利用導數(shù)解決恒成立問題

1、利用導數(shù)求函數(shù)最值根底知識總結(jié)和邏輯關系1、 函數(shù)的單調(diào)性求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：1)確定函數(shù)的f (x)的定義區(qū)間；2)求f ,(x),令f '(x) 0 ,解此方程,求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；3)把函數(shù)f (x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來, 然后用這些點把函數(shù) f (x)的定義區(qū)間分成假設干個小區(qū)間；4)確定f'(x)在各個區(qū)間內(nèi)白符號,由 f'(x)的符號判定函數(shù)f x在每個相應小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.2、 函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個根本步驟1)求導數(shù)f,(x);2)求方程f '(x) 0的所有實數(shù)根；3)檢3經(jīng)

2、f '(x)在方程f'(x) 0的根左右的符號,如果是左正右負(左負右正) ,那么f (x) 在這個根處取得極大(小)值 .3、 求函數(shù)最值1) 求函數(shù)f (x)在區(qū)間(a, b)上的極值；2)將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f(b)比擬,其中最大的一個就是最大值,最小的一個就是最小值.四利用導數(shù)證實不等式1)利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證實不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于(或小于)0時,那么該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減).因而在證實不等式時,根據(jù)不等式的特點,有時可以構(gòu)造函數(shù),用導數(shù)證實該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性到達證實不等式的目的.即把證實不等式轉(zhuǎn)化為證

3、實函數(shù)的單調(diào)性.具體有如下幾種形式：直接構(gòu)造函數(shù),然后用導數(shù)證實該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增(減) 區(qū)間,自變量越大,函數(shù)值越大(小),來證實不等式成立.把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導數(shù)證實該函數(shù)的單調(diào)性,到達證實不等式的目的.2)利用導數(shù)求出函數(shù)的最值(或值域)后,再證實不等式 導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值.因而在證實不等式時,根據(jù)不等式的特點,有時可以構(gòu) 造函數(shù),用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大(或最小)值時不等式都成立,可得 該不等式恒成立.從而把證實不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題解題方法總結(jié)和題型歸類利用導數(shù)研究含參變量函數(shù)的恒成立問題1) 其中關鍵是根

4、據(jù)題目找到給定區(qū)間上恒成立的不等式,轉(zhuǎn)化成最值問題.2) 首先找不等式.一般來說,有以下五類題型：在某個區(qū)間上“單調(diào)遞增減：說明f(x)0 ( f(x).)恒成立;“無極值點,說明f0恒成立或f(x) 0恒成立；“曲線y f(x)在曲線y g(x)上方(下方)：說明 f(x) g(x) 0 ( f(x) g(x) 0)恒成立；“無零點：說明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立；標志詞：“任意,“所有,“均有,“恒成立等等,此時題干已給出不等式例1:設函數(shù)f(x)=ax33x+ 1 (xCR),假設對于任意x -1,1,都有f(x)>0成立,那么實數(shù)a的值為?【解析】 假設x=0,那么不

5、管a取何值,f(x)>0顯然成立;當 x>0,即 xC (0,1時,f(x) = ax33x+ 1 >0 可化為 a？一W設 g(x)=,一W,那么 g' (x) x xx x3 1 -2xx4'一,一、一 111所以g(x)在區(qū)間0, 2上單倜遞增,在區(qū)間2,1上單倜遞減,因此g(x)max=g 24,從而a>4.當x<0,即xC1,0)時,同理awg(x)在區(qū)間 1,0)上單調(diào)遞增,1- g(x)min= g( 1)=4,從而 a< 4,綜上可知a= 4.【點評】首選考慮參量別離.得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值【答案

