Chap1隨機(jī)事件與概率

1、ZUST概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)Probability and Statistics云本勝云本勝E-mail: ZUST第第 一一 章章隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率ZUST 1.1.1 引言引言隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象自然自然現(xiàn)象現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 (必然現(xiàn)象必然現(xiàn)象)隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 ： 即即隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象是是帶有隨機(jī)性帶有隨機(jī)性(不確定性不確定性)、偶然性、偶然性的現(xiàn)象的現(xiàn)象. 在一定的條件下對(duì)它進(jìn)行試驗(yàn)或觀察時(shí)，結(jié)果在一定的條件下對(duì)它進(jìn)行試驗(yàn)或觀察時(shí)，結(jié)果是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè)；是多個(gè)可能結(jié)果中的某一個(gè)； 每一結(jié)果的出現(xiàn)帶有每一結(jié)果的出現(xiàn)帶有隨機(jī)性，事先無(wú)法確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)

2、果隨機(jī)性，事先無(wú)法確定會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.如扔硬幣、擲骰子、如扔硬幣、擲骰子、玩撲克等過(guò)程中出現(xiàn)玩撲克等過(guò)程中出現(xiàn)的現(xiàn)象的現(xiàn)象. 1.1 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算ZUST問(wèn)題：?jiǎn)栴}：A. 太陽(yáng)從東方升起；太陽(yáng)從東方升起； B. 明天的最高溫度；明天的最高溫度；C. 上拋物體一定下落；上拋物體一定下落； D. 新生嬰兒的體重新生嬰兒的體重.下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？下面的現(xiàn)象哪些是隨機(jī)現(xiàn)象？隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象大量隨機(jī)現(xiàn)象大量隨機(jī)現(xiàn)象:在完全相同的條件下在完全相同的條件下可重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象可重復(fù)出現(xiàn)的隨機(jī)現(xiàn)象個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)律可言隨機(jī)現(xiàn)象是不是沒(méi)有規(guī)

3、律可言? ?有規(guī)律！有規(guī)律！ 在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行在一定條件下對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量大量觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性觀測(cè)會(huì)發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.ZUST例如例如: 一門(mén)火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個(gè)別炮彈一門(mén)火炮在一定條件下進(jìn)行射擊，個(gè)別炮彈的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量的彈著點(diǎn)可能偏離目標(biāo)而有隨機(jī)性的誤差，但大量炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命炮彈的彈著點(diǎn)則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等中率，一定的分布規(guī)律等等.又如又如: 測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受到的測(cè)量一物體的長(zhǎng)度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測(cè)量的結(jié)果可能是有差異的環(huán)境的影響，每次測(cè)

4、量的結(jié)果可能是有差異的. 但但多次測(cè)量結(jié)果的平均值隨測(cè)量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定多次測(cè)量結(jié)果的平均值隨測(cè)量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)于一常數(shù)，而且各測(cè)量值大多落在此常數(shù)的附近，而且各測(cè)量值大多落在此常數(shù)的附近，越遠(yuǎn)則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)越遠(yuǎn)則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)“兩頭小，中間兩頭小，中間大，左右基本對(duì)稱大，左右基本對(duì)稱”.ZUST再如再如: 天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云和和天氣可以預(yù)報(bào)天氣可以預(yù)報(bào)有矛盾嗎有矛盾嗎?沒(méi)有矛盾沒(méi)有矛盾! !“天有不測(cè)風(fēng)云天有不測(cè)風(fēng)云”體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象的體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象的偶然性偶然性.“天氣可以預(yù)報(bào)天氣可以預(yù)報(bào)”體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象的的規(guī)律性規(guī)律性. 從表面上看，

5、隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是從表面上看，隨機(jī)現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機(jī)的，隨機(jī)的， 但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，就能發(fā)現(xiàn)，在但多次觀察某個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，就能發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律. 這種必然性表現(xiàn)在這種必然性表現(xiàn)在:在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀察，可發(fā)在一定條件下，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀察，可發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)現(xiàn)象中各種結(jié)果的出現(xiàn)有其規(guī)律性，我們現(xiàn)大量隨機(jī)現(xiàn)象中各種結(jié)果的出現(xiàn)有其規(guī)律性，我們稱其為稱其為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.ZUST概概 率率 論：論： 針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象先提出數(shù)學(xué)模型，再研究針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象先提出數(shù)學(xué)模型，再研究其性質(zhì)、其性質(zhì)、 特征和規(guī)律

6、性特征和規(guī)律性.數(shù)理統(tǒng)計(jì)：數(shù)理統(tǒng)計(jì)： 以概率論為基礎(chǔ)，利用對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的以概率論為基礎(chǔ)，利用對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察所取得的數(shù)據(jù)資料，來(lái)研究其客觀觀察所取得的數(shù)據(jù)資料，來(lái)研究其客觀規(guī)律，并對(duì)其作出某些判斷規(guī)律，并對(duì)其作出某些判斷.*隨機(jī)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程：以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，研究隨時(shí)間演變的以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，研究隨時(shí)間演變的隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象.ZUST歷史背景及應(yīng)用：歷史背景及應(yīng)用： 有有300多年歷史，源于游戲與賭多年歷史，源于游戲與賭博，鼻祖為博，鼻祖為Pascal(1623-1662)、Fermat(1601-1665). 自自20世紀(jì)世紀(jì)30年代，隨年代，隨測(cè)度論和積分理論的完成測(cè)度論和積分理論的完成,

7、 , 為為概率的嚴(yán)格公理化創(chuàng)造了條件概率的嚴(yán)格公理化創(chuàng)造了條件, , 逐步完善成一獨(dú)立逐步完善成一獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支的數(shù)學(xué)分支. 應(yīng)用遍及各行各業(yè)應(yīng)用遍及各行各業(yè).學(xué)習(xí)方法：學(xué)習(xí)方法：盡量借助實(shí)際背景來(lái)理解概念與方法，盡量借助實(shí)際背景來(lái)理解概念與方法，要強(qiáng)調(diào)要強(qiáng)調(diào)概率意義上的理解及有概率特點(diǎn)概率意義上的理解及有概率特點(diǎn)的思考方法的思考方法.要求：要求： 1、認(rèn)真聽(tīng)課，不能無(wú)故缺課、認(rèn)真聽(tīng)課，不能無(wú)故缺課 2、按時(shí)認(rèn)真完成作業(yè)（不能抄襲）、按時(shí)認(rèn)真完成作業(yè)（不能抄襲） 3、及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容、及時(shí)復(fù)習(xí)所學(xué)內(nèi)容ZUST參參 考考 書(shū)書(shū) 目目 1、高教出版社、高教出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

8、教程 魏宗舒魏宗舒 2、高教出版社、高教出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 中山大學(xué)中山大學(xué) 3、大連理工大學(xué)出版社、大連理工大學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)典型 題精講題精講 秦禹春等編秦禹春等編 4、科學(xué)出版社、科學(xué)出版社全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列全美經(jīng)典學(xué)習(xí)指導(dǎo)系列概率概率 與統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì) 教材：教材：科學(xué)出版社科學(xué)出版社概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 胡月、許梅生主編胡月、許梅生主編ZUST 1.1.2 隨機(jī)事件隨機(jī)事件(random event) 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察、試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)叫做對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀察、試驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)叫做隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)1. 可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2.

