(完整版)圓的證明與計(jì)算(版).docx

1、圓的證明與計(jì)算專題講解圓的證明與計(jì)算是中考中的一類重要的問(wèn)題，此題完成情況的好壞對(duì)解決后面問(wèn)題的 發(fā)揮有重要的影響，所以解決好此題比較關(guān)鍵。圓的有關(guān)證明一、圓中的重要定理：(1)圓的定義：主要是用來(lái)證明四點(diǎn)共圓.(2)垂徑定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.(3)三者之間的關(guān)系定理：主要是用來(lái)證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等.(4)圓周角性質(zhì)定理及其推輪：主要是用來(lái)證明一一直角、角相等、弧相等.(5)切線的性質(zhì)定理：主要是用來(lái)證明一一垂直關(guān)系.(6)切線的判定定理：主要是用來(lái)證明直線是圓的切線.(7)切線長(zhǎng)定理：線段相等、垂直關(guān)系、角相等.2.圓中幾個(gè)關(guān)鍵元素之間的相互

2、轉(zhuǎn)化：弧、弦、圓心角、圓周角等都可以通過(guò)相等來(lái) 互相轉(zhuǎn)化.這在圓中的證明和計(jì)算中經(jīng)常用到.二、考題形式分析：主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問(wèn)主要是判定切線；第 2問(wèn)主要是與圓有關(guān)的計(jì)算： 求線段長(zhǎng)(或面積)；求線段比；求角度的三角函數(shù)值(實(shí)質(zhì)還是求線段比)。知識(shí)點(diǎn)一：判定切線的方法：(1)若切點(diǎn)明確，則“連半徑，證垂直”O(jiān)常見(jiàn)手法有：全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、 勾股定理證垂直；(2)若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法：角平分線定理；等腰三角形三線合一，隱藏角平分線；總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：直線所垂直的是圓的半徑(過(guò)圓上一點(diǎn))；直線與半徑的

3、關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線 .例：方法一：若直線1過(guò)。O上某一點(diǎn) A,證明1是。O的切線，只需連 0A,證明OA±1 就行了，簡(jiǎn)稱“連半徑，證垂直”，難點(diǎn)在于如何證明兩線垂直 .例1 如圖，在 ABC中，AB=AC ,以AB為直徑的。0交BC于D ,交AC于E, B 為切點(diǎn)的切線交OD延長(zhǎng)線于F.求證：EF與。O相切./例2如圖，AD是N BAC的平分線，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且PA=PD.求證:PA與。O相切.證明一：作直徑AE ,連結(jié)EC. AD是N BAC的平分線，1. Z DAB= ZDAC

4、. .* PA=PD,AZ 2=Z 1+ Z DAC.VZ 2=Z B+ ZDAB ,AZ 1 = Z B.又,：/ B= ZE,AZ 1 = Z E AE是。O的直徑， AC ±EC, Z E+Z EAC=9O °.AZ 1 + Z EAC=9O °.即 OA _L PA. PA與。O相切.證明二：延長(zhǎng)AD交。于E,連結(jié)OA, OE.AD是N BAC的平分線，BE=CE , OE± BC.AZ E+Z BDE=9O °.OA=OE ,AZ E=Z 1.PA=PD,AZ PAD= ZPDA.XV Z PDA= ZBDE,AZ 1 + Z PAD

5、=90 °即 OA ± PA.PA與。O相切說(shuō)明：此題是通過(guò)證明兩角互余，證明垂直的，解題中要注意知識(shí)的綜合運(yùn)用例3如圖，AB=AC ， AB是。O的直徑，。O交BC于D , DM ±AC于M求證：DM與。O相切.例4如圖，已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上，且NCAB=30°, BD=OB , D在AB 的延長(zhǎng)線上.求證：DC是。O的切線例5如圖，AB是。O的直徑，CD_L AB ,且OA2=OD OP.求證：PC是。O的切線.例6 如圖，ABCD是正方形，G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AG交BD于E,交CD于F.求證：CE與 CFG的外接圓相切.分析：此題

