八個有趣模型——搞定空間幾何體的外接球與內(nèi)切球(教師版)

1、入個有筆模型搞走空間幾何體的外接球與切祇一. 右關(guān)沱義1. 球的岌義：空間中列定點的距富等于定長的點的集令（軌跡丿叫球面，荷稱球2外揍球的定義：若一個多而體的冬個頂點都在一個球的球面上.刪稱這個多面體是這個球的接多而體. 這個球是這個多而體的外接球3.切球的支義：若一個多面體的冬面都與一個球的球面相切,fi'J瓊這個多而體是這個球的外2刀多而體. 這個球是這個多而體的切球.二. 外接球的冇關(guān)知識與方法1性質(zhì)：性施1：過球心的平面就球面所得圓是大圓，大圖的豐役與球的豐役相等；性施2：經(jīng)過小S的直役與小圖而垂直的平面必過球心，該平面截球所得E是大圖；性施3：過球心與小圖圓心的直線垂直于小圖

2、所疫的平面C類比：圓的垂徑龍理丿； 性施4：球心在丸圖而和小圖而上的射形是相應圖的圓煜；性施5：在同一球中，過兩相交圖的圖心垂直于相應的S面的直線相交，交點是球心（類比：疫同圓中,而水1交弦的中垂線j交點旻圓心丿2.結(jié)論：結(jié)論1：長方體的外接球的球體對角線的交點處，即長方體的體對角線的中點是球心；結(jié)論2：若由長方體切得的多而體的所有頂點是慮長方體的頂點，刪所得多面體與慮長方體的外接球相同；結(jié)論3：長方體的外接球直役就是而對角統(tǒng)及與此而垂直的梭構(gòu)成的直角三角形的外接圖圖心，換言之，就是：底而的一條對角統(tǒng)與一條高（梭丿構(gòu)成的直角三角形的外接圖是丸圜；結(jié)論4：圓粒體的外接球球心疫上下兩底而圓的圖心連

3、一段中點戍；結(jié)論5： S粒體軸超而矩形的外掛圓是大圓，該矩形的對角線（外接圖直徑丿是球的直後； 結(jié)論6：直披柱的外接球與該梭柱外接圖柱體冇相同的外接球；結(jié)論7： S鎧體的外接球球心疫圓錐的爲所在的直線上；結(jié)論8：圜鎧體軸紂而等牘三角形的外接圓是丸圖，該三角形的外揍圖直後是球的直徑； 結(jié)論9：側(cè)披相孑的檢錐的外揍球與該梭錐外接圖錐冇和同的外接球.3.終奴利星：勾股走理正父理及余弦支理f解三角形求線段長度丿；三. 切球的有關(guān)知識與方比1. 若球與平面相切.則切6與球心連線與切面垂直（與直線切圖的結(jié)論有一孜性丿2. 切球球心刊多面體冬而的距富均相尋.外接球球心到多而體冬頂點的距富均相等（類比：與多邊

4、形的 切圜丿3. 正多面體的切球和外接球的球心重合.4. 正拔錐的切球和外接球球心押亦富線上，但不一災重合.5. 基本方法：（1丿構(gòu)逡三角形利用相似比和勾股岌理；（2）體積分制是求切球豐役的通用繳比（孑體積*） 凹與臺體相關(guān)的.此咯.S.第一講柱體背素的棧矍題2 (解答圖)方法：找三條兩両垂直的線段.直接用公(2R)2 =a2 +h2 +c2 ,即2R = la2 +b2 +c2 ,求出R例1 ru已知冬頂點都在同一球面上的正凹拔柱的離為4.體積為16,則這個球的表而積是( C ) A. 16兀B. 20龍C. 24”D. 32兀鮮：V = 6/2/? = 16r a = 29 47? =/+