9、 每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果；3. 進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。概率論中一般研究的是隨機(jī)試驗(yàn),以后簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱試驗(yàn)試驗(yàn),用字母E,E1,E2,表示。ZUST 試驗(yàn)試驗(yàn) E 的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱為 試驗(yàn)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間，記為，記為 S ( (或或) ).注：注： 樣本空間是描述隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間是描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)模型；樣本空間的樣本空間的構(gòu)造應(yīng)根據(jù)需要來(lái)定構(gòu)造應(yīng)根據(jù)需要來(lái)定. 但很多隨機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果的總數(shù)但很多隨機(jī)現(xiàn)象的可能結(jié)果的總數(shù)很大，很大， 將樣本空間完全寫(xiě)出較困難，將樣本空間完全寫(xiě)出

10、較困難， 樣本空間中的元素樣本空間中的元素, 即試驗(yàn)即試驗(yàn) E 的的每個(gè)基本每個(gè)基本結(jié)果結(jié)果, 叫叫樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)( (或或基本事件基本事件), ), 記作記作e 或或. 關(guān)鍵應(yīng)關(guān)鍵應(yīng)明確以何為明確以何為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn).ZUST例：例： E擲一均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況擲一均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況. 則樣本點(diǎn)則樣本點(diǎn) 1e正面朝上正面朝上， 2e反面朝上反面朝上；樣本空間樣本空間. ,21eeS 若量化處理，則可：若量化處理，則可：正面朝上正面朝上 記作記作1， 反面朝上反面朝上記作記作0，則樣本空間可表為則樣本空間可表為 S = 1，0.ZUST例：例：E在一批燈泡中任取一只燈泡在一批

11、燈泡中任取一只燈泡, , 測(cè)試其測(cè)試其壽命壽命.可認(rèn)為任一大于可認(rèn)為任一大于0的數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，的數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果， 故樣本故樣本空間為空間為 S = t | t 0 .即樣本點(diǎn)為即樣本點(diǎn)為0, +)上的任一值上的任一值 t, * * *隨機(jī)事件：隨機(jī)事件：粗略地講粗略地講, 在一定條件下，試驗(yàn)中在一定條件下，試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的某類事件可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的某類事件稱為隨機(jī)事件稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。，簡(jiǎn)稱事件。一般以大寫(xiě)字母一般以大寫(xiě)字母 A, B 等表示事件等表示事件.ZUST例：例：E擲一均勻骰子，觀察幾點(diǎn)朝上擲一均勻骰子，觀察幾點(diǎn)朝上.則樣本點(diǎn)則樣本點(diǎn) ie i點(diǎn)朝上點(diǎn)

12、朝上記作記作 i ， ,6, 2 , 1 i樣本空間為樣本空間為 S = 1, 2, 3, 4, 5, 6.621,eee都為隨機(jī)事件都為隨機(jī)事件, 更多的隨機(jī)事件是由多個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的更多的隨機(jī)事件是由多個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的, 如如:出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)=2, 4, 6, 出現(xiàn)出現(xiàn)1及及5點(diǎn)點(diǎn)=1, 5, 等等等等; 從集合角度看從集合角度看: 它們都是樣本空間的子集它們都是樣本空間的子集, 若該若該子集包含的某個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)子集包含的某個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn), 則相應(yīng)的則相應(yīng)的隨機(jī)事件就發(fā)生隨機(jī)事件就發(fā)生. 每一個(gè)基本結(jié)果每一個(gè)基本結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)事件，由單個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成的是一個(gè)隨機(jī)事件，由單個(gè)樣

13、本點(diǎn)構(gòu)成的, 叫叫 基本基本事件事件*;ZUST兩個(gè)特殊事件兩個(gè)特殊事件必然事件必然事件不可能事件不可能事件S 或或 例如，例如，在擲骰子試驗(yàn)中，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于擲出點(diǎn)數(shù)小于7” 是是必然事件必然事件; 而而 “擲出點(diǎn)數(shù)擲出點(diǎn)數(shù)8” 則是不可能事件則是不可能事件.ZUST注意理解下述概念的區(qū)別：注意理解下述概念的區(qū)別：隨機(jī)事件隨機(jī)事件 : 樣本空間的子集；樣本空間的子集；基本事件基本事件 : 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件必然事件 : 樣本空間樣本空間 本身；本身；不可能事件不可能事件 : 空集空集。事件發(fā)生：事件發(fā)生：試驗(yàn)中當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的某個(gè)

14、樣試驗(yàn)中當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), , 這一事件就發(fā)生這一事件就發(fā)生.ZUST 1.1.3 事件的關(guān)系及其運(yùn)算事件的關(guān)系及其運(yùn)算1事事A包含于事包含于事 B AB 事事A發(fā)生必事發(fā)生必事 B 發(fā)生發(fā)生.具體含義具體含義數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)學(xué)符號(hào)ZUST2A 與與 B 的并的并(和和)AB 事事A與事與事 B 至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生.A1 , A2 , ,An的并的并12nAAA 或或 1niiA A1 , A2 , ,An中至少有一發(fā)生中至少有一發(fā)生. A1 , A2 , 的并的并12AA 或或 1iiA A1 , A2 , 中中至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生. ZUST3A 與與 B