6、圖上沒(méi)有畫出 CFG的外接圓，但 CFG是直角三角形，圓心在斜邊FG的中點(diǎn), 為此我們?nèi)G的中點(diǎn)O,連結(jié)OC,證明CELOC即可得解.證明：取FG中點(diǎn)O,連結(jié)OC.,/ ABCD是正方形，.BC ± CD, CFG 是 RtA,/ O是FG的中點(diǎn)，.O是RtA CFG的外心.OC=OG ，AZ 3= ZG,AD BC ,1. Z G= Z 4.AD=CD , DE=DE ,Z ADE= Z CDE=45 °,.*. ADE CDE ( SAS )AZ 4=Z 1, Z 1 = Z3.VZ 2+Z 3=90°,AZ 1 + Z 2=90°.BJ CE&#

7、177; OC.CE與 CFG的外接圓相切方法二：若直線1與。O沒(méi)有已知的公共點(diǎn)，又要證明1是。的切線，只需作OA，1, A 為垂足，證明OA是。的半徑就行了，簡(jiǎn)稱：“作垂直；證半徑”（一般用于函數(shù)與幾何綜合題）例1：如圖，AB=AC , D為BC中點(diǎn)，。D與AB切于E點(diǎn).求證：AC與。D相切.分析：說(shuō)明：證明一是通過(guò)證明三角形全等證明DF=DE的，證明二是利用角平分線的性質(zhì)證明DF二DE的，這類習(xí)題多數(shù)與角平分線有 關(guān).例2：已知：如圖，AC , BD與。O切于A、B,且ACBD,若N COD=90 0.求證：CD是。的切線.證明一：連結(jié)OA, OB,作OELCD, E為垂足.AC, BD

8、與。O 相切， /. AC± OA , BD ±OB.AC BD ,AZ 1+ Z2+Z 3+Z4=180 °.VZ COD=90 °,/. Z 2+Z 3=90°, Z 1 + Z 4=90°.VZ4+Z 5=90°.AZ 1 = Z 5./. RtA AOC s RtA BDO.AC OC OB ODOA=OB ,AC OC OA OD又N CAO= Z COD=90 °, AOC s* ODC ,AZ 1 = Z 2.又; OA ± AC , OE±CD, OE=OA.E點(diǎn)在。O上.CD是

9、。O的切線.證明二：連結(jié)OA, OB,作OE_LCD于E,延長(zhǎng)VAC , BD與。O相切，/.AC ± OA , BD ±OB.VAC / BD ,AZ F=Z BDO.又,: OA=OB , AOF BOD ( AAS )OF=OD.VZ COD=90 °,ACF=CD , Z 1 = Z 2.又OA ± AC , OE± CD , /. OE=OA.E點(diǎn)在。O上.CD是。O的切線.證明三：連結(jié)AO并延長(zhǎng)，作 OELCD于E,取CD中點(diǎn)F,連結(jié)OF.VAC與。O相切，BDA AC _L AO.VAC / BD ,A AO _L BD.VBD與

10、O O相切于B,A AO的延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.A AB是。O的直徑.VAC / BD , OA=OB , CF=DF ,OF AC ,AZ 1 = Z COF.VZ COD=90 °, CF=DF ,OF 'CD CF .2AZ 2=Z COF.AZ 1 = Z 2.VOA _L AC , OE±CD,OE=OA.E點(diǎn)在。O上.CD是。O的切線說(shuō)明：證明一是利用相似三角形證明N1 = Z2,證明二是利用等腰三角形三線合一證明Nl= N2.證明三是利用梯形的性質(zhì)證明N 1 = Z2,這種方法必需先證明 A、O、B三點(diǎn)共線.課后練習(xí)：(1)如圖，AB是。O的直徑，BC&

11、#177;AB, AD OC交。于D點(diǎn)，求證：CD為。O的切線;點(diǎn)，連結(jié)DE ,求證：DE是。O的切線.(2)如圖，以RtA ABC的直角邊AB為直徑作。O,交斜邊AC于D ,點(diǎn)E為BC的中(3)如圖，以等腰 ABC的一腰為直徑作。O,交底邊BC于D,交另一腰于F,若DE LAC于E (或E為CF中點(diǎn))，求證：DE是。O的切線.(4)如圖，AB是。的直徑，AE平分NBAF,交。O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作直線ED, AF,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) C,求證：CD是。O的切線.知識(shí)點(diǎn)二：與圓有關(guān)的計(jì)算計(jì)算圓中的線段長(zhǎng)或線段比，通常與勾股定理、垂徑定理與三角形的全等、相似等知識(shí)的結(jié)合，形式

