數(shù)值積分矩形公式的復(fù)化及誤差分析

1、數(shù)值積分矩形公式的復(fù)化及誤差分析張曉霞(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730070)摘 要 ：先推導(dǎo)得出中矩形公式、左矩形公式 ,然后對(duì)其進(jìn)行復(fù)化，但由于結(jié)果不理想,再對(duì)兩個(gè)公式進(jìn)行遞推 ,求出它們的遞推化公式以及對(duì)其誤差進(jìn)行分析,最后舉例說(shuō)明幾種逼近公式誤差的變化情況 ;關(guān)鍵詞 ：中矩形公式 ,左矩形公式 ,誤差分析 ,復(fù)化公式 ,公式遞推化1 引言以前我們?cè)谶M(jìn)行積分運(yùn)算時(shí) ,都是先對(duì)被積函數(shù)求出其原函數(shù),然后代值進(jìn)行計(jì)算 ,但不是每個(gè)被積函數(shù)都是能輕易找到其原函數(shù)的,有的甚至找不到它的原函數(shù) ,這就要求我們找出另外一種方法來(lái)研究積分運(yùn)算首先我們來(lái)定義即將用到的左矩形公式和中

2、矩形公式：b對(duì)于積分 I f (x)dx ,由積分中值定理知 , 一點(diǎn)(a, b) ,使得aba f (x)d(x)=(b-a) f ( )aA 若用區(qū)間左端點(diǎn) a 的函數(shù)值 f (a)作為 f ( )的近似值 ,則得到我們熟悉的左矩形公式：f ( ) 2J (b a)f (a) ,其積分余項(xiàng)RJ I J (b a)2(1)2B 若改用區(qū)間中點(diǎn) c a b 的函數(shù)值 f(a b)作為 f( )的近似值 ,則得到中矩形 22公式：R (b a) f (a b) ,其積分余項(xiàng)RR I J f ( ) (b a)3( 2)2 24由于我們導(dǎo)出的左矩形公式和中矩形公式對(duì)積分值的近似估計(jì)誤差很大,所以我

3、們采用復(fù)化求積公式來(lái)近似估計(jì)積分的準(zhǔn)確值2 復(fù)化公式所謂復(fù)化1就是指將一個(gè)積分的積分區(qū)間 a,b 劃分為 n等分,在每一個(gè)小區(qū)間 xk,xk 1上應(yīng)用左、中矩形公式求出積分值Ik(k 1,2, ,n) ,然后對(duì) I k求和,近似估計(jì)出積分 I 的積分值的算法21 復(fù)化左矩形公式ba將積分區(qū)間 a,b 劃分為 n等分,步長(zhǎng)h b a,分點(diǎn) xk a kh,k 0,1, ,n.n對(duì)每一個(gè)小區(qū)間 xk ,xk 1 采用左矩形公式有b n 1 xk 1n 1n 1I a f(x)dxxxk 1 f ( x)dx(xk 1 xk)f(xk) h f(xk) Jn(3)k 0 xkk 0k 0J n稱(chēng)為復(fù)

4、化左矩形求積公式 ,下標(biāo)n表示將區(qū)間 a,b劃分為 n等分22 復(fù)化中矩形公式類(lèi)似于復(fù)化左矩形公式,對(duì)每一個(gè)小區(qū)間xk,xk 1采用中矩形公式,且令xk xk 1,則有a f (x)dxn1k0xk 1xkf (x)dxn1k0(xk1 xk)f(xk 12)n1k 0 f(xk 12)Rn10Rn稱(chēng)為復(fù)化中矩形求積公式 ,下標(biāo) n表示將區(qū)間 a,b 劃分為 n等分 33 復(fù)化公式的誤差分析31 復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)公式由 (1) 式對(duì)每個(gè)小區(qū)間有誤差估計(jì)式Ik x f(x)dx (xk1 xk)f(xk) f ( k)(xk1 xk)2 hf(xk) f ( k)h2xk2 2其中 k介