15、 的交的交(積積)AB 或或 AB事事A與事與事 B 同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生.A1 , A2 , ,An的交的交12nAAA 或或 1niiA A1 , A2 , ,An同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生. A1 , A2 , 的交的交12AA 或或 1iiA A1 , A2 , 同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生. ZUST4A 與與 B 的差的差A(yù)B 事事A發(fā)生但事發(fā)生但事 B 不發(fā)生不發(fā)生. ZUST5A 的逆事件的逆事件A事事A 不發(fā)生不發(fā)生. 對(duì)此有對(duì)此有,A A ,AAS .ASA ZUST6如果如果 ,AB 則叫則叫A與與 B 互不相容互不相容(或互斥或互斥). 即即 A 與與 B 不同時(shí)發(fā)生不同時(shí)發(fā)生,ZUST要熟知一

16、些常見(jiàn)的關(guān)系與運(yùn)算要熟知一些常見(jiàn)的關(guān)系與運(yùn)算, 比如比如: ,A BABAAB AABAB 且且 與與 互不相容互不相容,ABABBABAB 且且 ,ABAB 等等等等.ZUST設(shè)設(shè),21nAAA是有限或可數(shù)個(gè)事件，是有限或可數(shù)個(gè)事件，滿足：滿足：若其若其;, 2 , 1,)1( jijiAAji.)2(SAii 則稱則稱,21nAAA是一個(gè)是一個(gè)完備事件組完備事件組.顯然，顯然，A與與A構(gòu)成一個(gè)完備事件組構(gòu)成一個(gè)完備事件組.7完備事件組完備事件組ZUST事件運(yùn)算的規(guī)律事件運(yùn)算的規(guī)律: 設(shè)設(shè) A, B, C 為事件為事件, 則則(1) 交換律交換律:,ABBA ABBA (2) 結(jié)合律結(jié)合律:

17、,)()(CBACBA CBACBA)()( (3) 分配律分配律: ),()()(CABACBA )()()(CABACBA (4) 對(duì)偶律對(duì)偶律: ,BABA BABA ZUST 例例: 從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況. 記記 A= 兩件產(chǎn)品都是合格品兩件產(chǎn)品都是合格品， 則則 A兩件產(chǎn)品不都是合格品兩件產(chǎn)品不都是合格品，通常敘述為：通常敘述為： A兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品; 若記若記 Bi =取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品，i=1, 2, 則則 ,21BBA 21BBA 21BB 212121B

18、BBBBB ZUST 例：例：A, B, C 為三事件為三事件, 試表示以下事件試表示以下事件:(1) “三事恰好有一發(fā)生三事恰好有一發(fā)生” CBACBACBA(2) “A、B至少有一發(fā)生至少有一發(fā)生, 但但 C 不發(fā)生不發(fā)生”CBA)(或或CBA 或或CBACBAABC(3) “三事中不多于兩事發(fā)生三事中不多于兩事發(fā)生”CBACBACBACBACABCBABCA或或ABC或或ABC (4) 表示何事表示何事? CBACAB表示表示 “ A、B、C 中至少有兩個(gè)發(fā)生中至少有兩個(gè)發(fā)生”；也可表示成也可表示成CABCBABCAABCZUST 1.2.1 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義 概率是度量事件

19、發(fā)生的可能性大小的一種概率是度量事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)量指標(biāo)數(shù)量指標(biāo). 粗略地講粗略地講, 表示表示事件事件 A 發(fā)生的可能性大小的發(fā)生的可能性大小的數(shù)值數(shù)值, 叫做叫做事件事件 A 的概率的概率*, 記為記為 P(A). 了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，有非常重要的有非常重要的意義意義:例如，了解發(fā)生意外事故的可能性大小例如，了解發(fā)生意外事故的可能性大小, 以便確定保險(xiǎn)以便確定保險(xiǎn)金額金額;1.2 隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件的概率ZUST又如，了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，又如，了解來(lái)商場(chǎng)購(gòu)物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，可以合理配置服務(wù)人員可以

20、合理配置服務(wù)人員;再如再如, 了解每年最大洪水超警戒線可能性大小了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，可以可以合理確定堤壩高度合理確定堤壩高度.ZUST 事件發(fā)生的可能性大小是否客觀存在事件發(fā)生的可能性大小是否客觀存在? 對(duì)此對(duì)此頻率的穩(wěn)定性頻率的穩(wěn)定性給出了肯定回答給出了肯定回答; 同時(shí)給出同時(shí)給出了在一般的隨機(jī)試驗(yàn)中如何去估計(jì)事件概率的方法了在一般的隨機(jī)試驗(yàn)中如何去估計(jì)事件概率的方法. 一一. 頻率頻率 事件事件 A 在在 n 次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) nA 叫叫 A 發(fā)生的頻數(shù)發(fā)生的頻數(shù). A 在這在這 n 次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率： .)(nnAfAn 事

21、件事件發(fā)生的頻率有一重要特性發(fā)生的頻率有一重要特性穩(wěn)定性穩(wěn)定性.為此考慮在相同條件下進(jìn)行的多輪試驗(yàn)：為此考慮在相同條件下進(jìn)行的多輪試驗(yàn)：ZUST第二輪試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n2事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m2次次第 k 輪試驗(yàn)試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)nk事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)mk 次次事件事件A 在各輪試驗(yàn)中的頻率分別為在各輪試驗(yàn)中的頻率分別為:為說(shuō)明以上各頻率的取值情況為說(shuō)明以上各頻率的取值情況, 先看演示：先看演示：,11nm,22nm;kknm,試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n1事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)m1 次次第一輪試驗(yàn)擲硬幣試驗(yàn)擲硬幣試驗(yàn)擲骰子試驗(yàn)擲骰子試驗(yàn)ZUST 試驗(yàn)表明：試驗(yàn)表明： 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，同一事件在不同當(dāng)試驗(yàn)

22、次數(shù)較少時(shí)，同一事件在不同輪次的試驗(yàn)中的頻率有明顯差異輪次的試驗(yàn)中的頻率有明顯差異; 當(dāng)各輪試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)各輪試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí)，在各輪試驗(yàn)中事件充分大時(shí)，在各輪試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定出現(xiàn)的頻率都穩(wěn)定在某一常數(shù)在某一常數(shù) P(A) 附近，附近， 且此數(shù)不依賴于試驗(yàn)的次數(shù)且此數(shù)不依賴于試驗(yàn)的次數(shù)及及輪次輪次. 事件頻率隨試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大而趨于穩(wěn)定的事件頻率隨試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大而趨于穩(wěn)定的性質(zhì)叫性質(zhì)叫頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性. 顯然可用常數(shù)顯然可用常數(shù) P(A) 來(lái)度量事件來(lái)度量事件A 發(fā)生的可能性發(fā)生的可能性大小，大小， 此數(shù)為事件此數(shù)為事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率(統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)概率). 基于頻率穩(wěn)

