CH44函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凸凹ppt課件

1、一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法 （利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題）（利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題）xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理abBA.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上嚴(yán)格單調(diào)減少上嚴(yán)格單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在上嚴(yán)格單調(diào)增加；上嚴(yán)格單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在）（內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (2)(2)函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用導(dǎo)

2、數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性調(diào)性(1)(1)將此定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間將此定理中的閉區(qū)間換成其他各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。（包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。注意：注意：即：區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零即：區(qū)間內(nèi)個別點導(dǎo)數(shù)為零, ,不影響區(qū)間的單不影響區(qū)間的單調(diào)性調(diào)性. .例如例如, ,3,yx 00,xy (,) 但但在在上上-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751-1-0.75-0.5-0.250.250.50.751230,yx 單調(diào)增加單調(diào)增加函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：函數(shù)圖像與導(dǎo)數(shù)

3、的關(guān)系： 對于某區(qū)間上的函數(shù)對于某區(qū)間上的函數(shù)y = f(x)y = f(x)，導(dǎo)數(shù)為正，曲線上升；，導(dǎo)數(shù)為正，曲線上升；導(dǎo)數(shù)為零，曲線不升不降水平曲線）；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，導(dǎo)數(shù)為零，曲線不升不降水平曲線）；導(dǎo)數(shù)為負(fù)，曲線下降。曲線下降。xyo)(xfy abAB0)( xfxyo)(xfy 0)( xfabBA)(xfy 0( )fx xyoabBA例例1 1解解: :1cosyx 0,2 , 在在0,y sin, .yxx 函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間單單調(diào)調(diào)增增加加0,2 D 討討論論區(qū)區(qū)間間 .20sin的的單單調(diào)調(diào)性性，在在區(qū)區(qū)間間討討論論函函數(shù)數(shù) xxy sinyxx 例例2 2解解.1的的單單調(diào)

4、調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xeyx. 1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y函數(shù)單調(diào)減少；函數(shù)單調(diào)減少；,), 0(內(nèi)內(nèi)在在, 0 y.函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加).,(: D又又-3-2-11212341xyex 解解2222222222(1)42(1)()1(1)(1)xxxxyxxx 2222(1)0(1)xyx 1,1x 當(dāng)當(dāng)時時，-3-2-1123-1-0.50.51練練 習(xí)習(xí)函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加. .問題問題: :如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)調(diào)定義定義: :若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間若函數(shù)在其定

5、義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點區(qū)間的分界點方法方法: :.)()()(,)()(0)()(的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間都是函數(shù)都是函數(shù)符號保持不變的子區(qū)間符號保持不變的子區(qū)間調(diào)性，每個使得調(diào)性，每個使得在各子區(qū)間上的單在各子區(qū)間上的單出函數(shù)出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號，從而確定導(dǎo)數(shù)的符號，從而確定數(shù)數(shù)然后逐個判斷區(qū)間內(nèi)函然后逐個判斷區(qū)間內(nèi)函區(qū)間區(qū)間定義域劃分成若干個子定義域劃分成若干個子的的點將函數(shù)點將函數(shù)不存在的點，并用這些不存在的點，并用這些的根及的根及程程單調(diào)

6、性的討論，先求方單調(diào)性的討論，先求方對函數(shù)對函數(shù)xfxfxfxfxfxfxf 二、單調(diào)區(qū)間的求法二、單調(diào)區(qū)間的求法例例3 3解解3229123( ).f xxxx 確確定定函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間).,(: D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx時，時，當(dāng)當(dāng)1x, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在 1 ,(時時，當(dāng)當(dāng)21 x, 0)( xf上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 時，時，當(dāng)當(dāng) x2, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在), 2 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2x( )fx ( )f

7、x(,1 1,22,) 0.511.522.53-2246mM3229123()fxxxx 例例4 4解解.)(32的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù)xxf).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在時時當(dāng)當(dāng) x時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)( xf上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 時，時，當(dāng)當(dāng) x0, 0)( xf上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在0 ,(單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，0 ,()., 0 -3-2-11230.511.5232()fxx 注意注意: :導(dǎo)數(shù)不存在的點，有可能導(dǎo)數(shù)不存在的點，有可能成為成為單調(diào)區(qū)間的分界點。單調(diào)區(qū)間的分界點。yxO說明說明: : 單調(diào)區(qū)

8、間的分界點除駐點外單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點. 例如例如,),(,32xxy332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如例如,),(,3xxy23xy 00 xyyOx3xy .)()0)(的的駐駐點點做做函函數(shù)數(shù)叫叫的的實實根根即即方方程程使使導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點點定定義義xfxf 求函數(shù)求函數(shù)7186223 xxxy單調(diào)區(qū)間。單調(diào)區(qū)間。練練 習(xí)習(xí)解解212186 6，yxx 0,y 函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)減減少少；13(- , ,), 在在0,y .函函數(shù)

9、數(shù)單單調(diào)調(diào)增增加加:(,).D 212183 1-6 60 0yxxx 解解方方程程，得得駐駐點點為為，在在-1,3-1,3內(nèi)，內(nèi)，函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域x( )y xy(, 1 1,3 3,) -6-4-2246-400-2002007186223 xxxy 利用單調(diào)性證明不等式，利用單調(diào)性證明不等式，也是我們常用的方法。也是我們常用的方法。例例5 511,23.xxx 當(dāng)當(dāng)時時 試試證證成成立立證證 設(shè)設(shè) 1( )23,f xxx 322111( ),xfxxxx (1,)x當(dāng)當(dāng)時時，( )0,fx 1( )23(1,)f xxx 函函數(shù)數(shù)在在單單調(diào)調(diào)增增加加。(1)0,f 又又( )(