12、復(fù)雜，無(wú)規(guī)律性。分析時(shí)要重點(diǎn)注意觀察已知線段間的關(guān)系，選擇定理進(jìn)行線段或 者角度的轉(zhuǎn)化。特別是要借助圓的相關(guān)定理進(jìn)行弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化，找出所求線段與已 知線段的關(guān)系，從而化未知為已知，解決問(wèn)題。其中重要而常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有：(1)構(gòu)造思想：如：構(gòu)建矩形轉(zhuǎn)化線段；構(gòu)建“射影定理”基本圖研究線段(已知 任意兩條線段可求其它所有線段長(zhǎng))；射影定理：所謂射影，就是正投影。其中，從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影。一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這直線上的正投影。由三角形相似的性質(zhì)：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中

13、項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式ABC中，NBAC=90° ,AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下 :：(1)(AD)2;=BD - DC, (2)(AB)2;=BD - BC , (3)(AC)2;=CD BC o 等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來(lái)證明)i DC構(gòu)造垂徑定理模型：弦長(zhǎng)一半、弦心距、半徑；構(gòu)造勾股定理模型(已知線段長(zhǎng)度)；構(gòu)造三角函數(shù)(已知有角度的情況)；(06找不到，找相似(2)方程思想：設(shè)出未知數(shù)表示關(guān)鍵線段，通過(guò)線段之間的關(guān)系，特別是發(fā)現(xiàn)其中的相等 關(guān)系建立方程，解決問(wèn)題。把問(wèn)題分解為若干基本圖 進(jìn)而找出隱藏的線段

14、之間(3)建模思想：借助基本圖形的結(jié)論發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的線段關(guān)系, 形的問(wèn)題，通過(guò)基本圖形的解題模型快速發(fā)現(xiàn)圖形中的基本結(jié)論， 的數(shù)量關(guān)系。典型基本圖型:圖形1：如圖1 ： AB是。O的直徑，點(diǎn)E、C是。O上的兩點(diǎn)，基本結(jié)論有:(1 )在“ AC平分N BAE" ； “ AD _L CD" ； “ DC是。0的切線”三個(gè)論斷中，知二推(2)如圖2、3, DE 一。等于弓形BCE的高；DC二AE的弦心距OF (或弓形BCE的半弦 EF)。圖1圖2圖3圖4（3）如圖（4）：若 CK_LAB 于 K,則:©CK=CD ； BK=DE ；/ ADC s/ ACB (4)在(1)

15、中的條件、1CK= BE=DC ； AE+AB= 2BK= 2AD;2ACZ=AD?AB中任選兩個(gè)條件，當(dāng) BG±CDDGBO于E時(shí)（如圖5）,則: DE=GB； DC=CG； AD+BG二AB ； AD?BG= LdG 圖形2：4：如圖 Rt/ABC 中，Z ACB=90 0。點(diǎn) O 是 AC 上一點(diǎn)，2 =DC 2圖5（1 ）在 “ BO 平分N CBA" ； “ BO DE" ； “AB 是。O 的切線”； 知一推三?！?BD=BC "。四個(gè)論斷中,(2)G是/ BCD的內(nèi)心； CGGd"； 力BCO s/CDE BO?DE=CO?GE=

16、21 CE2；（3）在圖（1）中的線段BC、CE、AE、AD中，知二求四。AE 1（在（4）如圖（3）,若 BC二CE,貝lj：二一=tanZADE； BC： AC： AB =3： 4： 5 ；AD 2、中知一推二）設(shè)BE、CD交于點(diǎn)H,，則BH=2EH圖形3:如圖：RtZABC中，Z ABC=90 °，以AB為直徑作。O交AC于D ,基本結(jié)論有:如右圖：（1） DE切。O(2)若 DE 切。O,E是BC的中點(diǎn)；則：® DE=BE=CE ；D、O、B、E四點(diǎn)共圓CD CA=4BE 2,RZ CED=2Z AGD- -BG-BD BA圖形特殊化：在（如圖 1： DE/AB如圖

17、2：若DE的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)1）的條件下/ABC、/ CDE是等腰直角三角形;DE1BE1- -EF3R v 2E,基本結(jié)論有：圖形4:如圖，/ ABC中，AB=AC ,以AB為直徑作。O,交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F ， 基本結(jié)論有：(1 ) DE ± AC DE 切。O；(2)在DELAC或DE切。O下，有：/ DFC是等腰三角形；EF二EC；D是BF 的中點(diǎn)。與 基本圖形1的結(jié)論重合。連AD,產(chǎn)生母子三角形。圖形5:：以直角梯形 ABCD的直腰為直徑的圓切斜腰于圖3圖形6:如圖：直線 基本結(jié)論有：OD平分NADC (或OC平(1 )如圖 1 ： AD+BC =CD ；N