23、定性，在實(shí)際中基于頻率穩(wěn)定性，在實(shí)際中: 當(dāng)概率不易求出當(dāng)概率不易求出時(shí)，人們常取試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率時(shí)，人們常取試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)事件的頻率作為概率的估計(jì)值的估計(jì)值.ZUST例如，例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這個(gè)若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對(duì)這個(gè)射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄射手在同樣條件下大量射擊情況進(jìn)行觀察記錄. 若他射擊若他射擊 n 發(fā)，中靶發(fā)，中靶 m 發(fā)，當(dāng)發(fā)，當(dāng) n 很大時(shí)，可用很大時(shí)，可用頻率頻率 m/n 作為他中靶概作為他中靶概率的估計(jì)率的估計(jì).再如：再如： Ar記圖示正方形區(qū)域?yàn)橛泩D示正方形區(qū)域?yàn)?，紅域?yàn)?，紅域?yàn)锳.現(xiàn)向區(qū)域現(xiàn)向區(qū)域內(nèi)

24、內(nèi)隨機(jī)地投點(diǎn)隨機(jī)地投點(diǎn) n 次，有次，有m次落在次落在 A 中中.以以 A 表示事件表示事件 “隨機(jī)點(diǎn)落在隨機(jī)點(diǎn)落在 A 中中”，由幾何方法算得：由幾何方法算得：,44/)(22 rrAP利用頻率和概率的關(guān)系，當(dāng)利用頻率和概率的關(guān)系，當(dāng) n充分大時(shí)，充分大時(shí)，,)(nmAP 于是：于是：.4nm ZUST 1.2.2 概率的公理化定義概率的公理化定義定義定義: 設(shè)設(shè) S 為為試驗(yàn)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間, 若對(duì)若對(duì)E 中每一中每一事件事件A, , 有一實(shí)數(shù)有一實(shí)數(shù) P(A) 與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 且滿足且滿足:1 非負(fù)性非負(fù)性： 對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A 有有 ;0)( AP2 規(guī)范性規(guī)范

25、性： ; 1)( SP3 可列可加性可列可加性： 對(duì)兩兩互不相容事件對(duì)兩兩互不相容事件 A1 , A2 , 有有 )(21 AAP;)()(21 APAP則稱則稱 P(A) 為為事件事件A 的概率的概率.注：注：應(yīng)理解概率是一滿足某些公理應(yīng)理解概率是一滿足某些公理(基本性質(zhì)基本性質(zhì))的集合函數(shù)的集合函數(shù); 并并著重掌握概率的性質(zhì)著重掌握概率的性質(zhì).ZUST性質(zhì)一：性質(zhì)一： . 0)( P* *性質(zhì)二性質(zhì)二( 有限可加性有限可加性)： 對(duì)兩兩互不相容事件對(duì)兩兩互不相容事件 A1 , A2 ,An , 有有 )(21nAAAP.)()()(21nAPAPAP 性質(zhì)三：性質(zhì)三： 若若 , 則則 BA

26、 ),()()(APBPABP ).()(APBP 性質(zhì)四：性質(zhì)四： 對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A , . 1)( AP* *性質(zhì)五性質(zhì)五( 逆的概率逆的概率)： ).(1)(APAP * *性質(zhì)六性質(zhì)六( 加法公式加法公式)： ()P AB ()()P AP B ().P AB ZUST例：例：設(shè)設(shè) A 發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為 1/5, A與與B 至少有一發(fā)生的概率為至少有一發(fā)生的概率為1/3, A 發(fā)生但發(fā)生但 B 不發(fā)生的概率為不發(fā)生的概率為 1/9 ; 求求(1) B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率; (2) A與與B 同時(shí)發(fā)生的概率同時(shí)發(fā)生的概率;(3) A與與B 都不發(fā)生的概率都不發(fā)生的概率;

27、 (4) A與與B 至少有一不發(fā)生的概率至少有一不發(fā)生的概率.解：解：已知已知, 5/1)( AP, 3/1)( BAP, 9/1)( BAP(1),BABAB ,BABA 且且)()()(BAPBAPBP ;92 (2)()()()(BAPBPAPABP ;454 (3)(1)(BAPBAP )(1BAP ;32 (4)()P AB )(1)(ABPABP 4541 ZUST 1.2.3 古典概型古典概型一一. 古典概型與古典概率古典概型與古典概率 古典概型古典概型是一種計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型是一種計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型, 是概率論是概率論最早的研究對(duì)象最早的研究對(duì)象.古典型隨機(jī)試驗(yàn)古典型隨機(jī)試驗(yàn)

28、1 有限性有限性： 試驗(yàn)中基本事件試驗(yàn)中基本事件 的總數(shù)有限的總數(shù)有限; 2 等可能性等可能性： 試驗(yàn)中每一基本事件試驗(yàn)中每一基本事件 發(fā)生的可能性相同發(fā)生的可能性相同. 注：注：等可能性是種假設(shè)等可能性是種假設(shè), 應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判斷應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況來(lái)判斷, 一般可由一般可由對(duì)稱性或某種均衡性對(duì)稱性或某種均衡性來(lái)判斷來(lái)判斷.ZUST2 3479108615 例如例如，一個(gè)袋子中裝有，一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球個(gè)大小、形狀完全相同的球. 將球編號(hào)為將球編號(hào)為110 . 把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球. 由于抽取時(shí)這些球是完全平等的由于抽取時(shí)這些球

29、是完全平等的,因而可認(rèn)為因而可認(rèn)為10個(gè)球中的任一個(gè)被取出個(gè)球中的任一個(gè)被取出的機(jī)會(huì)是相等的，均為的機(jī)會(huì)是相等的，均為1/10. 若將抽球過(guò)程看作試驗(yàn)若將抽球過(guò)程看作試驗(yàn), 則抽到則抽到某一球就是試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果某一球就是試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果(或或基本事件基本事件), 故試驗(yàn)中每個(gè)基本事件故試驗(yàn)中每個(gè)基本事件 出現(xiàn)的可能性相同出現(xiàn)的可能性相同 . 再如再如: 擲均勻硬幣擲均勻硬幣, 擲均勻骰子擲均勻骰子及產(chǎn)品的抽樣檢測(cè)等及產(chǎn)品的抽樣檢測(cè)等.ZUST 研究古典型隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型叫研究古典型隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型叫古典概型古典概型. 古典概型中的概率叫古典概型中的概率叫古典概率古典概率. 在古典概型

