剛體一章習(xí)題解答

1、剛體一章習(xí)題解答習(xí)題41如下圖,X軸沿水平方向,Y軸豎直向下,在t=0時(shí)刻將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn) 由a處靜止釋放,讓它自由下落,那么在任意時(shí)刻t,質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的力矩 M=;在任意時(shí)刻t,質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 匚=.解：作用于質(zhì)點(diǎn)上的重力為,v = gtG = mgj任一時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)也是重力的作用點(diǎn)的位置矢量為 據(jù)定義,該重力對(duì)原點(diǎn)O點(diǎn)的力矩為任一時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為據(jù)定義,質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量為O0習(xí)!2 4 1皆Ai1守2回,因此習(xí)題4-2 我國第一顆人造衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng),地球 的中央 O為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) 如圖,地球半楷R=6378km,衛(wèi)星與地面的最近距離 li=439km,與電回的 最遠(yuǎn)距離l2=

2、238km .假設(shè)衛(wèi)星在近地點(diǎn)Ai的速IX解：衛(wèi)星受到地球引力有心力的作用,對(duì)地心O的角的4vi=8.1km/s,那么衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度 V2=解得V2(R 1i)(R I2)6378 4396378 2388.1 =6.3km/s習(xí)題4一3光滑圓盤面上有一質(zhì)量為m的物體A,栓在一根穿過圓盤中央光滑小孔的細(xì) 純上,如下圖.開始時(shí),物體距離圓盤中央 O的距離為況并以角速度外繞圓盤中央 O作圓周運(yùn)動(dòng),現(xiàn)向下拉繩,當(dāng)物體 A的徑向距離由r.減少到r0/2時(shí),向下拉的速度為 v,求下拉的過程中拉力所作的功.分析：下拉過程并不是緩慢的,在下拉過程中的任一時(shí)刻,物體的速度不是剛好沿 半徑為r的切線方向,而

3、是既有切向分量,又有法向分量.另一方面,此題可以考慮用 動(dòng)能定理求拉力的功,這就得先求出物體的末態(tài)速度.解：設(shè)在末態(tài)物體的速度的切向分量為 Vt,法向分量為Vn亦為下拉速度.同時(shí)考慮到速度的法向分量Vn與矢少聲反平行,其相應(yīng)的角動(dòng)量為零,由角動(dòng)量守恒可得/A所以,末態(tài)速度的切向分量I O尸由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理,下拉的過程中拉力所作的功一'習(xí)題44質(zhì)量為m1的粒子A受到第二個(gè)粒子B的萬有弓可一B保持在原點(diǎn)不動(dòng).最初,當(dāng)A離B很遠(yuǎn)r = 8時(shí),A具有速度V.,方向沿圖中所.直線 Aa, B與這條直線的垂直距離為D.粒子A由于粒子B的作用而偏離原來的螂線；3沿著圖中所示的軌道運(yùn)動(dòng),這軌道與B之間的

4、最短距離為d,求B的質(zhì)量mBo解：粒子A在粒子B的有心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)的角動(dòng)量和機(jī)械能均守恒.因此,我ad們可以得到D m1Vo =d m1v1212_ mmB一mvo = m1v - G22d聯(lián)立、兩式解得B的質(zhì)量為習(xí)題45在光滑的水平面上,一根長 L=2m的繩子,一端固定于O點(diǎn),另一端系一質(zhì) 量m=0.5kg的物體,開始時(shí),物體位于位置 A, OA間距離d=0.5m,繩子處于松弛狀態(tài). 現(xiàn)在使物體以初速度VA=4m/s垂直于OA向右滑動(dòng),如下圖,設(shè)以后的運(yùn)動(dòng)中物體到達(dá) 位置B,此時(shí)物體速度的方向與純垂直.那么此刻物體對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量的大小Lb=物體速度的大小 VB=0解：由質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒定律有