5、于 xk,xk 1 之間,將上式代入(3)中則有b n 1 n 1 I f (x)dx I kak 0 k 0xkxkf (x)dx1(xk 1 xk)f (xk)012k1(xk 10xk)2f( k)h2 n2kf( k)n1h f(xk )k0Rn(f ) I Jn2 n 1h2 k 0 f(2k0k)h(b a) 1 n2 n k由于 f (x) 在 a,b 上連續(xù) , k 均為a,b 的內(nèi)點(diǎn) ,所以由中值定理知,存在一點(diǎn)a,b ,從而復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)式為1使得 1nn1k0Rn(f) I Jn h(b2 a) f ( )a,b5)Rn(f) 稱(chēng)為復(fù)化左矩形公式的誤差估計(jì)式,下

6、標(biāo) n表示將區(qū)間 a,b 劃分為 n等分32 復(fù)化中矩形公式的誤差估計(jì)公式類(lèi)似于復(fù)化左矩形的誤差公式,同樣可得復(fù)化中矩形公式的誤差估計(jì)公式En(f)I Rn3 n 124k0f(k)2h2(b a) 1n k 024n1f ( k )其中 k (xk,xk 1) ,由于 f(x)在a,b 上連續(xù) ,k 均為a,b 的內(nèi)點(diǎn) ,所以由中值定理知 ,存在一點(diǎn)1a,b ,使得 1 nn1f ( ) ,所以有En( f) IRn2h2(b a) f ( ),24a,b6)4 矩形公式的遞推化雖然復(fù)化求積方法對(duì)提高精度是行之有效的,但在使用求積公式之前必須給出合適的步 長(zhǎng),步長(zhǎng)太長(zhǎng) ,精度難以保證 ,步長(zhǎng)

7、太小 ,又會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量的增加 而事先給出一個(gè)合適的步長(zhǎng)往 往是困難的 ,那到底怎樣選取步長(zhǎng)才是合適的呢實(shí)際計(jì)算中常常采用變步長(zhǎng)的方案 ,即在步長(zhǎng)逐次分半(即步長(zhǎng)二分)的過(guò)程中,反復(fù)利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算 ,直至所求得的積分值滿(mǎn)足精度要求為止41 左矩形公式的遞推公式及誤差變步長(zhǎng)過(guò)程中左矩形的計(jì)算規(guī)律： 將求積區(qū)間 a,b 分成 n等份,則一共有 n 1個(gè)分點(diǎn) ,按左矩形公式計(jì)算 Jn ,需要提供n 個(gè)函數(shù)值 ,如果將積分區(qū)間再分一次 ,則分點(diǎn)增至 2n 1個(gè) ,將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系xk xk 1 xk 1 , k 2 2f (xk 1) ,其中 代2起來(lái)加以考慮 ,注意到每個(gè)子區(qū)間 xk

8、,xk 1 經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn) 利 用復(fù)化的左矩形公式求得 該子區(qū) 間上的積分值為 h f(xk)2h b a 表二分前的步長(zhǎng) ,將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得h n 1hJ 2nf ( xk ) f ( xk 12 )2 k 02 k 0n1f ( xk )h n 1112f(xk 21) 2 Jn2 Rn2 k 0227)hb 從而根據(jù)左矩形公式的誤差公式 I J n h n 2 af (x)dx h f(b) f (a) 得,積分值的截?cái)嗾`差大致與 h成正比,因此當(dāng)步長(zhǎng)二分后 ,誤差將減至原有誤差的 1/2,即有 I J2n 1I Jn2Jn與 J2n 相當(dāng)接近 ,Jn,因此 ,如果

9、用這個(gè)移項(xiàng)整理得 I J2n J2n Jn ,由此可見(jiàn)只要二分前后的兩個(gè)積分值 就可以保證計(jì)算結(jié)果誤差很小 ,積分近似值 J2n 的誤差大致等于 J2n誤差值作為 J2n 的一種補(bǔ)償 ,可以期望得到的JJ2nJ2nJn2J 2n J n可能是更好的結(jié)果42 中矩形公式的遞推公式及誤差同理對(duì)中矩形公式也一樣 ,將求積區(qū)間 a,b 分成 n等份,則一共有 n 1個(gè)分點(diǎn) ,按中矩 形公式計(jì)算 Rn ,需要提供 n 1個(gè)函數(shù)值 ,如果將積分區(qū)間再分一次 ,則分點(diǎn)增至 2 n +1 個(gè),將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來(lái)加以考慮 ,注意到每個(gè)子區(qū)間 xk,xk 1 經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn) xk 1xk xk