30、中在古典概型中, 事件事件 A 的概率的概率 )(APA包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù) 基本事件的總數(shù)基本事件的總數(shù) 這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這樣就把求概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問(wèn)題計(jì)數(shù)問(wèn)題. 排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具 .ZUST1. 基本計(jì)數(shù)原理基本計(jì)數(shù)原理二二. 排列、組合公式排列、組合公式(1) 加法原理加法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有 k 種方式種方式:第一種方式有第一種方式有n1種方法種方法, 第二種方式有第二種方式有 n2 種方法種方法, 第第 k 種方式有種方式有 nk 種方法種方法;無(wú)論通過(guò)哪種方式都可以完成這件事無(wú)論通過(guò)哪種方式都可以完成

31、這件事,則完成這件事總共有則完成這件事總共有 n1 + n2 + + nk 種方法種方法 .ZUST例如例如，某人要從甲地到乙地去某人要從甲地到乙地去, 可以乘火車可以乘火車,也可以乘輪船也可以乘輪船; 火車有兩班火車有兩班, 輪船有三班輪船有三班. 乘坐不同乘坐不同班次的火車和輪船班次的火車和輪船，共有幾種方法共有幾種方法?2 + 3 種種(2) 乘法原理乘法原理設(shè)完成一件事有設(shè)完成一件事有 k 個(gè)步驟個(gè)步驟:第一步有第一步有n1種方法種方法,第二步有第二步有 n2 種方法種方法, 第第 k 步有步有 nk 種方法種方法;必須通過(guò)每一步驟必須通過(guò)每一步驟, 才能完成這件事，才能完成這件事，則

32、完成這件事總共有則完成這件事總共有 n1 n2 nk 種不同方法種不同方法 .ZUST例如例如，一人從杭州經(jīng)上海到北京一人從杭州經(jīng)上海到北京, 杭州至上?？紤]杭州至上海考慮三種交通方式三種交通方式, 上海至北京考慮兩種交通方式上海至北京考慮兩種交通方式, 問(wèn)問(wèn)他從杭州到北京可以有多少種交通方式他從杭州到北京可以有多少種交通方式？32 種種2. 排列、組合公式排列、組合公式排列和組合的共同點(diǎn)排列和組合的共同點(diǎn):組合不管次序組合不管次序; 而排列則考慮次序而排列則考慮次序, 次序次序不同的是不同的排列不同的是不同的排列.考慮元素的不同考慮元素的不同.區(qū)別在于區(qū)別在于: 例如例如: 由紅藍(lán)綠三球構(gòu)成

33、一組合由紅藍(lán)綠三球構(gòu)成一組合而由紅藍(lán)綠三球構(gòu)成的排列有而由紅藍(lán)綠三球構(gòu)成的排列有6 種種ZUST從從3個(gè)元素個(gè)元素取出取出2個(gè)的組合有個(gè)的組合有:組合總數(shù)為組合總數(shù)為 3 , 記作記作23C或或3.2 從從3個(gè)元素個(gè)元素取出取出2個(gè)的排列有個(gè)的排列有:排列總數(shù)為排列總數(shù)為 6 , 記作記作23P或或23 .AZUST(1) 排列排列1 選排列選排列 從從n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中無(wú)放回地?zé)o放回地取取 k 個(gè)個(gè) (1 k n)的的不同排列總數(shù)為不同排列總數(shù)為:n(1)n (2)n (1)nkknA .knP或或當(dāng)當(dāng)k = n時(shí)稱為全排列時(shí)稱為全排列:. !nAnn 2 可重復(fù)的排列可重復(fù)的排列

34、從從n個(gè)不同元素中個(gè)不同元素中有放回地有放回地取取 k 個(gè)的不同排列個(gè)的不同排列總數(shù)為總數(shù)為:n n n k 個(gè)個(gè).kn ZUST(2) 組合組合 從從n個(gè)不同元素中取個(gè)不同元素中取 k 個(gè)（個(gè)（1 k n)的不同的不同 組合的總數(shù)為組合的總數(shù)為:knC kn或或!kAkn .)!( !knkn 規(guī)定規(guī)定:. 10 nC此外有此外有:,knnknCC .11knknknCCC (3) 二項(xiàng)式展開(kāi)二項(xiàng)式展開(kāi).)(0knknkknnbaCba ZUST三三. 古典概率計(jì)算舉例古典概率計(jì)算舉例 在古典概型中在古典概型中, 事件事件 A 的概率的概率: )(APA包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù) 基本

35、事件的總數(shù)基本事件的總數(shù) 計(jì)算古典概率的一般步驟計(jì)算古典概率的一般步驟:(1) 確定確定以什么為基本事件以什么為基本事件: 明確其內(nèi)涵明確其內(nèi)涵, 注意保證等可能性注意保證等可能性. (2) 算出基本事件的總數(shù)及算出基本事件的總數(shù)及 A 包含的基本事件數(shù)包含的基本事件數(shù); 在計(jì)算時(shí)在計(jì)算時(shí)應(yīng)避免重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏應(yīng)避免重復(fù)計(jì)數(shù)或遺漏; 在選用計(jì)數(shù)方法時(shí)應(yīng)保持在選用計(jì)數(shù)方法時(shí)應(yīng)保持一致一致. (3) 算出算出 P(A). ZUST 例例:向桌面擲向桌面擲 2 枚均勻硬幣枚均勻硬幣, 求落下后向上的面為求落下后向上的面為 一正一反的概率一正一反的概率.解解:注意到注意到 2 硬幣是可識(shí)別的硬幣是可識(shí)別