6、】a= 4.難度*【題】設函數(shù)f (x) = (x a)2 ln x , a e r(l)假設x = e為y f (x)的極值點,求實數(shù) a ;2.(n)求實數(shù)a的取值范圍,使得對任意的x £ (0,3e,恒有f (x) <4e成立.注：e為自然對數(shù)的底數(shù).【難度*例2:aC R,函數(shù)f(x) = (-x2+ax)ex (xC R, e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)當a = 2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)假設函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.【解析】(1)當 a=2 時,f(x) = (-x2 + 2x)ex,所以 f' (x)=(2x+ 2

7、)ex+(x2+2x)ex=(- x2+2)ex.令 f' (x)>0,即(-x2+2)ex>0 ,由于 ex>0,所以x2+2>0,解得42<x<也.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是也,煙.(2)由于函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增,所以f (x)>0對xC(1,1)都成立.由于 f' (x)=(2x+ a)ex+(x2+ax)ex=-x2+ (a 2)x+ aex,所以x2+(a2)x+aex>0 對 xC (1,1)都成立.由于 ex>0,所以一x2+(a 2)x+ a>0 對 xC( 1,1)都成立,x2+

8、 2xx+ 1 2 11即 aR =(x+1) 一 對 x (1,1)都成乂.人11令 y=(x+1),那么 y =1 +2>0. .1所以y= (x+ 1)-在(一1,1)上單調(diào)遞增,所以 y<(1 + 1)- -=3,即 a>|.1 + 1 22一 3因此a的取值氾圍為a>2.【點評】(1)數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增 (減)時,函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于或者等于零恒成立,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.(2)在形式上的二次函數(shù)問題中,極易忘卻的就是二次項系數(shù)可能等于零的情況, 這樣的問題在導數(shù)單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的,值得特別注意.3【答案】a的取值范圍為a>2

9、難度*2例 3：函數(shù) f (x alnx 2 (a 0).x(l)假設曲線y f (x)在點P(1, f(1)處的切線與直線 y x 2垂直,求函數(shù)y f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)假設對于 x (0,)都有£()<2(a 1)成立,試求a的取值范圍；【解析】(I)直線y x 2的斜率為1.函數(shù)f (x)的定義域為(0,),2 a 一2 a由于 f (x)2一所以 f (1) f 1 ,所以 a 1.x x '11所以 f (x) 2 ln x 2. f (x) J2 xx由f (x) 0解得x 2;由f(x) 0解得0 x 2所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,),單調(diào)減區(qū)間

10、是(0,2).4分2 a ax 22_(II) f (x) ,由 f(x) 0 解得 x ；由 f (x) 0 解得 0x x x 'a2 所以f (x)在區(qū)間(2,a2所以當x 2時,函數(shù)a2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,)上單倜遞減.2 一,一f(x)取得最小值,yminf ().由于對于xa(0,)都有f(x) 2(a 1)成立,222,22所以 f () 2(a 1)即可.那么一 aln 2 2(a 1)由 aln a 解得 0 a 一 a2 a. aea2所以a的取值范圍是(0, 2). 8分A ,直接求f (x)【點評】此題直接求最值.此時不等式一般形如f (x) A或f(x)

11、的最值.,一 一2【答案】a的取值范圍是(0, 2)e難度*例 4：函數(shù)f (x) ln(1 x) mx.(I)當m 1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(II )求函數(shù)f(x)的極值；(III )假設函數(shù)f (x)在區(qū)間0,e2 1上恰有兩個零點, 求m的取值范圍.【解析】(I)依題意,函數(shù) f(x)的定義域為 1,當 m 1 時,f(x) ln(1 x) x,-1.f (x)1 2分1 x由f (x) 0得,1 0 ,即01 x1 x解得x 0或x 1 ,又 Q x 1 , x 0f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,) . 4分 1八(II ) f (x) m , (x 1)1 x(1) m