5、d mvA = L mvBiO因此,物體在B點(diǎn)時(shí)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量為了 BB物體在B點(diǎn)時(shí)的速度為,'習(xí)題46 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿著一條空間曲線運(yùn)朝$該曲線在直角坐標(biāo)系下的定義為：r = acosoti +bsincotj ,其中a、b、切皆為常4,止 質(zhì)點(diǎn)所受 的對(duì)原點(diǎn)的 力矩O 習(xí)題45圖M =;該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的角動(dòng)量 解：依定義,質(zhì)點(diǎn)的加速度質(zhì)點(diǎn)受到的力為 因此力矩 由于所以質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量為習(xí)題4-7兩個(gè)勻質(zhì)圓盤A和B的密度分別為Pa和Pb ,假設(shè)Pa > Pb ,但兩圓 盤的質(zhì)量和厚度相同,如兩盤對(duì)通過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為Ja和Jb ,那么：(A) Ja >Jbo

6、 (B) Ja<Jb.(C) Ja=Jb.(D) Ja、Jb 哪個(gè)大不能確定. 解：圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又由于所以有這樣一來 由于Pa A Pb ,因而J a < J b ,故應(yīng)選擇答案(B)習(xí)題48如下圖,A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪,A滑輪掛一質(zhì)量為M的 物體,B滑輪受拉力F,而且F=Mg ,設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為 3和3,不計(jì) 滑輪軸的摩擦,那么有：(A) =久.(B) 1 >?2 0 (C) Pi <?2 0 (D)開始時(shí) Pi =p2,以后 3/2解：由牛頓定律及轉(zhuǎn)動(dòng)定律MF習(xí)題4 8圖對(duì)A:Mg -T =TR = JMa1a = R.-'i)

7、0：fr=J2從以上各式可解得口 _ MgR 口 =里 _ MgR1 - j mr2,2 j J顯然所以,應(yīng)中選擇答案C.習(xí)題49 一長為1,質(zhì)量可以忽略的細(xì)桿,可繞通過其/ 一端的水平光滑軸在豎直平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),在桿的另一 端固定著一質(zhì)量為m的小球,如下圖.現(xiàn)將桿由水平位 置無初速度地釋放,那么桿剛被釋放時(shí)的角加速度-0 =_度8=,桿與水平方向夾角為60°時(shí)的角加速解：細(xì)桿對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J=ml2,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,當(dāng)習(xí)題4 9圖桿剛被釋放時(shí)的角加速度為當(dāng)桿與水平方向夾角為60°時(shí)的角加速度為習(xí)題410長為1、質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)桿可繞通過桿的一端 O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),

8、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ml 2/3,開始時(shí)桿豎直下垂,如下圖,有一質(zhì)量為 m的子彈以水平速度V0射入桿上A點(diǎn),并嵌在桿中,OA=2l/3,那么子彈射入后瞬間桿的角速度 0 =解：子彈射入桿內(nèi)并嵌在其中,射擊過程系統(tǒng)角動(dòng)量守/2/容易解得習(xí)題411兩個(gè)質(zhì)量都是100kg的人,站在一質(zhì)量為200kg、半徑為3m的水平轉(zhuǎn)臺(tái)的直徑兩端,轉(zhuǎn)臺(tái)的固定轉(zhuǎn)軸通過其中央且垂直于臺(tái)面,初始時(shí),轉(zhuǎn)把】這兩個(gè)人以相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中央時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度 切= 在°5s轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,當(dāng)m.轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=MR2/2,計(jì)算時(shí)忽略轉(zhuǎn)好轉(zhuǎn)軸處的摩擦解：系統(tǒng)角動(dòng)量守恒習(xí)題4 10圖式中為系統(tǒng)的初始角速度,其值為所以,當(dāng)兩個(gè)人以

9、相同的快慢走到轉(zhuǎn)臺(tái)中央時(shí),轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為習(xí)題412 一飛輪由一直徑為30cm、厚度為2.0cm-l2的圓盤和兩個(gè)直徑都為10cm、長為8.0cm的共軸圓| 柱體組成,設(shè)飛輪的密度為7.8kg?m：求飛輪碉用 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.一解：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性,而且圓盤和兩個(gè)圓柱體共軸,因此飛輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為題解4 12圖習(xí)題413 一燃?xì)廨啓C(jī)在試車時(shí),燃?xì)庾饔迷跍u輪上的力矩為2.03X 103N m,渦輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為25kg m2.當(dāng)輪的轉(zhuǎn)速由2.80X 103r ml1增大到1.12X 104r min,所經(jīng) 歷的時(shí)間t為多少？解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,渦輪的角加速度為 再由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式所經(jīng)歷白時(shí)間t為習(xí)