36、的, ,因而共有因而共有 4 個(gè)等可能的基本事件個(gè)等可能的基本事件: :( (正正, ,正正),),( (正正, ,反反),), ( (反反, ,正正),), ( (反反, ,反反););記記 A = 兩硬幣落下后向上的面為一正一反兩硬幣落下后向上的面為一正一反,則則 A 包含包含 2 個(gè)基本事件個(gè)基本事件, ,)(AP. 5 . 042 ZUST 例例:某人有一串式樣相同的鑰匙某人有一串式樣相同的鑰匙 8 把把, 只有一把能將門(mén)只有一把能將門(mén)打開(kāi)打開(kāi), 現(xiàn)從中任取現(xiàn)從中任取3把去試開(kāi)把去試開(kāi), 求能將門(mén)打開(kāi)的概率求能將門(mén)打開(kāi)的概率.解解:8 把鑰匙中任取把鑰匙中任取 3 把的每一種取法為一基

37、本事件把的每一種取法為一基本事件, , 若不計(jì)次序若不計(jì)次序, , 則基本事件的總數(shù)為則基本事件的總數(shù)為;38C記記 A = 8 把鑰匙中任取把鑰匙中任取 3 把把, , 能將門(mén)打開(kāi)能將門(mén)打開(kāi),則則 A 包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為;27C)(AP3827CC .83 若考慮次序若考慮次序, ,則則)(AP= 38A27C33A 或或)(AP)(1AP 1.38C37CZUST 例例（球在盒中的分布問(wèn)題）：（球在盒中的分布問(wèn)題）：有有n個(gè)編了號(hào)的球，每個(gè)球個(gè)編了號(hào)的球，每個(gè)球都以相同的概率都以相同的概率 1 / N (Nn)被放入被放入 N 個(gè)盒子的每一盒中個(gè)盒子的每一盒中, 求以下事

38、件的概率：求以下事件的概率： A=指定的指定的n個(gè)盒中各有一球個(gè)盒中各有一球， B=每個(gè)盒中至多有一球每個(gè)盒中至多有一球， C =某指定的盒中恰有某指定的盒中恰有m個(gè)球個(gè)球 解解:n個(gè)球放入個(gè)球放入 N 個(gè)盒中的每一種放法為一基本事件個(gè)盒中的每一種放法為一基本事件, , 基本事件的總數(shù)為基本事件的總數(shù)為,nN A 包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為, !n;!)(nNnAP B 包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為,nNA;)(nnNNABP C 包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為,)1(mnmnNC .)1()(nmnmnNNCCP ZUST 許多表面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一許多表

39、面上提法不同的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上屬于同一類型類型, 如以下問(wèn)題都可歸結(jié)為分球入盒問(wèn)題如以下問(wèn)題都可歸結(jié)為分球入盒問(wèn)題: 1. 有有n個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率個(gè)人，每個(gè)人都以相同的概率 1/N (Nn)被分被分在在 N 間房的每一間中，求指定的間房的每一間中，求指定的n間房中各有一人的概率間房中各有一人的概率. 2. 有有n個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是任一天的概率為1/365. 求這求這n (n 365)個(gè)人的生日互不相同的概率個(gè)人的生日互不相同的概率. 3. 某城市每周發(fā)生某城市每周發(fā)生7次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率次車禍，假設(shè)每天發(fā)生車禍的概率相同相同. 求每天恰好

40、發(fā)生一次車禍的概率求每天恰好發(fā)生一次車禍的概率. 4. 某城市的電話號(hào)碼由某城市的電話號(hào)碼由8個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可能是從從0- -9這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由八個(gè)不同數(shù)字這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè)，求電話號(hào)碼由八個(gè)不同數(shù)字組成的概率組成的概率. .ZUST 例例：袋中有袋中有 a 只白球、只白球、b 只紅球，從中不放回地取只紅球，從中不放回地取 n 只，只， 求恰有求恰有m只白球的概率只白球的概率.解解:記記 A = 不放回地取不放回地取 n 只，恰有只，恰有m 只白球只白球,則則 ( )P A= na bC maCn mbC （超幾何概率）（超幾何概率）. 注：

41、注：（1）在產(chǎn)品質(zhì)量的抽樣檢測(cè)中的應(yīng)用）在產(chǎn)品質(zhì)量的抽樣檢測(cè)中的應(yīng)用. （2）若取球是有放回的，）若取球是有放回的， 則從袋中取則從袋中取 n 只，恰有只，恰有m只白球只白球的概率的概率P= ()nab mnCman mb ,)()(mnmmnbabbaaC 為二項(xiàng)概率為二項(xiàng)概率.ZUST 例例：袋中有袋中有 a 只白球、只白球、b 只紅球，現(xiàn)從中依次將球一只只只紅球，現(xiàn)從中依次將球一只只取出不放回，求第取出不放回，求第 m 次取到白球的概率次取到白球的概率 (1ma+b).解解:設(shè)想將球編號(hào)，取球設(shè)想將球編號(hào)，取球 m 只，則只，則 a+b 只球中任取只球中任取 m 只只的每一種取法為基本事

42、件，的每一種取法為基本事件， 基本事件總數(shù)為基本事件總數(shù)為 ,mbaA 記記 B = 不放回地取不放回地取 m 只，第只，第m 只為白球只為白球,則則 B 包含的基本事件數(shù)為包含的基本事件數(shù)為 a11,ma bA 故故 mbambaAAaBP 11)(.baa 注：注： 此例結(jié)果與此例結(jié)果與 m 無(wú)關(guān)，即每次取到白球的概率相等；無(wú)關(guān)，即每次取到白球的概率相等； 說(shuō)明抽簽及抓鬮中，每一人抽到某簽或某鬮的概率說(shuō)明抽簽及抓鬮中，每一人抽到某簽或某鬮的概率 與先后次序無(wú)關(guān)，機(jī)會(huì)均等與先后次序無(wú)關(guān)，機(jī)會(huì)均等.ZUST1.2.4 幾何概型幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ凸诺涓判椭豢紤]了

43、有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ拖旅嫖覀冞M(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)下面我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的域或空間立體等的何概型何概型.1.設(shè)樣本空間設(shè)樣本空間S是平面上是平面上某個(gè)區(qū)域某個(gè)區(qū)域, 它的面積記它的面積記為為(S) .2. 向區(qū)域向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一上隨機(jī)投擲一點(diǎn)點(diǎn), 這里這里“隨機(jī)投擲一隨機(jī)投擲一等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型幾幾ASZUST幾何概型幾何概型點(diǎn)點(diǎn), 這里這里“隨機(jī)投擲一隨機(jī)投擲一ZUST幾何概型幾何概型點(diǎn)點(diǎn), 這里這里“隨機(jī)投擲一隨機(jī)投擲一點(diǎn)點(diǎn)”的含義是指的含義是指只與這區(qū)域面積成比例只與這區(qū)域面積成比例, 而與這部分區(qū)域