12、0時,f (x) 0恒成立f(x)在(1,)上單調(diào)遞增,無極值.6分,一 1,(2) m 0時,由于一 11m所以f(x)在 1,1 1上單調(diào)遞增,在 -1,上單調(diào)遞減,mm ,1從而f (x)極大值 f (一 1) m In m 1.9分 m(III )由(II )問顯然可知,當m 0時,f (x)在區(qū)間0,e2 1上為增函數(shù),在區(qū)間0,e2 1不可能恰有兩個零點. 10分當m 0時,由(II )問知f(x)極大值二f (1 1), m又f(0) 0,0為f(x)的一個零點.11分2f(e2 1) 0假設f(x)在0,e2 1恰有兩個零點,只需101 e 1m2 m(e2 1) 02即 12

13、 m 113分2 m 1 e 1 e【點評】首先考慮參量別離.得到a F(x)或a F(x),然后求F(x)的最值.直接求最值.此時不等式一般形如f(x) A或f(x) A,直接求f (x)的最值.-2【答案】m 1e2 1例 5：函數(shù) f (x) ln x ax 1a 1 . x1 _(i)當0 a 時,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；221(n)設g(x) x2 2bx 4,當a 時,假設對任意x (0,2), f(x) g(x)恒成立,求 4實數(shù)b的取值范圍.2/,、11 a ax x (1 a)八【斛析】：(i) f (x) - a -2- 2 -2 分x xxax (1 a)(x 1)2(

14、x 0) x令 f/(x) 01 a得 x1 , x2 1 3 分a1當a 時,f (x) 0,函數(shù)f(x)在(0,)上單減 4分2當 0 a 1 時,La 1 ,2 a1 a在(0,1)和(,)上,有f (x) 0 ,函數(shù)f(x)單減,a1 a在(1,a)上,f (x) 0,函數(shù)f(x)單增 6分a11 a13(n)當 a 一時,3, f(x) ln x -x 14 a4 4x由(I)知,函數(shù)f (x)在(0,1)上是單減,在(1,2)上單增1所以函數(shù)f (x)在(0,2)的最小值為f(1)1 8分2假設對任意x1 (0, 2),當x2 1,2時,f (x) g(x)恒成立,1只需當x 1,

15、2時,gmax(x)即可1g2所以2 , 11分g(2)12.r11代入解得b U411所以實數(shù)b的取值范圍是11,).13分4【點評】注意如果條件改為“f(Xi) g(X2)恒成立,怎么樣解答,還可以移項構(gòu)造新函數(shù)嗎？11【答案】b的取值范圍是U,4難度例6：設l為曲線C: y 見x在點(1, 0)處的切線. X(I)求l的方程；(II)證實：除切點(1, 0)之外,曲線C在直線l的下方【解析】(I)設f X 那么f,X XX所以f' 11.所以L的方程為y X 1.x 1 f x ,那么除切點之外,曲線 C在直線L的下方等價于g X >0 X 0, X 1 g x滿足g 1

16、=0 ,且2x 1 ln xX =2X當0vxv1時,x2 1< 0,lnxv0,所以g X <0,故g X單調(diào)遞減;當x>1時,x2 1>0, ln x>0,所以g x>0,故g X單調(diào)遞減.所以 g x >g 1 =0x 0, x 1 .所以除切點之外,曲線 C在直線L的下方.【點評】構(gòu)造函數(shù),轉(zhuǎn)化直接求最值.此時不等式一般形如f(x) A或f(x) A,直接求f (x)的最值.【答案】(I) y x 1*【題】函數(shù)f (x) ax2 (a 2)x In x . (I)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；(n)當a>0時,函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2 ,求a的取值范圍；(出)假設對任意 x1,x2 (0,), x1 x2,且 f (x1 )+2 x1 f (x2 )+2 x2 恒成立,求 a 的取值范圍.：難度*1 C【題】己知函數(shù)f(x) 1x3 2a x2 (a 1)x 5是R上的單調(diào)增函數(shù),求實數(shù)a的3取值范圍.【難度】*15【題】函數(shù)f (x) -x 2ex 3e ln x b在(x0,0)處的切線斜率為零. 2(i)求Xo和b的值；(n)求證：在定義域內(nèi)f(x)為0恒成立；難度*1