經(jīng)典：高等數(shù)學(xué)總習(xí)題及答案

1、2021/8/612sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin ctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg 1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin( 23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg 222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg 和差角公式和差角公式和差化積和差化積倍角公式倍角公式2021/8/62第一章 習(xí)題課 本章內(nèi)容小結(jié) 本章題型小結(jié) 作業(yè)問(wèn)題 總

2、復(fù)習(xí)題一 課堂練習(xí)第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限2021/8/63本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)函數(shù)函數(shù) 極限極限連續(xù)連續(xù) 概念概念性質(zhì)性質(zhì)計(jì)算法計(jì)算法 法則、準(zhǔn)則法則、準(zhǔn)則無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì)定義、左右極限定義、左右極限重要極限重要極限等價(jià)代換等價(jià)代換連續(xù)性連續(xù)性 概念概念性質(zhì)性質(zhì)（函數(shù)（函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù)）初等函數(shù)） 基本結(jié)論基本結(jié)論初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2021/8/64 題型小結(jié)題型小結(jié) 極限的計(jì)算極限的計(jì)算 有關(guān)函數(shù)概念的命題有關(guān)函數(shù)概念的命題求定義域；有界性、奇偶性、單調(diào)性分析、復(fù)合函數(shù)求定義域；有界性、奇偶

3、性、單調(diào)性分析、復(fù)合函數(shù)等。等。 連續(xù)性的討論連續(xù)性的討論分段函數(shù)連續(xù)性的討論；判別間斷點(diǎn)的類型分段函數(shù)連續(xù)性的討論；判別間斷點(diǎn)的類型 其他其他無(wú)窮小的比較；無(wú)窮小的比較； 方程的根的分析方程的根的分析等。等。用定義證明極限；用定義證明極限； 不定式的極限；不定式的極限；分段函數(shù)的極限分段函數(shù)的極限 等。等。0,1,00 2021/8/65解解: : 4(2)(2)yxx 21,x 即即 設(shè)設(shè) 13,x從而從而 于是于是 325,x4(2)(2)52yxxx要使要使 只要只要 于是取于是取 40.001,y520.001,x 0.001min 1,0.0002.5 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 問(wèn)問(wèn) 等于

4、多少等于多少, ,則當(dāng)則當(dāng)2x 時(shí)時(shí), ,40.001?y 1.1.習(xí)題習(xí)題13，p38. 32x 24.yx 是否唯一？是否唯一？ 2021/8/662. 習(xí)題習(xí)題14 ，P42，6 cos(,)yxxx 函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界？這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是否否為為時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮大大？為為什什么么？分析：分析：有界有界MxfxM |)(|),(,0有有使使|() | |cos|cos,fxxxxxM 要要 使使 0 xcos1,1x 使使非非零零常常數(shù)數(shù)（比比如如）的的點(diǎn)點(diǎn)； 取取 取取;xx使使很很大大2,0, 1, 2,kxkk 如如無(wú)界無(wú)界MxfxM |)(|),(,000使使Mk

5、xfk 2)(,),2kMxk 則則且且 只只 要要就就 有有無(wú)無(wú)界界；在在),()( xf ,0 M2,0, 1, 2,kxkk 取取解解：2021/8/67( )cos ,f xxx 對(duì)對(duì)于于x 時(shí)時(shí)，cos0 xx總總 有有 取取 值值 的的 點(diǎn)點(diǎn) ；( )0 xf x 只只須須找找過(guò)過(guò)程程中中不不斷斷使使的的點(diǎn)點(diǎn)即即可可。2,0,1,2,2kxkk 如如不是無(wú)窮大不是無(wú)窮大000000,0,|() |MXxxXfxM 使使 得得，滿滿 足足但但分析分析 0,0,|() |MXxxXfxM ， 使使 得得 只只 要要滿滿 足足就就 有有( )xf x 時(shí)時(shí)是無(wú)窮大是無(wú)窮大2. 習(xí)題習(xí)題1

6、4 ，P42，6 cos(,)yxxx 函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界？這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是否否為為時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮大大？為為什什么么？ 0,M 2,0,1,2,2kxkk 記記000kkXxxX 故故， 總總滿滿 足足；0 ()0kf xM 但但()f xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，不不是是無(wú)無(wú)窮窮大大。2021/8/68 11sin01yxx , ,3.習(xí)題習(xí)題14，p42，7證明：函數(shù)證明：函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上無(wú)界，但這函上無(wú)界，但這函數(shù)不是數(shù)不是 時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大。0 x ， 證明：證明：00(0,1 ,Mx 在在 使使上總能找到點(diǎn)上總能找到點(diǎn).)(0Mxy 01,(0,1,2),22xk