44、的位置和形而與這部分區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)狀無(wú)關(guān).3. 設(shè)事件設(shè)事件A是是S的某個(gè)區(qū)域的某個(gè)區(qū)域, 它的面積為它的面積為(A), 則向則向區(qū)域區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點(diǎn)上隨機(jī)投擲一點(diǎn), 該點(diǎn)落在區(qū)域該點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為的概率為)()()(SAAP 幾何概率幾何概率( )*注注: 若樣本空間若樣本空間S為一線段或一空間立體為一線段或一空間立體,則向則向S“投投點(diǎn)點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用的相應(yīng)概率仍可用 ( )*式來(lái)確定式來(lái)確定, 但但)( 應(yīng)理解應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積為長(zhǎng)度或體積.完完該點(diǎn)落入該點(diǎn)落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性ZUST例例(會(huì)面問(wèn)題會(huì)面問(wèn)題)間在某地會(huì)面間在某地會(huì)面,

45、, 先到者等候另一人先到者等候另一人 20 分鐘分鐘, ,如果每個(gè)人如果每個(gè)人過(guò)時(shí)過(guò)時(shí)試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率. .解解記記 7 點(diǎn)為計(jì)算時(shí)刻的點(diǎn)為計(jì)算時(shí)刻的 0 時(shí)時(shí), , 以分鐘單位以分鐘單位, ,yx,分別記甲、乙達(dá)到指定地點(diǎn)的時(shí)刻分別記甲、乙達(dá)到指定地點(diǎn)的時(shí)刻,則樣本空間則樣本空間.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“兩人能會(huì)面兩人能會(huì)面”, , 則顯然有則顯然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA就離開(kāi)就離開(kāi). .到達(dá)到達(dá), ,為為甲、乙兩人相約在甲、乙兩人相約在 7 點(diǎn)到點(diǎn)到 8 點(diǎn)之點(diǎn)之可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)可在指定的

46、一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)ZUST解解樣本空間樣本空間.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“兩人能會(huì)面兩人能會(huì)面”, , 則顯然有則顯然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA為為ZUST解解樣本空間為樣本空間為.600 ,600| ),( yxyxS以以A表示事件表示事件“兩人能會(huì)面兩人能會(huì)面”, , 則顯然有則顯然有20| ,),( | ),( yxSyxyxA根據(jù)題意根據(jù)題意, , 這是一個(gè)幾何概這是一個(gè)幾何概于是于是)(AP222604060 )()(SA .95 型問(wèn)題型問(wèn)題, ,ZUST 1.3.1 條件概率條件概率（1） 在事件在事件 A 發(fā)生的條件下事件發(fā)

47、生的條件下事件 B 發(fā)生的概率發(fā)生的概率為為條件概率條件概率，記作，記作 P(B | A) .一般一般 P(B | A) P(B), （2）計(jì)算公式計(jì)算公式:,)()()|(APABPABP ).0)( AP（3）概率具有的性質(zhì)也適用于條件概率概率具有的性質(zhì)也適用于條件概率, 但要注但要注意條件不能變、不能丟棄意條件不能變、不能丟棄.1.3 條件概率條件概率ZUST 1.3.2 乘法公式乘法公式),|()()(ABPAPABP );0)( AP或或),|()()(BAPBPABP ).0)( BP進(jìn)一步：進(jìn)一步：, 0)(321 AAAP若若則則 )(321AAAP)|(213AAAP)(21

48、AAP)|(213AAAP )|(12AAP).(1AP 利用乘法公式可計(jì)算多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率利用乘法公式可計(jì)算多個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.ZUST例例: 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子, 已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn), 問(wèn)問(wèn)“擲出擲出 點(diǎn)數(shù)之和不小于點(diǎn)數(shù)之和不小于10” 的概率是多少的概率是多少? 解解:設(shè)設(shè) A = 擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 , B = 第一顆擲出第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn),欲求概率欲求概率),|(BAP解法解法1 (縮減樣本空間法縮減樣本空間法): )|(BAP.63B發(fā)生后的縮減樣本空間發(fā)生后的縮減樣本空間 所含基本事件的總數(shù)所含基本事件的總數(shù)在縮減樣本空間中

49、在縮減樣本空間中 A所含基本事件數(shù)所含基本事件數(shù)解法解法2 (公式法公式法):)|(BAP)()(BPABP 366363 .21 ZUST例例: n 個(gè)人排成一列個(gè)人排成一列, 已知甲總排在乙前已知甲總排在乙前, 求乙緊跟甲后求乙緊跟甲后的概率的概率? 解解:設(shè)設(shè) A = 甲在乙前甲在乙前 , B = 乙緊跟甲后乙緊跟甲后,AB 欲求概率欲求概率),|(ABP解法解法1 (縮減樣本空間法縮減樣本空間法): )|(ABP)!2(2 nCn)!1( n.2n 解法解法2 (公式法公式法):)|(ABP)()(APABP )()(APBP 21!)!2)(1(nnn .2n ZUST例例: 設(shè)某種

50、透鏡設(shè)某種透鏡, 第一次落下時(shí)打破的概率為第一次落下時(shí)打破的概率為 1/2; 若第一次落下未打破若第一次落下未打破, 則第二次落下時(shí)打破的概率為則第二次落下時(shí)打破的概率為7/10; 若前兩次落下未打破若前兩次落下未打破, 則第三次落下時(shí)打破的概率為則第三次落下時(shí)打破的概率為9/10; 求透鏡落下三次而未打破的概率求透鏡落下三次而未打破的概率. 解解:設(shè)設(shè) B = 透鏡落下三次而未打破透鏡落下三次而未打破, Ai = 透鏡第透鏡第i 次落下時(shí)打破次落下時(shí)打破, i =1, 2, 3,已知已知 , 2/1)(1 AP,10/7)|(12 AAP,10/9)|(213 AAAP欲求概率欲求概率P(B

51、) ;而而 ,321AAAB )()(321AAAPBP )()|()|(112213APAAPAAAP 21103101 .2003 ZUST 1.3.3 全概率公式和貝葉斯公式全概率公式和貝葉斯公式 全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率概率, 是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.例例(抓鬮問(wèn)題抓鬮問(wèn)題): 一組一組 n 人抓人抓 n 個(gè)鬮個(gè)鬮(其中其中 m 個(gè)標(biāo)個(gè)標(biāo)“有有”), 求第二人抓到求第二人抓到 “有有”的概率的概率.解解:設(shè)設(shè) A = 第二人抓到第二人抓到“有有”, B= 第一人抓到第一人抓到“有有”, 則則 ,A