5、/+/ =4 + 4 + 16 = 24 . S = 24兀，逸 C；(2)若三核錐的三個側(cè)面而両垂直.且側(cè)枚長均為也,則其外接球的表面積是 9兀解：4/?2=3 + 3 + 3 = 9, S =4嵌=9兀；(3)淮.正三梭鎧S ABC中，M、N分別是披SC、BC的中乩 且AM丄MAL若側(cè)拔$4 = 2血側(cè)正三梭錐S-ABC外接球的表面積是36龍解：引理：正三域催的對域互相姜直證期如下：如圖(3) -L取AB、BC的中§、D,E ,連接AE,CQ, AE、CD靈于H，連接SH , 則H旻底面正三角形ABC的中心.SH 丄平而 ABC, :. SH 丄 A3,v AC=BC, AD=B

6、D, :.CD丄 AB, . . AB丄平 & SCD ,.AB丄SC,同理：3C丄SA, AC丄SB ,即正三核錐的對披互垂直，本題圖如圖(3) 2. v AM丄MN , SBHMN,:.AM 丄 SB, tA C 丄 SB , :. SB 丄平 SAC.-.SB 丄 SA, SB 丄 SC, / SB 丄 SA, BC 丄 £4,/- SA 丄平面 SBC > /. SA 丄 SC >故三核錐S A3C的三核條側(cè)披商両互和垂直/. (2/?)2 = (2)2 + (23)2 + (23)2 = 36 ,印 4疋=36. .正三核錐S-ABC外接球的農(nóng)而孩是36

7、龍s.(4丿在©面體S-ABC中，S4丄平面4BC, ABAC = 20SA = AC = 2.AB = 1, «i該s面體的外接球的表面積為(D )AA 7tBlnC. 7TD. 7T33鮮：A.AABC 中，BC1=AC2+AB2 -2AB- BCcosl20° =7 > BC = J7, AABC 的外接球直役為2r = = =, /. (2R)2 = (2r)2 + SA2 = (Z)2 + 4 = , S = ,選 Dsin ABAC y3 V3巧33T(5丿如果三披錐的三個側(cè)面両而垂直，它們的面積分別為6. 4. 3 ,那么它的外接球的痕面積是鮮

8、：由己知得三條側(cè)拔兩両垂直，設三條側(cè)核長分別為gb、c (u,b,cwR+ ),刪ab = 12he = 8 , /. abc = 24, a = 3 > Z? = 4 > c = 2 > (2/?)2 = a2 + b2 + c2 = 29 , S = 4/?2 = 29/r , ac = 6(6)己知荼幾何體的三視圖如圖所承.三視國是展長為1的尋腹直角三角形和邊長為1的正方形.刪該幾何體外接球的體積為豹(2gm,R=£= -RS.翼型二對檢杓孑棋矍C補形為長方體丿 題謖：三核權(quán)C即聞面體丿中已知旦俎對枚分劇相齊 求外換球半段= AD=BC9 AC=BD) 弟一步

9、：色出一個長方體，標出三組互為異而直線的對拔；弟二步：沒出長方體的長寬翥分別為gb、c, AD=BC=x9AB = CD = y , AC= BD= z r 刃方程組，a2 +b2 =x2222' b +c2 = y2 =>(27?)2 =a +b2 +c2 = ；一一 ' -,r2 +/ = 722補丸：® 2-1 中，V“CD = ubc -abcx4 = -abc.63弟三步蟲砒角壯體二如+宀”匸tr+二疋上蘭+匚尺匚+才+三， Y 28V 8求出/?思考：如何求核長為d的正B面體體積，如何求其外接球體積？例2 ()如下圖所承三枚稚A-BCD.其中AB =

10、 CD = 5,AC = BD = 6,AD = BC = 7, flj該三按錐外接球的表面積為鮮：對拔相尋，補形為長方體，如圖2-b設長寬離分別為abc , 2(/+，+。2)= 25 + 36 + 49 = 110 .a2+b2+c2=55f 4/?2=55, S=55龍題圖（2） A.MA-BCD 中，AB = CD = 2, AD=BC=3. AC=BD = 4.則三披確 A BCD 外接 29球的表面積為一7t2如圖2，設補形為長方體.三個長度為三對而的對角線長，設長寬壽分別為abc ,則/+慶=9.I）1 +c2 = 4 , c2 +a2 =16 /. 2（/ +，+疋）= 9 +