10、題414 質(zhì)量為0.50kg、長為0.40m的均勻細(xì)棒,可以繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng).如將此棒放在水平位置,然后任其落下.求: 當(dāng)棒轉(zhuǎn)過60°時(shí)的角加速度和角速度；(2)下落到豎直位置時(shí)的動(dòng)能;(3)下落到豎直位置時(shí)的角速度.題解4 14圖解：(1)當(dāng)棒轉(zhuǎn)過日時(shí)所受的力矩為 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律,棒的角加速度為當(dāng)6 =60二時(shí)根據(jù)定義別離變量再積分棒的角速度為當(dāng)日二60二時(shí)(2)下落到豎直位置時(shí)的角速度為所以棒的動(dòng)能為此步還可用機(jī)械能守恒定律求得棒的動(dòng)能：設(shè)重力勢(shì)能零點(diǎn)在棒原來的水平位置處, 那么有所以L1.cCCCCCC Ek = -mgl =0.5 0.50 9.8 0.40 = 0

11、.98J(3)由(2)可知,下落到豎直位置時(shí)習(xí)題415如下圖,A和B兩個(gè)飛輪的軸桿在同C一中央線上,設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為JA=10kg?m2 _和 JB=20kg?m2,開始時(shí),A 輪轉(zhuǎn)速為 600rev/min, BA = 輪靜止,c為摩擦嚙合器,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)；瓜三等笆B分別與C的兩個(gè)組件相連,當(dāng)C的左右組件嚙合時(shí),乏B輪得到加速而A輪減速,直到兩輪的速度相等為止,習(xí)題4-15圖設(shè)軸光滑,求：(1)兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速;(2)兩輪各自所受的沖量矩解：(1) V由角動(dòng)量守恒有 解得A = 2：nA = 2二 600 - 60 = 20二 rad/s；J a' AJb10 20 二

12、10 20=20.9 rad/s=200rev/min(2)由角動(dòng)量定理Ga = La2 Lai = Ja ' 一Ja a =10 20.9-10 20 3.14 =419N?m?s或者Gb - -Ga =419 N?m?sGb =Lb2 -Lbi = Jb , Jb b =20 20.9 0 =419 N?m?s習(xí)題416 勻質(zhì)細(xì)棒長為2L,質(zhì)量為m,以與棒長 方向相垂直的速度V0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí),與前方一 固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性碰撞,碰撞點(diǎn)位于棒 中央的一方L/2處,如下圖.求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度®.細(xì)棒繞通過其端點(diǎn)且與其垂直的 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

13、ml "3,式中的m和l分別為棒的質(zhì)量 和長度解：棒與O點(diǎn)碰撞前后其角動(dòng)量守恒.但棒碰撞前 的角動(dòng)量須作積分才能求得,為此,我們?cè)诎羯暇嘀c(diǎn)dx不A習(xí)題4 16圖OO為x處取線元dx ,其元角動(dòng)量為 式中九為棒的質(zhì)量線密度.由此, 碰撞后棒的角動(dòng)量為式中J為棒對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量我們可以得到碰撞前棒的角動(dòng)量為Lo = L,7,2、mv0L = J = ( mL ) 12解得6v°0 -7L習(xí)題4-17如下圖,一個(gè)質(zhì)量為 m的物體與繞在定 滑輪上的繩子相連,繩子質(zhì)量可以忽略不計(jì),它與定滑 輪之間無滑動(dòng).假設(shè)定滑輪質(zhì)量為 M,半徑為R,其轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量為MR2/2,滑輪軸光滑.試求該物