52、BBAA 且且 , ABBA)()()(ABPBAPAP )|()(BAPBP )|()(BAPBP nm 11 nmnmn 1 nm.nm ZUST 設(shè)設(shè)S為試驗(yàn)的樣本空間，事件為試驗(yàn)的樣本空間，事件B1 , B2 , Bn 兩兩兩兩互不相容，且互不相容，且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 全概率公式全概率公式:SBnii 1 將此例中所用的方法推廣到一般的情形，將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.(B1, B2, Bn 叫叫S 的一劃分的一劃分或或完備事件組完備事件組),.)()()(1 niiiBA

53、PBPAP則對(duì)任一事件則對(duì)任一事件A，有，有ZUST(1) 全概率公式的來(lái)由全概率公式的來(lái)由: “全全”部概率部概率P(A)被分解成了許被分解成了許多部分概率之和多部分概率之和.說(shuō)明說(shuō)明:(2) 由于由于,21ABABABAn 因此因此 A 總是伴隨著總是伴隨著 B1 , B2 , Bn 中的某個(gè)中的某個(gè) Bi 的出現(xiàn)而出現(xiàn)的出現(xiàn)而出現(xiàn), 可以說(shuō)可以說(shuō): 每一每一 Bi都可能導(dǎo)致都可能導(dǎo)致 A 發(fā)生發(fā)生; B1 , B2 , Bn 是導(dǎo)致是導(dǎo)致 A 發(fā)生的所有原發(fā)生的所有原因，故因，故 A 發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生的概率是各原因引起 A 發(fā)生概率的總和發(fā)生概率的總和. 由此可形象地把全概率公

54、式看成是由此可形象地把全概率公式看成是 “由原因推結(jié)果由原因推結(jié)果”.(3) 應(yīng)用時(shí)應(yīng)用時(shí), 先分析在哪些情況先分析在哪些情況(事件事件)下下 A 會(huì)發(fā)生會(huì)發(fā)生, 列出列出 A與這些事件的關(guān)系與這些事件的關(guān)系, 再作計(jì)算再作計(jì)算.ZUST例例: 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1, 2, 3，1號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有1個(gè)紅球個(gè)紅球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅紅3白球，白球，3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球紅球. 某人從某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解解:設(shè)設(shè) A = 取得紅球取得紅球, Bi = 取到第取到

55、第i 號(hào)箱號(hào)箱, i =1, 2, 3,則則 ,321ABABABA 且且 B1 A, B2 A, B3 A 兩兩互不相容兩兩互不相容，)()()()(321ABPABPABPAP )|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP 31 51 31 52 31 1 .158 ZUST或者問(wèn)或者問(wèn): 該球取自哪號(hào)箱的可能性最大該球取自哪號(hào)箱的可能性最大? 實(shí)際中還有一類問(wèn)題實(shí)際中還有一類問(wèn)題: 是是“已結(jié)知果求原因已結(jié)知果求原因”; 它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小求各原因發(fā)生的可能性大小

56、.例如例如: 有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為有三個(gè)箱子，分別編號(hào)為1, 2, 3，1號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有1個(gè)紅球個(gè)紅球4個(gè)白球，個(gè)白球，2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅紅3白球，白球，3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球紅球. 某人從三某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球, 求該球是求該球是取自取自1號(hào)箱的概率號(hào)箱的概率 .解解:設(shè)設(shè) A = 取得紅球取得紅球, Bi = 取到第取到第i號(hào)箱號(hào)箱, i =1, 2, 3,321ABABABA 且且 B1 A, B2 A, B3 A 兩兩互不相容兩兩互不相容，求求 P(B1 | A), )()()|(11APABPABP 3

57、1)()(kkkBAPBP)|()(11BAPBP 158151.81 ZUST 設(shè)事件設(shè)事件B1 , B2 , Bn 是樣本空間是樣本空間 S 的一個(gè)劃分，的一個(gè)劃分，且且 P( Bi ) 0 (i =1, 2, , n), 貝葉斯公式貝葉斯公式:,)()()()()|(1 nkkkiiiBAPBPBAPBPABP則對(duì)任一事件則對(duì)任一事件A (P( A ) 0 )，有，有(i =1, 2, , n). 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯(Bayes)給出給出. 它是在觀察到它是在觀察到事件事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率發(fā)生的每個(gè)原因的概

58、率. 貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因確定某結(jié)果發(fā)生的最可能原因.ZUST 例例 : 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為的概率為0.05，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性， 問(wèn)問(wèn)此人是癌癥患者的概率有多大此人是癌癥患者的概率有多大?解解:設(shè)設(shè) A = 試驗(yàn)反映是陽(yáng)性試驗(yàn)反映是陽(yáng)性, C = 抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥,

59、則則 ,ACCAA 且且 , ACCA已知已知 ,005. 0)( CP,995. 0)( CP,95. 0)|( CAP,05. 0)|( CAP 求求 P(C | A).)()()|(APCAPACP )|()()|()()|()(CAPCPCAPCPCAPCP 05. 0995. 095. 0005. 095. 0005. 0 .0872. 0 ZUST現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來(lái)分析一下結(jié)果的意義: 如果不做試驗(yàn)如果不做試驗(yàn), 抽查一人抽查一人, 他是患者的概率他是患者的概率 P(C)=0.005 ; 患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是患者陽(yáng)性反應(yīng)的概率是0.95, 若試驗(yàn)后得陽(yáng)性反應(yīng)若試驗(yàn)后得陽(yáng)

60、性反應(yīng), 則根據(jù)則根據(jù)試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為試驗(yàn)得來(lái)的信息，此人是患者的概率為 P(C | A)=0.0872; 說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.從從 0.005 增加到增加到0.0872, 增加了增加了17倍多倍多.1. 這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無(wú)意義？2. 檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥檢出陽(yáng)性是否一定患有癌癥? 試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性試驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,此人確患癌癥的概率為此人確患癌癥的概率為 P(CA)=0.0872, 即使你檢出陽(yáng)性，也不必過(guò)早下結(jié)論你有癌癥，這種即使你檢出陽(yáng)性，也不必