11、 4 + 16 = 29 , 2（/ +，+疋）= 9 + 4 + 16 = 29 ,+卄宀竺，4宀竺,S =2 229兀2(3) 正b面體的各條披長卻為 邁,則該正面體外接球的體欣為7迺，爲.邁=逅2382鮮：正0面體對按相等的模式.放入正方體中，2R = y3(4) 拔長為2的正5而體的0個頂點都疫同一個球而上，若過該球球心的一個就而如下圖，刪因中三角形(正b而體的槪面)的而欣是鮮：如解篆圖，將正b面體放入正方體中，薊而為APCO, 面積是佢.邈設：如因3丄 圖3-2圖3*史三核柱揍于球(同時直拔柱也接于SHi,拔柱的上下底而可以是任龕三角形)弟步：確走球心、O的住逍，0是ABC的外心則O

12、O丄平而ABC；弟二步：算出小圓0|的半AOx=r , OO =-A =-h ( AA = h 是圓杜的高丿；2 2笫三步：勾敲岌理：Q42=O|A'+OO2 =/?'= (£)2 + 尸二R = 尸+(£)',鮮出/?例3 () 一個正六核粒的底面上正六邊形.其側(cè)檢垂直于底面.己知該六披柱的頂點都A同一個球面上，9且該六拔柱的體積為底而周長為3.則這個球的體積為鮮：設正六邊形邊長為正六枚柱的為為h ,底面外接圜的半役為r ,則“=丄2正六梭柱的底面積為 S=6f (丄)'=n, V.： = Sh = -h = , :. h = y/3 ,

13、4R2 = l2 +(a/3)2 =4 428 f88也可R = (-)2 + ()2 = 1A R = ,球的體積為匕 =；22/3(2丿直三拔柱ABC-AQC的冬頂點都在同一球而上.若AB = AC = AA = 2 .ABAC = 20° ,刪此球的表面積等于解：BC = 2a/3 > 2r =4, r = 2 , R =應,S = 20/r； sin 120°(3) “AEAB所疫的平面與矩形ABCD所疫的平面互相垂直，EA = EB = XAD = 2,ZAEB = ,則多而體E-ABCD的外接球的哀面積為16龍鮮：折金型 法一：AEAB的外接圖半後為斤=巧

14、” OO = 1, /? = J1 + 3 = 2 ；Fy/io313法二：0M = ,= OD => /?2 = - + = 4 , R = 2 , »=16龍；2244出三：補形為直三披柱，可改支直三核柱的放置方式為立丸.算出可同上，略換一科方式通過算圓柱的 軸就而的對角線長來求球的直後：(2/?)2=(2>/3)2+22=16, S農(nóng)=16”；球的表面積為1607T3鮮：出一：3(?2=16 + 36 246丄= 28, BC = 2<7 , 2r = -Z = Z2V| y/3T2、廳出二：求圓杜的軸札而的對角線長得球直役，此咯.(4)在直三按柱 ABC A

15、lBiCl 中，AB = 4, AC = 6, A = , A£ = 4 , fij 直三披柱 ABC AiBCl 的外接第二講權(quán)體背素的侯墾類型噸.切人模型(荷個大小BQ面互加姜直且夾于小BQ宜徑正獄丸理求大H宜徑是通凍丿1.如圖41,平而PAC丄平面A3C且A3丄BC (即AC為小圖的直徑幾 且P的射彩赴AABC的外 心O三按錐P ABC的三條側(cè)核相尋O三梭P 43C的底® AABCA ® 的底上，頂點P點也是圜 錐的頂點.弟一步：確走球心O的佞置.取MBC的外心0則P,O,O三點共線;弟二步：丸算出小圓0的豐役AO=廠.再算出梭錐的為PO = h (也旻圓錐

