幾何五大模型-匯總

1、小學平面幾何五大模型一、共角定理 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三 角形.共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之 比.如圖在AABC中，分別是AB.AC上的點如圖（或D在3A的延長線上，E 在AC上），貝lj Saabc：Sde= （AB AC） : （AD AE）證明：由三角形面積公式S=1/2*a*b*sinC可推導出 若厶 ABC 和AADE 中，ZBAC=ZDAE 或ZBAC+ZDAE=180° ,S abcAB AC» ABC =S adeAD AE二.等積模型等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它

2、們 的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如下圖s：s“力 夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖SUCD = S/D :反之，如果SACD = SBCD ,則可知直線AB平行于CD 等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平 行四邊形）； 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個平行四邊 形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它 們的高之比.D三、蝶形定理1、任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理”）： S|：S2 二S4：S3 或者 Si SZ 54 AO:OC=（S+S ） :（S+S ）速記：上X下二左X右蝶形定理

3、為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑.通過構(gòu)造模型，一方面 可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系：另一方面，也可以得到與面積 對應的對角線的比例關(guān)系.2、梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理”）：CDs :5 =a2:h2 S :S :S :S = a2:b2:ah:ab; S的對應份數(shù)為（"+力2.四、D相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模ADAEDEAF -_ _ 8AB "4C "BC "AG Szde： Saabc = AF'2.AG2.相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎 樣改變

4、它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：（1）相似三角形的一切對應線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似 比；（2）相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角 形的中位線長等于它所對應的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三 角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.在小學奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形.五、共邊定理（燕尾模型和風箏模型）在 4BC中，AD , BE , CF相交于同一點O ,那么S abo :S aco = BD.DC 上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段

5、，因為ABO和AQO的形狀 很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多兒何題中都有著廣泛的運 用，它 的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊 之間提供互相聯(lián)系的途徑.附件1:鳥頭模型例題及習題:AD根據(jù)共角定理，盤圖.中可豁Sw：(l)x得:S * _ 八/>x AE S偵AB x AC8：法1：無敵設(shè)髙法。設(shè)扶方形而積血8=1，三角形皿£斗設(shè) ABf. 5C = L55 = lx2-a = .那么 CE 11263aCF = -x2*-= I5%5一 =Ia 3a 3a3a 2a=1那么 DF = a55珊/1 2a 1 1

6、那么2XTXa = 5*,.1 1 113 AH c 13 c-弓-虧-訂元. ： Oujr" 3QMXBGD所以S：法2：反復使用鳥頭定理：求出E點、F點的特殊 性；1連揆AC.設(shè)長方形IB積二h三角1Sg* _ 彳 Ssc : BE 丄 B63連接 AC.那么 Supp 7 S“CD1那么 Sladf = ( S ABCD t所以 SghSg普 SaJ8簡述：以上這一題是中環(huán)杯決賽題，作為我們講義的例8。我們介紹的法一 “無敵設(shè)高法”丄要是從代數(shù)的角度死算，這是我們以后學習解復雜問題的通用方法，作為五年級的同學可以多多接觸一些：法二“鳥頭模型”讓我們 確定特殊點，從而找線段的比例關(guān)系讓面枳比轉(zhuǎn)換成求線段比。.基礎(chǔ)篇p1如圖.ZkABC中.Dx E分別是AB. AC上的點，苴中EC=3AE, AD=2DB.并 且AABC的面積為1平方JI米.求AADE的面積？，*2.如圖，ZkABC中，E是AC上的點，D是BA延長線上的一點，其中EC=2AE,AB=2AD/ AABC 面積求Z1ADE 的面積？ “3.如圖，在/ABC中，D是BC的中點，AE二3ED, AABC的面積是96,求陰 影部分的面積。.二.提高篇*1.如圖，在ZkABC 中，F(xiàn)D=2AEFU2FE,CD=2BD,ZABC 的面積是 36,求陰 影