18、COD =Z AEB =90° ；分NBCD)；(注：在、及“CD是。O的切線”四個(gè)論斷中，知一推三 ) ADBcJ AB 2 =R2；4(2)如圖2,連AE、CO,則有：CO AE, CO?AE=2r2(與基本圖形2重合)(3)如圖 3,若 EF± AB 于 F,交 AC 于 G,則：EG=FG .PR±O O的半徑OB于E, PQ切。O于Q, BQ交直線PQ于R。(1)PQ=PR (/PQR是等腰三角形)；(2)在 “ PR_LOB ”、“ PQ 切。O"、“PQ=PR ” 中，知二推一(3) 2PR RE=BR RQ=BE 2R=AB 2圖形7:如

19、圖，/ ABC內(nèi)接于。O, I為 ABC的內(nèi)心。基本結(jié)論有:(1 )如圖 1, BD=CD=ED ； DI 2= de DA ；N ADB=90° +- Z ACB;2圖i圖2(2)如圖 2,若NBAC=60° ，貝lj： BD+CE=BC.CD ±AB 于 D。BG 交 CD、AC圖形8:已知，AB是。O的直徑，C是 中點(diǎn), 于E、Fo基本結(jié)論有：1(1) CD = _ BG； BE=EF=CE ； GF= 2DE 2(反之，由CD=_BG或BE=EF可得：CBG中點(diǎn))_2r(2) OE= AF , OE/7AC； J ODEZ AGF2(3) BE BG=BD

20、 BA(4)若D是OB的中點(diǎn)，則：/ CEF是等邊三角形； BC=CG=AG范例講解:例題1： ABP ZABP=90° ,以AB為直徑作。O交AP于C點(diǎn)，弧CF = CB ,過(guò)C作的值。AF的垂線，垂足為M, MC的延長(zhǎng)線交BP于D. (1)求證：CD為。O的切線；(2)連 BF 交 AP 于 E,若 BE=6, EF=2,求 EFAF例題2：直角梯形 ABCD中，Z BCD=90° , AB=AD+BC, AB為直徑的圓交BC于E,連OC、BD 交于F.BE c求證：CD為。O的切線BE 3 一若，求BF的值A(chǔ)B 5 DF例題3：如圖，AB為直徑，PB為切線，點(diǎn) C在。

21、0上，ACOP。(1)求證：PC為。O的切線。(2)過(guò)D點(diǎn)作DELAB, E為垂足，連AD交BC于G, CG=3,DG求 的值。DB例題4 ( 2009調(diào)考)：如圖，已知 ABC中，以邊BC為直徑的。O與邊AB交于點(diǎn)D,點(diǎn)E為 的中點(diǎn)，AF為 ABC的角平分線，且AF± ECo(1)求證：AC與。O相切；(2)若 AC=6, BC=8,求 EC 的長(zhǎng)家庭練習(xí)：1 .如圖，RtA ABC,以AB為直徑作。O交AC于點(diǎn)D,過(guò)D作AE的垂線,F為垂足.(1)求證：DF為。O的切線；(2)若DF=3 , O O的半徑為5,求tan BAC的值.2 .如圖，AB為。O的直徑，C、D為。O上的兩

22、點(diǎn)，AD=DC ,過(guò)D作直線BC的垂線交直線AB于點(diǎn)E, F為垂足.(1)求證：EF為。的切線；(2)若 AC=6 , BD=5，求 sin E 的值.3 .如圖，AB為。O的直徑，半徑OCLAB, D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D作。O的切線, E為切點(diǎn)，連結(jié)CE交AB于點(diǎn)F.(1)求證：DE=DF ；(2)連結(jié) AE,若 OF=1, BF=3 ，求 tan A 的值.4 .如圖，RtaABC中，Z C=90 0 , BD平分NABC,以AB上一點(diǎn)O為圓心過(guò)B、D兩點(diǎn) 作。O,。交AB于點(diǎn)一點(diǎn)E, EFLAC于點(diǎn)F.(1)求證：。與AC相切；(2)若 EF=3 ， BC=4,求 tan A 的值.5.如圖，等腰 ABC中，AB=AC ,以AB為直徑作。O