7、k 例例如如可可取取 )(0 xy22 k0().y xM 當(dāng)當(dāng)k充分大時(shí)，充分大時(shí)， 11sin01yxx , ,函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上無(wú)界上無(wú)界2021/8/69 11sin01yxx , ,3.習(xí)題習(xí)題14，p42，7證明：函數(shù)證明：函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上無(wú)界，但這函上無(wú)界，但這函數(shù)不是數(shù)不是 時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大。0 x 1()2sin20.y xkkM 當(dāng)當(dāng)k充分大時(shí)，充分大時(shí)， 但但1,x 但函數(shù)不是但函數(shù)不是 時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大。0 x .)(1Mxy0M無(wú)論正數(shù)無(wú)論正數(shù) 多小，總能找到這樣的點(diǎn)多小，總能找到這樣的點(diǎn) ， 1x使使 但是但是10 x 11,(0,1,2)

8、,2xkk 例例如如可可取取2021/8/610=24.習(xí)題習(xí)題16，p56，4(3) 數(shù)列數(shù)列 的極限存在。的極限存在。 2,22,222 ,證明：證明：.2), 2 , 1( ,211 xnxxnn() 數(shù)列數(shù)列 有界。用數(shù)學(xué)歸納法，有界。用數(shù)學(xué)歸納法， nx2nx () 數(shù)列數(shù)列 單調(diào)遞增。單調(diào)遞增。 nx,2)1)(2(22221nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx 112,0, nnnnnxxxxx 即即。由極限存在準(zhǔn)則由極限存在準(zhǔn)則2知：知：.limAxnn 你能求出你能求出A的值嗎？的值嗎？ 2021/8/6114.習(xí)題習(xí)題16，p56，4(4)0lim 11nxx證

9、明：證明：0 x 討論：討論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，10 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，111nxx111nxx 對(duì)于上述兩種不同的情況，分別應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則，即對(duì)于上述兩種不同的情況，分別應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則，即可得出結(jié)論?？傻贸鼋Y(jié)論。2021/8/6125.習(xí)題習(xí)題16，p56，4(5)01lim1xxx 證明：證明：1x函數(shù)函數(shù) 表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。1x111 -1xxx 0 ,x 1 11x xx 利用夾逼準(zhǔn)則，得利用夾逼準(zhǔn)則，得0001limlim(1)lim 11xxxxxx 01lim1xxx 01lim1xxx 2021/8/613 利用消去零因子求極限利用消去零因子求極限(9)解

10、：解：),(11lim1是是自自然然數(shù)數(shù)nmxxnmx )1)(1()1)(1(lim11lim212111 xxxxxxxxxxnnmmxnmx)1()1(lim21211 xxxxxxnnmmxnm ., )1(,00:將將分分子子分分母母分分解解因因式式因因子子須須消消去去分分子子分分母母中中的的零零型型此此極極限限為為分分析析 x2021/8/614 利用消去零因子求極限利用消去零因子求極限(10)解一：解一：11lim31 xxx)1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim2131322121313231131 xxxxxxxxxxxx32 故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)令令, 1,1),0(

11、6 txttx)1)(1()1)(1(lim3132211 xxxxxx)1()1(lim3132211 xxxx解二：解二：11lim231 ttt原原式式 2021/8/615 利用第一重要極限求極限利用第一重要極限求極限 習(xí)題習(xí)題19，p69，3(6)解：解：axaxax sinsinlimaxaxaxax 2cos2sin2lim原式原式2coslim22sinlimaxaxaxaxax acos 2021/8/616 6.利用第二重要極限求極限利用第二重要極限求極限 習(xí)題習(xí)題19，p69，4(5)123lim6xxxx 解：解：3 (1 )2 ( 6)631231limlim1663

12、xxxxxxxxx 32e 2021/8/617 7. 利用無(wú)窮小代換求極限利用無(wú)窮小代換求極限 習(xí)題習(xí)題19，p69，4(6)201tan1sinlim1sinxxxxxx解：解： 20021tan1sinlim1sintan (1cos )lim1sin11tan1sinxxxxxxxxxxxxx 002tan1coslimlim1tan1sin1sin1xxxxxxxx 20212l i m1s i n2xxx1 12 212 2021/8/618 總習(xí)題一總習(xí)題一3.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中有一個(gè)正確的結(jié)論：選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中有一個(gè)正確的結(jié)論：設(shè)設(shè) ，則當(dāng)，則當(dāng) 時(shí)，有（

13、時(shí)，有（ ）( )232xxf x 0 x(A) 與與x 是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小( )f x(B) 與與x 同階但非等價(jià)無(wú)窮小同階但非等價(jià)無(wú)窮小( )f x(C) 是比是比x 高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小( )f x(D) 是比是比x 低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小( )f xB解：解：0232limxxxx ln2 ln3 xxxxxx13lim12lim00 2021/8/6195.設(shè)設(shè) 0.0, 0)(,0.0, 0)(2xxxxgxxxxf ( ), ( ), ( ), ( ).f f xg g xf g xg f x求求2021/8/6205.設(shè)設(shè) 0.0, 0)(,0.0, 0)(2xxx