16、的爲丿;弟三步：勾股災理：OA2 =OXA2 +OO2 =>/?2 =(h-R)2 +r2 ,解出/?；爭賣上.AACP的外搖S就旻丸SH直接用正秋丸現(xiàn)也可求鮮出/?2如團42,平面P4C丄平面ABC,且A3丄3C (即AC為小圖的直役人 且P4丄AC,則利用勾廈岌理求三梭錐的外接球半徑：(D(2R)2 =PA2 +(2r)2 <=> 2R = yjPA + (2r)2 ； RSOO； OR = &2+00：3. 如團43,平面P4C丄平面ABCf且A3丄3C (即AC為小圖的直役丿0C2=0lC2+0i02<>R2=r2+0i02oAC = 2jR1-0

17、l024. 題設：如圖4-4,平而PAC丄平© ABC,且A3丄3C (即AC為小圖的直徑丿弟一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圖是大圖，丸求出小S的直AC=2r ；弟二步：技APAC中，可根據(jù)正孩沱理一 = = = 2/?,求出/?sin A sin B sinC例4 Cl丿正b後錐的頂點都A同一球面上，若該技錐的離為1,底而邊長為2 J亍，則該球的表而積為解：出一：由正孩支理(用大圖求外揍球直徑丿；出二：找球心聯(lián)合勾股岌理，2/? = 7, S=47tf?2=49”；(2) MS-ABCD的底面邊長和各側(cè)披長都為冬頂點都心同一球面上，刪此球體孩為 鮮：方法一：找

18、球心的伐.2. 易知廠=1 , /z = 1 > /? = /,故球心在正方形的中=ABCD處，7? = 1, V = 3 方出二：丸圓是軸就而所的外接SH即大S是A5AC的外接圖此處苗殊，RtSAC的斜邊是球半後.4/r2R = 2, R = , V =.3(3)-個正三技錐的四個頂點押疫豐役為1的球而上，其中底而的三個頂點A該球的一個大圖上.則該正 三枚錐的體積是()A.婕 B.互C.迺D.迪43412毎:鬲h = R = l,底面外接圓的豐徑為/? = 1，直徑為2/? = 2,很底面邊長為"，則2R= = 2, a = y3 , S = a2=,三拔鏈的體積V=-Sh

19、= ；sin 60°4434(4丿疫三枚錐P-ABC中，PA = PB = PC =忑.側(cè)梭P4與底而ABC所成的角為60° ,則孩三檢錐外A. nC.4兀鮮：選D,由線面角的知識，得AABC的頂點以廠=V32為半後的圓上.在圖鎧中求鮮，尺=1；(5) 已知三核錐S-43C的所冇頂點都A球O的求面上ABC是邊.長為1的正三角形、SC為球O的直 役且SC = 2 ,刪此梭錐的體積為()A2<6池吒 c* o.f1 c/ 1 巧 2拆 V2 / =33 436翼型五.墓面撲型(一條直袋農(nóng)直于一個平面丿1.幾設：如圖5, PA丄平而ABC.求外接球豐役.解題步驟：弟一步：將

20、AA3C屍在小圖而上.A為小圓直蚣的一個端點，作小圖的直徑連掛PD, mj PD必過 球心0 ；弟二步：0、為AABC的外心，所以OO丄平而ABC,算出小圓0|的豐役OD =廠(三角形的外U® A 徑算出：利用正孩支理，得 一=° =- = 2r)9 OO = PAisin A sin 3 sinC2弟三步：利用勾股岌理求三核錐的外摟球半徑：®(2R)2 = PA2 + (2r)2 <>2R = P+(2r)2 ； F = + oo：。R = Jd + oof .2.題設：如圖5-1至5-8這七個圖形，P的射彩是AABC的外心O三域錐P AB C的 三