14、體由靜止開始 下落的過程中,下落速度與時(shí)間的關(guān)系.解法I :對(duì)物體m：習(xí)題4 17圖mg -T = ma0對(duì)定滑輪圓盤剛體:TR = (；MR2) 由角量與線量的關(guān)系聯(lián)立以上三式可得可見,物體下落的加速度是常量 時(shí)間的關(guān)系為又由于其下落的初速度為零,所以,物體下落速度與解法H :把圓盤和物體作為定軸系統(tǒng),由角動(dòng)量定理有 又由于12J=MR2, v = Ro2由上述關(guān)系可以解得習(xí)題418 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體,對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=3.0kg?m2,角速度 ©0 =6.0rad/s現(xiàn)對(duì)物體加一恒定的制動(dòng)力矩M = - 12N?m,當(dāng)物體的角速度減慢到m=2.0rad/s時(shí),物體已轉(zhuǎn)過了角度

15、 9 =.解：物體的角加速度為由于角加速度為恒量,所以滿足公式因此習(xí)題419 一定滑輪半徑為0.1m,相對(duì)于中央軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 1X10-3kg?m2, 一變力F=0.5t(SI)沿切線方向作用在滑輪的邊緣上,如果滑輪最初處于靜止?fàn)顟B(tài),忽略軸承的摩擦,試求它在1s末的角速度.解：作用于定滑輪上的外力矩為定滑輪的角加速度為 因此應(yīng)用初始條件t=0時(shí),伯0=0,對(duì)上式積分所以,定滑輪在1s末的角速度為習(xí)題420電風(fēng)扇在開啟電源后,經(jīng)過L時(shí)間到達(dá)了額定轉(zhuǎn)速,此時(shí)相應(yīng)的角速度為©0, 當(dāng)關(guān)閉電源后,經(jīng)過t2時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn).風(fēng)扇轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J,并假定摩擦阻力矩 和電機(jī)的電磁力矩均為常量,試

16、根據(jù)推算電機(jī)的電磁力矩.解法I :設(shè)電機(jī)的電磁力矩為 M,摩擦阻力矩為Mf0由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,從開啟電源到達(dá) 到額定轉(zhuǎn)速的過程中有M - M f = JP1從關(guān)閉電源到風(fēng)扇停轉(zhuǎn)的過程中有-Mf=J£由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有8.= B1t10 =切0 + 02t2聯(lián)立以上四式可得電機(jī)的電磁力矩為解法H :由剛體角動(dòng)量定理可得(M -M f )t1 = J00 -0_ M f 0 Jco 0聯(lián)立以上兩式可得電機(jī)的電磁力矩為習(xí)題4-21轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為 切.,設(shè)它所受阻力矩與角 速度成正比,即M =-k6(k>0),求圓盤的角速度從 3變?yōu)?0/2所需要的時(shí)間.解：由轉(zhuǎn)

17、動(dòng)定律別離變量并積分 解得 習(xí)題4-22 一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量均為 m、半徑均為r的均勻圓盤狀定滑輪,繩的兩端分別掛著質(zhì)量為 m吟 的重物,如下圖,繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng),滑輪軸 光滑,兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為 mr2/2,將由兩個(gè)需二m, r滑輪以及質(zhì)量為m和2m的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋耳 求兩滑輪之間純內(nèi)的張力.解：對(duì)滑輪和重物分別列式可得Zmg T1 = 2ma12 Q(Ti Fr = mr P2« /丁 丁 12 r(T3 -T2 )r = mr P2T2 - mg =ma a =rBm2m聯(lián)立以上五式可求得兩滑輪之間純內(nèi)的張力mg 1習(xí)題4 23質(zhì)量分別為m和2m、半徑分別為r和2r的 兩個(gè)均勻圓盤,同軸地粘在一起,可繞通過盤心且垂直于 盤面的水平光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng),對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為9mr2/2,大2mg小圓盤邊緣均繞有純子,繩子下端都掛有一個(gè)質(zhì)量為m的 重物,如下圖,求盤的角加速度的大小.解：由示力圖可得如下方程mg -T1 = ma1T2 - mg = ma2T1(2r) -T2r = JP2rB =a1r -a2m Im題解4 23圖O .聯(lián)立以上五式可解得 習(xí)題424有一質(zhì)量為mi、長為l的均勻細(xì)棒,靜 止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為N的水平桌面上,它可繞通 過其水平端點(diǎn)O且與桌面垂直的光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng).另 有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊,從側(cè)面垂直于棒