10、 1,在上述二分后的子區(qū)間上利用復(fù)化的中矩形公式求得該子區(qū)間上的積分值為f ( xk 1 )4f (xk 3 ) ,同樣 h k4b a 代表二分前的步長(zhǎng) , 將每個(gè)子區(qū)間 n上的積分值相加,得R2nhn2kf (xk 41 )f (xk 43 )8)根據(jù)中矩形公式的誤差公式h2b f (x)dx h f (a) f (b) 得 ,積分值 a2的截?cái)嗾`差大致與h2 成正比,因此當(dāng)步長(zhǎng)二分后,誤差將減至原有誤差的1/4 ,即有I R 1II RR2nn 41 ,移項(xiàng)整理得 IR2n 1(R2n Rn),同樣 ,當(dāng)二分前后的兩個(gè)積分值Rn與3R2n 相差很近時(shí),就可以保證計(jì)算結(jié)果誤差很小,積分近似

11、值 R2n 的誤差大致等于13(R2n Rn) ,因此,如果用這個(gè) f(xk) 誤差值作為31 R R2n 3 (R2n3可能結(jié)果比較理想5 矩圓公式R2n 的一種補(bǔ)償 ,則可以得到Rn1nR24)Rn由右圖可見(jiàn) ,這樣分割后 , 形成一些小網(wǎng)格 ,以上一些工作我們就是 通過(guò)計(jì)算這些小的矩形條的面積之和進(jìn)而估計(jì)出曲線(xiàn) f (x) 在 a,b 上所圍的面積那么除此之外還有無(wú)別的近似計(jì)算方法呢首先 ,我們?cè)囅?,如右圖所示 ,把網(wǎng)格頂端的一些剩下的不全的網(wǎng)格1近似為底為 h,高為 f(xk 1) f (xk )的三角形 ,那么前面我們按照左矩形公式算得的矩形條的面積就為bIf ( x)dxahhh

12、hf(xk)f (xk 1) f(xk) ,整理后為 f(xk)f (xk 1),那么222n1xk 1f (x)dxk 0 x kn1( xk 1k0xk)f(xk) h2(f(xk 1)f ( xk )hn1(9)h2f(xk) f(xk 1) I2 k 0這就是我們所熟知的梯形公式 ,而梯形公式對(duì)準(zhǔn)確值的逼近程度要優(yōu)于左矩形公式和右矩 形公式 ,所以這樣的假設(shè)與估計(jì)是成立的 ,同理我們對(duì)上面算得的中矩形公式也可以加上這 個(gè)小三角形的面積而得到與準(zhǔn)確值更為近的值b n 1 x n 1 hI a f(x)dxxk1f(x)dx(xk 1 xk)f(xk 1) h(f(xk 1) f(xk)a

13、 k 0 xkk 0 2 2hn1hf(xk 1) 2f(xk 1) f(xk)I2 k 0 2(10) 下面我們來(lái)討論另一種情形:即把上述所描寫(xiě)的三角形換成半徑為 h (或 f (xk 1) f (xk) ),為了計(jì)算方便 ,可以直接看成半徑為 h)的圓 ,那么按照前面我們推導(dǎo)得 12到的左矩形公式 ,計(jì)算得到小矩形條的面積為hf(xk)h2 ,用它來(lái)近似積分的準(zhǔn)確值可4得到f ( xk)1hPbIf ( x)dxa1xk 1xk 1 f (x)dx0 xkn1( xk 112xk) f( xk) 14 hn1hk0411)這就是我們所得到的左矩圓公式同理按照中矩形公式得到的小矩形條的面積為