21、條制披相尋 O三拔錐P-ABC的底面A4BC疫圓錐的底上.頂A P A<L是圖錐的弟一步：確定球心的住置取A4BC的外心則£0,0三點共線;弟二步：丸算出小圓。的豐後AO=廠.再算出梭錐的POX = h （也赴圓錐的高丿;弟三步：勾股岌理：OA2 =OA2 +OO2 =>/?2 =（/?-/?）2 +r2 ,解出/?二：小圖直徑洪與構(gòu)凌大圖，用正熱殳理求大圖直役得球的直役.例5 個幾何體的三視國如圖所示，則該幾何體外接球的儀面衣為（ ）CD.以上都不對*?：選 C,出一：（勾股岌理丿利用球心的後近求球豐後，球心心圓錐的離線上，（j3-/?）2+l = /?/? = X,S

22、=4?2 = ；y/33出二：（丸圓出求外接球直蚣丿如圖，球燈AS1錐的高線上，故S錐的軸札而三角形PMN的外接圖是丸24跖于是叫品礦TT f第三講二面角背素的模熨真型六、折金棋型題很：商個全孑三角形戎孑廉三角形拼農(nóng)一起，或羨形新金（如段6）弟一步：丸西出如圖6所示的圖形，將3CD西A小圖上，找出ABCZ)和MBD的外心H甘©H?；弟二步：過丹和分別作平而3CD和平而A'BD的垂線，而垂線的交點即為球心0,連接OEOC；弟三步：州HOEH、.算出OHA RtAOCH 中.勾旗岌理：OH： +CH； =OC?a：易知o,h“e、h2b&共面且田點共sn證咯.例6 ()三

23、披錐卩一ABC中，平面P4C丄平面ABC APACoa ABC均為邊長為2的正三角形，則三拔錐P ABC外搖球的半徑為c r 242 c “1鱗： 如國"2斤=2篤= > 斤=匚=j= > 0】H = y= f1 sin60512 V3a/3H+*|廉二：O2H = ；= , OXH = j=,AH = f(1)題心A幾仍+時+如弓R卑(2) AA 角繹形 ABCD中，AB/CD, ZA = 90 ZC = 45° tAB= AD= 1 沿對角線BD折成©面體/V 3CD,使平面A'BD丄平面3CD 若切面體A! BCD的頂點疫同一個球而上，則

24、該頊球的表面積為4”(2)®-!題鮮：如國易知球心在EC的中點處，S( =4；(3)疫b面體S 43C中，A3丄BCAB = BC =邁,3而體S-ABC的外揍球表面積為 6兀cos ZSOB = cos(ZC?(?1O2 + )=2sin Z.OOO2 =, cos Z.OOXO2 =-,°°1 = cosX1a=T,心i冷弓 s=4心g出二：延長B0刊D使DO、= BOX =斤,由余弦定理得SB = V6 , SD = y/2 .大圓直徑為2R = SB = y ；(4丿疫邊長為2館的羨形ABCD中，ZBAD= 609,沿對角坂ED折成二面角A 3DC為120

25、°的s而體ABCD,則此國面體的外接球表面欣為 28s.鮮：如圖取3D的中點M > AABD和CBD的外接圓半徑為斤=巧=2AABD和CBD的外心QQ? 刊孩BQ的距青(孩心距丿為=2=1，法一：©邊形 OOxMO2 的外搖圖直 OM = 2 , R = y/1 , S = 28k；出二:OO = V3 , R = y/1 ;出三：作出 ACBD的外樓圖直CE.fl*j AM = CM = 3, CE = 4, ME = 1, AE = V7 , AC = 3>/3 ,cos ZAEC =7 + 16 272V74sin ZAEC=i,2、廳2R = = - =

26、 2v7, /? = “； sin ZAEC 3j32V7花叭雅 ABCD 中，ZBDA=120 ZB£)C = 150°, AD=BD=2, CD = & ,二而角 A-BD-C 的平面角的丸小為120°,則此b面體的外接球的體積為解：如國.過兩小圖圓心作相應小圖所疫平面的垂線確主球心,AB = 2-3 , r2=2 , itJfeO2M = y3 , BC = >/3 , r = V13,弦心距OM = 2>/3 ,5 5"為：. R2=OD2=MD2+OM2=29, R = x/29 ,V, = 11629/7法二：OO=OM2