14、xgxxxxf( ), ( ), ( ),( ).ff xg g xf g xg f x求求解：解： 0)()(0)(0)(xfxfxfxff 000 xxx)(xf 0)()(0)(0)(xgxgxgxgf0 2021/8/6217 7、把半徑為、把半徑為R R的一圓形鐵片，自中心處剪去中心的一圓形鐵片，自中心處剪去中心角為角為a a的一扇形圍成一無(wú)底圓錐，試將這圓錐的的一扇形圍成一無(wú)底圓錐，試將這圓錐的體積表為體積表為a a的函數(shù)的函數(shù)解：所求體積為解：所求體積為V V，則，圓錐的底圓半徑，則，圓錐的底圓半徑22RRr圓錐的高：圓錐的高：22rRh22)22(RRRhrV23122234)

15、2(24R)20(2021/8/622;)1232(lim)3(1 xxxx解：原式解：原式 121211 limxxxee 1212122121121211lim xxxx11lim(1)lim(1)xxttexte 提提示示：2121221211 lim21211 lim xxxxx9.2021/8/6239. (5)10lim() . (0,0,0)3xxxxxabcabc 解：解：11003lim()lim(1)33xxxxxxxxxxabcabc 3abc xcbaxxxx33lim0 xcxbxaxxxxxx31lim31lim31lim000 3ln3lnlnlnabccba 3

16、lnabce 原式原式xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 2021/8/6240 9.(6)利用第二重要極限求極限利用第二重要極限求極限(sin1)tan1tansin122lim(sin )lim (1sin1)xxxxxxxx xxxtan)1(sinlim2 xxxcot1sinlim2 )2tan(1)2cos(lim2xxx )2()2(lim22xxx 0 10 e原原式式2021/8/625011. 01),1ln(0,)(11xxxexfx( )f x求求的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，并并指指明明間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所屬屬類類型型？解解：( )( )f xf x由

17、由于于在在各各分分段段區(qū)區(qū)間間上上都都是是初初等等函函數(shù)數(shù)，故故間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)只只可可能能是是使使無(wú)無(wú)定定義義的的點(diǎn)點(diǎn)或或者者分分段段點(diǎn)點(diǎn)。1111( )xxexf x 在在處處無(wú)無(wú)定定義義，顯顯然然是是的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。1x 所所以以為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。0 x 在在分分段段點(diǎn)點(diǎn)處處，1111lim( )limxxxf xe 因因?yàn)闉?1111lim)(limxxxexf0， 00lim( )lim ln(1)0 xxf xx11001lim()limxxxf xee 0( )xf x 所所以以也也為為的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，且且為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。2021/8/62611

18、.證明證明. 1)12111(lim222 nnnnn12 nn. 1111lim1lim22 nnnnn證明證明：因：因 nnnn22212111nnn 2且且1111limlim2 nnnnnn故由故由數(shù)列極限的夾逼定理數(shù)列極限的夾逼定理：. 1)12111(lim222 nnnnn2021/8/62714. 如果存在直線如果存在直線 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) :L y kx b ()xxx 或或，時(shí)，曲線時(shí)，曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到直線到直線L的距離的距離d(M,L) 0,則稱則稱L為曲線為曲線y=f(x)的漸近線。當(dāng)直線的漸近線。當(dāng)直線L的斜率的斜率K0時(shí)，稱時(shí)，稱L為為

19、斜漸近線斜漸近線(1) (1) 證明：直線證明：直線L:y=kx+b為曲線為曲線y=f(x)的漸近線的的漸近線的充要條件是充要條件是 ()lim, lim()xxxxxxfxkbfxkxx (2) 求曲線求曲線 的斜漸近線。的斜漸近線。1( 21 )xyxe xoLM PCNy=f(x)y=kx+by2021/8/628yxoLM PCNy=f(x)y=kx+b(1) 證明：先證證明：先證必要性必要性已知直線已知直線L:y=kx+b為曲線為曲線y=f(x)的漸近線的漸近線,為了確定它，就必須求為了確定它，就必須求出其中的常數(shù)出其中的常數(shù)k與與b。為此，觀察為此，觀察曲線上動(dòng)點(diǎn)曲線上動(dòng)點(diǎn)P到漸近

20、線的距離。到漸近線的距離。21cos()() (1)1PNPMfxkxbk 根據(jù)漸近線的定義，當(dāng)根據(jù)漸近線的定義，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ,從而由從而由(1)式應(yīng)有式應(yīng)有 x 0PN lim( )()0 (2)xf xkxb 或或 lim() (3)xfxkxb 又由又由 ( )1limlim( )00 xxf xkf xkxbxx 得到得到( )lim (4)xf xkx 2021/8/629于是，若曲線于是，若曲線 y=f(x)有斜漸近線有斜漸近線 y=kx+b, 則其中常數(shù)則其中常數(shù)k與與b，可由，可由(4)式、式、(3)式來(lái)確定。式來(lái)確定。充分性充分性 略。略。由此可知，求曲線的斜漸近線問(wèn)題就化為求由此可知，求曲線的斜漸近線問(wèn)題就化為求(4)、(3)兩式的兩式的 極限問(wèn)題。極限問(wèn)題。解略。解略。(y=2x+1)(2) 求曲線求曲線 的斜漸近線。的斜漸近線。1( 21 )xyxe 2021/8/6301.1.舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明“分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)”這種說(shuō)這種說(shuō)法法是不對(duì)的？