14、hf ( xk1） 1 h2 ,用它來(lái)近似積分的24確值可得到bf ( x)dx an1 xk 1 0 x k這就是我們所得到的中矩圓公式應(yīng)用復(fù)化矩形公式（ 3）12）計(jì)算積分 I解：f ( x) ex , a0,bf ( x)dx( xk 1xk)f(xk 21)和（ 4）計(jì)算以及遞推公式（7）與（Jnn1h f ( xk )k0R (baba)f(a2b)J 1 J 1RJ 2 nJ nRn22n1P hf ( xk)k0h2f (xk 21)14 h Q12)8）和矩圓公式（ 11 ）12 ex dx 的近似值 ,并與其準(zhǔn)確值作相應(yīng)的比較01/2 ,分點(diǎn)個(gè)數(shù)R2nhn2k1,2, ,8

15、;Rnf ( xk 14 )n1hk0h b a 1n 2nxkkh,(k0,1,2,1f ( xk 21 )0f (xk 43 )1f(xk 12) 14 hn)當(dāng) h 取不同值時(shí)各種算法對(duì)積分的估計(jì)值與近似解的比較J (b a) f (a )所用h公式1/ 21/4 1/ 6 1/8 1/10 1/12 1/14 1/16JRRnJ 2nR2n P Q 精確 解I通過(guò)上表容易看出，當(dāng)步長(zhǎng) h 逐漸變小時(shí)，不論是復(fù)化公式還是遞推公式，它們對(duì)準(zhǔn) 確值的逼近效果都顯著提高，即 h 越小，逼近效果越好；另一方面容易看出，中矩形公式 比左矩形對(duì)準(zhǔn)確值的近似程度更高， 當(dāng)然其復(fù)化公式的近似程度也比左矩

16、形復(fù)化公式的精確 度高；還有我們最后推出的 (7)式與 (8)式，它比起各自的復(fù)化公式來(lái)，逼近效果也相對(duì)較好， 同樣地中矩形公式的復(fù)化公式比 (7)式的逼近效果要好由 (11)的結(jié)果可知在除 n 1 之外， 它的計(jì)算結(jié)果是比較理想的；明顯的問(wèn)題是(12)式的計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確值的差距特別大，因?yàn)閷?duì)于復(fù)化的中矩形公式而言，精確度已經(jīng)是比較好的了，那么，如果我們?cè)偃プ?12) 式那樣的逼近，勢(shì)必導(dǎo)致出現(xiàn)大的波動(dòng)這樣的公式是不完美的，所以對(duì)這樣的公式完全可以舍 去只要我們選取合適的步長(zhǎng)， 分別利用它們各自的遞推公式算出的近似值比它們自己的復(fù) 化公式精確度要高很多6 結(jié)論：通過(guò)本文的論述， 得出復(fù)化求積公

17、式比原近似公式的精確度高；同樣地， 復(fù)化中矩形公式的逼近效果比復(fù)化左矩形公式對(duì)準(zhǔn)確值的逼近效果好;另外，通過(guò)公式的遞推化之后，我們得出遞推化的公式比復(fù)化求積公式的精確度高;理所當(dāng)然，隨著 n 的不斷增大，誤差逐漸減小，當(dāng) n 到一定程度大時(shí)，會(huì)無(wú)限接近準(zhǔn)確值參考文獻(xiàn)：1 李慶楊，王能超，易大義 .數(shù)值分析 M.4 版.武漢 :華中科技大學(xué)出版社， 2006.2 王仁宏 .數(shù)值逼近 M.北京 :高等教育出版社， 1999.3 李岳生，黃友謙 .數(shù)值逼近 M. 北京 :人民教育出版社， 1978.4 李曉紅，堵秀風(fēng)，張永勝，王延臣 .計(jì)算方法 M. 北京 :北京航空航天大學(xué)出版社， 2006.5

18、馬東升，雷永軍 .數(shù)值計(jì)算方法 M.2 版. 武漢 :機(jī)械工業(yè)出版社， 2001.6 張韻華，奚梅成，陳效群 .數(shù)值計(jì)算方法與算法 M.2 版.北京 :科學(xué)出版社， 2000.Numerical integration of rectangular complex formula and error analysisZhang Xiaoxia(College of Mathematics and Information SciencesNorthwest Normal University LanzhouGansu730070)Abstract: Firstly, we deduced in the rectangle formula, the left rectangle formula, and then carry out restoration of them. Because the result is not satisfied with