BC=2，B是三角形的角的平分線(xiàn)，點(diǎn)E、F是BD和BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值解：作C關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C/,過(guò)C/作C/FBC于F，則CE+EF的最小值是C/F。C/FAC，C/F=2, CE+EF

15、的最小值是2.14.如圖，已知梯形ABCD中，ADBC,AD=DC=4,BC=8,N中BC上，CN=2,E是BC的中點(diǎn)，M是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EM+MN的最小值解：作N點(diǎn)關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接NE交AC于MDAC=ACB，DAC=DCA，ACB=DCA，點(diǎn)N關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N在CD上，CN=CN=2，又DC=4，EN為梯形的中位線(xiàn)，EN=（AD+BC）=6，EM+MN最小值為：EN=616.已知等腰梯形ABCD，ADBC,AB=DC,AC平分BCD,BAAC,若AC=4,P、M、N分別是AC、AD、DC上的任意一點(diǎn)，則PM+PN的最小值解：作點(diǎn)N關(guān)于A(yíng)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N/,過(guò)N/作BC的垂線(xiàn)交AD

16、于M,MN/交AC于點(diǎn)P，則MN最短是夾在A(yíng)D與BC間的垂線(xiàn)段最短?？芍狟=600,在RtABC中，AC=4，則AB=4.在RtABH中，AH=sin600×4=×4=2.即PM+PN的最小值是2。二，最大值問(wèn)題知識(shí)點(diǎn):求的最大值；A,B在直線(xiàn)l的同側(cè).A,B在直線(xiàn)l的兩側(cè).1.兩點(diǎn)A,B在直線(xiàn)MN外的同側(cè)，點(diǎn)A到MN的距離AC=8，點(diǎn)B到MN的距離BD=5,CD=4，P在直線(xiàn)MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是 。解：延長(zhǎng)AB交L于點(diǎn)P，P/A-P/B=AB，由三角形三邊關(guān)系可知AB|PA-PB|，AB|PA-PB|，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，|PA-PB|最大，BD=5，CD=4，AC=8，過(guò)點(diǎn)B作BEAC，則BE=CD=4，AE=AC-BD=8-5=3，AB2= AE2+BE2=16+9=25AB=5|PA-PB|=5為最大 故答案為：52.已知在A(yíng)BC中，AB=3,AC=2,以BC為邊的BCP是等邊，求AB的最大值和最小值。解:將PAC繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600得到PBA/,則AA/=AP A/B=AC,APA/=600,可得到等邊三角形AA/P.AB=3,AC=A/B=2,則AA/：AB-A/BAA/AB+A/B即1AA/5,故AP的最大值是5，最小值是1.3.如圖，正方形