10、1)0f xf 1( )230f xxx 結(jié)結(jié)論論得得證證。-1123456-1123452yx 13yx三、曲線凹凸性與拐點三、曲線凹凸性與拐點 問題問題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo)(xfy xyo)(xfy 圖形上任意弧總是圖形上任意弧總是位于任意切線的上位于任意切線的上方方ABC（向上凹的（向上凹的（向上凸的（向上凸的圖形上任意弧總是圖形上任意弧總是位于任意切線的下位于任意切線的下方方121222()()()xxf xf xf 121222()()()xxf xf xf （向上凹的（向上凹的（向上凸的（向上凸的定義定義12121212122222

11、( ),()(),(),( );()()(),( )f xIIxxf xf xxxff xIxxf xf xff xI 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù) 如如果果對對上上任任意意兩兩點點恒恒有有那那么么稱稱在在上上的的圖圖形形是是（向向上上）凹凹的的（或或凹凹弧?。┤缛绻愫阌杏心悄悄┠┓Q稱在在上上的的圖圖形形是是（向向上上）凸凸的的（或或凸凸弧弧）( ) , ,( , )(),( ) , ();f xa ba bf xa b如如果果在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) 且且在在內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹或或凸凸的的 那那么么稱稱在在內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹 或或凸凸的的四、曲線凹凸的判定四、曲線凹凸的判定xyo)(

12、xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理.,)(,)()(;,)(,)()(),(,),(,)(上上的的圖圖形形是是凸凸的的在在則則上上的的圖圖形形是是凹凹的的在在則則內(nèi)內(nèi)若若在在一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf0201 例例6 6ln.yx 判判斷斷曲曲線線的的凹凹凸凸性性-3-2-1123-3-2-1123解解(0,),D 定定義義域域為為1,yx 210,yx (0,)曲線在曲線在 為凸的為凸的例例7 7.的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線3xy 解解,32

13、xy ,6xy 時時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凸的；為凸的；在在曲線曲線,(0時，時，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為凹的；為凹的；在在曲線曲線), 0.),(點點是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點點00注意到注意到, ,-1-0.50.51-1-0.50.513yx 五、曲線的拐點及其求法五、曲線的拐點及其求法1 1、定、定 義義注意注意: :拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線. .2 2、拐點的求法、拐點的求法方法方法1:1:,)(,)(000 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù);)(,(,)()(即即為為拐拐點點點點變變號號兩兩近近旁旁0

14、001xfxxfx .)(,(,)()(不不是是拐拐點點點點不不變變號號兩兩近近旁旁0002xfxxfx 判定曲線的凹凸性判定曲線的凹凸性 與求曲線的拐點的一般步驟為：與求曲線的拐點的一般步驟為：(1) (1) 求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) ；)(xf (2) (2) 令令0)( xf，解出全部實根，解出全部實根，并求出所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點；并求出所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點；(3) (3) 對步驟對步驟(2)(2)中求出的每一個點，檢查中求出的每一個點，檢查其鄰近左、右兩側(cè)其鄰近左、右兩側(cè) )(xf 的符號，確定的符號，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點曲線的凹凸區(qū)間和拐點. .例例8 84334

15、1.yxx 求求曲曲線線的的拐拐點點及及凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間解解),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.,32021xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32().,(323200凹凹凸凸區(qū)區(qū)間間為為-1-0.50.511.5246843341yxx 例例9 9.的的拐拐點點求求曲曲線線3xy 解解,時時當(dāng)當(dāng)0 x,3132 xy,9435 xy.,均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點點yyx 0,),(00 y內(nèi)內(nèi)但但在在;)0 ,(上上是是凹凹的的曲曲線線在

16、在 ,),(00 y內(nèi)內(nèi)在在.), 0(上是凸的上是凸的曲線在曲線在.),(的拐點的拐點是曲線是曲線點點300 xy -1-0.50.51-1-0.50.513yx .)()(,(,)(的的拐拐點點是是連連續(xù)續(xù)曲曲線線也也可可能能點點不不存存在在若若xfyxfxxf 000注意注意: :內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf,0)()(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.2.曲線凹凸與拐點的判別曲線凹凸與拐點的判別Ixxf ,0)(上向上凹在曲線Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲線Ixfy)(拐

17、點拐點 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點思考題思考題思考題解答思考題解答例例4)(xxf ),( x0)0( f練練 習(xí)習(xí)確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .3210496yxxx 解解3221010496(496)yxxxxxx 0 00 0(, )( ,),D 定定義義域域為為3210()496yxxx 232260(231)(496 )xxxxx 32260(21)(1)(496 )xxxxx 確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .3210496yxxx 1012yx 令令，得得駐駐點點為為，x( )fx ( )f x(,0)1(0, )21(,1)2(1,) 32260(21)(1)(496 )xxyxxx 1(0,)2(,0)(1,)，；該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：單調(diào)增區(qū)間為：單調(diào)增區(qū)間為：-3-2-1123-20-15-10-551015203210496yxxx arctanyxx 判判斷斷曲曲線線的的凸凸凹