27、-O2M2 = 25 , :. R2 =OD2=r；+OO =29 , /? = 29 , /.V,U6y/2<)7r真型七.角直角三角形拼換盛一起(斜邊和岡也可看作矩形誥對角戲新起所得三枚策)棋晏邈設：如圖7, ZAPB= ZACB = 90求三gP ABC外接球半色(分析：取公共的斜邊的中6 0,決接OPQC fl OA = OB = OC = OP = -AB f .O為三 P-ABC外接球球心.然后疫OCP中2求出半役幾 生看作矩形沿對角線折起所得三披錐時與折起成的二而角大小無關(guān).只要不是平角球半笑都 為岌值.則0面體ABCD的外接球的體積為(125125A. 7ZB7t129例

28、7 (1) A矩形ABCD中，AB = 4. BC = 3,洛AC將矩形ABCD折成一個直二面角3-ACQ,)125D.兀3125C.7t654 . 4解：() 2R = AC=5. R = , U=_7z/?'=_/r 二= 12111,選 c23386(2) A矩形ABCD中，AB=2> BC = 3,沿BD矩形ABCD折萄 連接AC,所得三MA-BCD125125龍的外接球的表面積為鮮：的中點是球心O, 2R = BD = 3 , S = 4欣 =13兀.第呵講多面體的切球問題模矍翼型入.催體的切卓問題1. 題設：如圖8、三按錐P-A3C上正三枚錐，求其切球的豐徑弟一步：丸

29、現(xiàn)出切球的範面圖.分別是兩個三角形的外心；笫二步：求DH=-BD, PO=PH-r, PD是側(cè)板MEP的高； OE PO弟三步：由APOE和似于MDH,建立尋丸：=,鮮出廠 DH PD2. 題很：如圖8-2,P-ABC是正b拔錐，求其切球的半役弟一步：丸現(xiàn)出切球的薊面圖.P、O、H三&共線；弟二步：求FH = -BC f PO=PH-r9 PF是側(cè)面APCD的執(zhí)2“OG PO弟三步：由APOG柚似于APFH,建立尋式j： = ,鮮出HF PF圖8圖823. 邈設：三披錐P-ABC是任意三按錐，求其的球半徑例8()檢長為a的正s而體的匕球表面枳是鮮：設正切而體切球的豐徑為I將正切面體放入

30、拔長為72的正方體中C印補形為正方體兒如圖，則又 P-ABC(1)題S.方出:孑體韓廉，即切球球心與©個面構(gòu)成的四個三枚推的體衣之和相等 弟一步：丸西出5個農(nóng)面的面積和整個錐體體枳； 弟二步：設切球的豐徑為 I 龍立尋些：VPABC = VOABC + VOPAB + VOPAC + VOPBC => P-ABC = Smbc 廠 + 亍 SpAB / + Sp,c-r + - SpBC r = (SmBC + SPAB + SpAC + SfBc) - r笫三步：鮮出-3vp-AHCS()-ABC + Spab + O-PAC + S()-PBC2、EQ刀球的表面積為S農(nóng)=4加八=6(注：還有別的為比,此咯)(2)正叭錐S ABCD的鼠面迦長為2,側(cè)披長為3,則其切球的半役為解：如圖'正凹樓錐S ABCD的爲h = yfl正8技錐S 一 ABCD的體積為yABCD側(cè)面斜需= 2J > 正凹樓錐S ABCD的表面積為S i- = 4 + 8>/2 »正凹核鎧S ABCD的體積為Vs-abcd1 c4 + 8、伍4 + 82 4、廳r =334護 _、廳 _、廳(2血_1)4 + 8、伍 一 1 + 2 血一7(3)三枚推P_AEC中