完整版微分方程初值問(wèn)題求解matlab試驗(yàn)

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱微分方程初值問(wèn)題求解matlab實(shí)驗(yàn)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名序號(hào)任課教師實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中心評(píng)分一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單問(wèn)題的常微分方程建模。2、 學(xué)習(xí)并理解食餌-捕食者模型；3、 掌握微分方程（組）初值問(wèn)題的 matlab數(shù)值求解；二、實(shí)驗(yàn)要求和結(jié)果1.地中海鯊魚問(wèn)題意大利生物學(xué)家 Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從A次世界大戰(zhàn) 期間，地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見(jiàn)下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？年代191

2、41915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71 .符號(hào)說(shuō)明：Xl（t）食餌在t時(shí)刻的數(shù)量；X2（t）捕食者在t時(shí)刻的數(shù)量；r1 食餌獨(dú)立生存時(shí)的增長(zhǎng)率；r2 捕食者獨(dú)自存在時(shí)的死亡率；A 捕食者掠取食餌的能力；一2 食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力 .e一捕獲能力系數(shù)2 .基本假設(shè)：（1）食餌由于捕食者的存在使增長(zhǎng)率降低，假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比；（2）捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長(zhǎng)，假定增長(zhǎng) 的程度與食餌數(shù)量成正比。3 .模型建立與求解模型（一

3、）不考慮人工捕獲dxz.、=”（1 也）dtdX2，小、一 X2（T2 十九2X1）dt針對(duì)一組具體的數(shù)據(jù)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值求解，畫出食餌和捕食者圖形以及相軌線圖.設(shè)食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為 x1 (0) = x1o , X2(0) = x20對(duì)于數(shù)據(jù)1 =1 '1 =0.1/2 =0.5, 2 =0.02,Xi° = 25,X20 = 2,t的終值經(jīng)試驗(yàn)后確定為15,即模型為：Xx1 X1 (1 - 0.1X2)' x2 = x2 (-0.50.02x1)x1(0) =25,x2(0) =2解：Matlab運(yùn)行首先建立 M文件fun.m如下：functi

4、on dx=fun(t,x)dx=zeros(2,1)dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);然后，輸入以下命令：>>t,x=ode45(' fun ' ,0 15,25 2);>>plot(t,x(:,1),' -' ,t,x(:,2),' *')>>plot(x(:,1),x(:,2)X1(t)和X2(t)的曲線圖如下Q51015100 90 80 70 50 40 30 20 10 0食餌捕食者圖形相軌線y(x)的圖形如下：010203c 版 融

5、 60703000 1g數(shù)值結(jié)果為 t=77*1double, x=77*2double.該模型反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒(méi)有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是最簡(jiǎn)單的模型。食餌的量增加，捕食者也隨之增加；食餌的量減少，捕食者的量也隨之減少?？梢圆孪隭l(t)和X2 都是周期函數(shù)。而且它們的循環(huán)是有一定周期的。模型(二)考慮人工捕獲設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e,相當(dāng)于食餌的自然增長(zhǎng)率由ri降為r1-e ,捕食者的死亡率由r2增為r2+edxiXi(ri -e) -1X2 dt dx2X2-(2 e)2X1dt仍取 r 二1, =0.1,r2 -0.5, 2 =0.

6、02,x1(0) = 25, x2(0) =2設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù) e=0.3,dx1/= X1(0.7-0.1X2) dxo«= x2 (-0.8 +0.02x1)X1(0)=25,X2(0)=2戰(zhàn)爭(zhēng)中降為e=0.1,則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭(zhēng)中的模型分別為dx1dt =x1(0.9-0.1x2) dxo2 =X2(-0.6 0.02X1)dtX1(0) =25,X2(0) =2建立主程序shark1.m,求解兩個(gè)方程，并畫出兩種情況下鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比 例 x2(t)/x1(t)+x2(t)解：先在 matlab中建立 M文件shier1.m:function dx=shier1(t,x)

7、dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);再在 matlab中先建立 M文件shier2.mfunction dx=shier2(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1);然后在matlab中輸入以下命令：>>t,x=ode45('shier1',0 15,25 2);>>plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),'-')>>

8、;t,x=ode45('shier2',0 15,25 2);>>plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),' *')求解結(jié)果：戰(zhàn)前 x=65*2double t=65*1double戰(zhàn)爭(zhēng)中 x=77*2double t=77*1double結(jié)論：戰(zhàn)爭(zhēng)中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高。2.慢跑者與狗一慢跑者在平面上沿著他喜歡的路徑跑步，突然遭到一只狗的攻擊，這只狗以恒定的X =10t速度跑向慢跑者，試計(jì)算狗追趕的軌跡。并就當(dāng)慢跑者沿路徑 ” 二0 或X =10+20cost1y =20+15§討(t為時(shí)間參數(shù)) 跑動(dòng)時(shí)，給出具體的數(shù)值

9、結(jié)果和運(yùn)動(dòng)軌跡圖(狗的初 始位置和速度可以自行設(shè)定)。解：1 .模型建立當(dāng)慢跑者沿路徑2慢跑時(shí)，設(shè)時(shí)刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t),Y(t),狗的坐標(biāo)為(x(t),y(t),狗的速率為 w=20，則X=10+20cos t, Y=20+15sin t, 狗從(0,0)出發(fā)，建立狗的運(yùn)動(dòng)軌跡 的參數(shù)方程：dxdT20(X -x)2 (Y -y)2(X x)20dy dt_20(X -x)2 - (Y -y)2(Y -y)x(0)=0,y(0)=02 .模型求解建立M文件eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-

10、y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)A2+(20+15*sin(t)-y(2)A2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)A2+(20+15*sin(t)-y(2)A2);取t0=0 , tf=10 ,建立主程序 chase2.m如下：t,y=ode45('eq2',0 10,0 0);Y=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(t);Y=20+15*sin(t);plot(X,Y,'-'), hold onplot(y(:,1),y(:,2),'*')得到圖形：QIIJdjJ,1-15-10-505 W 1520253035在chase2.m中，不斷修改tf的值，用二分法分別取t f=5,2.5,3.5,.,至3.15時(shí)，狗剛好追上慢跑者，即如下圖*15 -豪口jJ1Jl-10 -S 051015202530三、思考自然界中不少吃農(nóng)作物的害蟲都有其天敵一一益蟲，也就是以害蟲為食餌的捕食者。因此害蟲和益蟲也構(gòu)