最新(兩個重要極限)教案資料

1、精品文檔高等數(shù)學(xué)課程教案授課題目§ 2.6 兩個重要極限主講人劉艷授課時間2013 年 11 月 9 日課時安排兩課時教學(xué)目的：( 1) 掌握兩個重要極限公式的特點及其變形式，并能運用其求某些函數(shù)的極限；( 2) 通過對重要極限公式的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣，同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重點、難點重點：兩個重要極限公式及其變形式難點：兩個重要極限的靈活應(yīng)用授課類型：理論課教學(xué)方式：講授教學(xué)手段：多媒體及板書結(jié)合教學(xué)過程備注回顧：說出函數(shù)極限的四則運算法則。法則 1 : 設(shè) lim f (x) A, lim g(x) B

2、,則 lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B法則2：設(shè)lim f (x)A, lim g(x)B,則 lim f(x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B法則3：設(shè)lim f (x)A, lim g(x)B,且B 0,則 lim f(x)lim f (x)Ag(x)lim g (x)B新課 ：一、問題的提出“ 0 型”極限的計算方法 ，到目前為止，我們學(xué)過因式分解去零因子，有理化0分子或分母這兩種方法。是不是所有的“0 型”都可以用這兩種方法解決呢？0sin x問題：如何求lim sn x ？x0 x教師引 導(dǎo)，學(xué) 生回憶 口述提出問 題

3、，引 發(fā)學(xué)生 興趣準則 1 (夾逼定理)設(shè)函數(shù)f(x),g(x),h(x)在 x0的某一鄰域U(x0, )內(nèi)滿足g(x) f(x) h(x)精品文檔且有極限 lim g(x)x x0lim h(x)A，則有l(wèi)im f (x) Ax x0xx0例 1求limsin x x0時， 0 sin x x ，因為 lim x 0 ，由 定理 得limsin x 0 x02. 求lxim0 cosx0 1 cosx 2sin2x22(2x)222xx，因為 lim 0，2x02lim cosx 1 。 x021)nn定理 得， lim (1 cosx) 0，即x011例 3 求 lim(nn21 n221

4、 n2n2 11n2n1n2 112 nn1n2 1111n2 1 n2 2n2 n無窮多 項無窮 小量的 和nn2 nn21nnn2 12 nnn1, lim1n n21所以 由 定理 得 lim (111n2 1 n2 22 nn) 1。CBAOD一、第一個重要極限sin xlim 1 x0 x證 如右圖，作單位圓O,設(shè)圓心角AOB x (0 x ) ,2過點 A作圓O的切線，交0B 延長線于點C，過點B 作 BD OA，交OA于點D，于是，得sin x BD ， tanx AC AOB的面積<圓扇形AOB的面積< AOC的面積，所以sin x x1tan x, ( 過程中注意

5、互動，提問扇形面積的計算 2互動 引導(dǎo)學(xué) 生從圖 中觀察 特點sin xsin x x tan x 1cosxx 0 時也成立。又 limcos x 1 ， lim1 1 ，x0lim x0sin x1注意： (1) 這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)、反三角函數(shù)的“ 0型 ”的極限。(2) 為了強調(diào)此極限的一般形式, 我們把它形象地寫成lim 00sin1 ，等式中的對重要 極限理 解的注 意事項 ”內(nèi)的變量必須完全相同且趨于0 。例1求 limx0sin 3xsin 3xlimlim3x0x x0sin3x令 t 3x sint3x3lxim0 tsin t3lim 3t0 t例2求 lim

6、x0tan xlimx0tan xsin x例3例4求 lxim01 cosxx cosx1 cosxlim 2 limx0 xx02x 2sin2limx0sin xlim 11.x 0 cosx通過例 子加深 對重要 極限變 形理解求 lxim0arcsin x1lim 2x 02x sin2(2x)212lxim0(x sin1 122解 令 t arcsinx, 則 t sin x, 當 x 0 時 , 有 t 0. 于是由復(fù)合函數(shù)的極限運算法則得例5lim x01求 lim xsin xxarcsin xlim t 1. t 0 sint1令 t . 當 x 時， t 0 .x1 s

7、intlim xsin lim 1.xx t0 t例6sin x求 limxx令 t x , 則 sin x sin( t) sin t . 當 x 0 時， t 0 .sin x sin t lim lim 1. x x t0 t例7sin 4x求 limx0 x 1 1練習(xí)：求下列極限：sin 4x limx0 x1 1limx04sin4x4x(x 1 1) 412 8.sinxtan3x lim5x sin5xx 0 tan3x 小結(jié)： limx0x1 cos2x通過練 習(xí)鞏固 對第一 個重要 極限的 掌握1正確、靈活地運用公式sin xlimx0 x運用換元法時須注意自變量的變化趨勢

8、的改變和系數(shù)的變化。23.利用此公式求極限時，一定要注意變量的變化趨勢，不能一概而論，造成思維定勢，如求lim sin x 0。xx理解單 調(diào)數(shù)列 的概念定義 1 ： 設(shè)有數(shù)列ynf n ，如果對任何正整數(shù)n ，恒有 f n f n 1 ，則 f n 為 單調(diào)增加數(shù)列；定義2： 如果對任何正整數(shù)n ， 恒有 f n f n 1 ， 則 f n 為 單調(diào)減少數(shù)列。定 義 3 ：如果存在兩個常數(shù) m 和 M m M ， 使對任 何正整數(shù)n ， 恒 有m f n M ，則 f n 為 有界數(shù)列 。準則 II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限例如，yn存在， lim ynn1111： 1, , ,n2341lim

9、 0 。nn可看出，y n單調(diào)減少，且yn0， 所以， lim ynn二、第二個重要極限12) lim 1 x0 n證明 下證這個極限是存在的。設(shè) f n 1 1nf n 是單調(diào)增加的。根據(jù)二項式定理，有1fn 1n1 1n! 1nnn 1 12!n1n2133!nn 1 n 2 n n 11111111! 2!nn!掌握第 二個重 要極限11113! 1 n 111111n! nn1n1fn1 1n111111! 2! n131! 111 n111n! n 11 n1n1n11 n1!11n1 n111nn1f n 1 的每一項都大于f n 的對應(yīng)項，而且f n 1 還多出一個正的尾項。因而

10、f n f n 1 n 1,2,3,即 f n 單調(diào)增加 .再證明 f n 是有界的：1111fn 112! 3!k!n!k! 2k 1 k 2 ，所以用2k 1 代替上式分母中的k!，得111f n 1 12 k12 222k 121n11 21n1231 1212n 13n 多么大，f n 總小于 3，即 f n 有上界 .n lim 1 1 一定存在。這個極限是個無理數(shù)，用字母 nne 表示，即lim 1 1 n e nn注： （ 1）類型：1 型12)等價形式lim (1 t)t e3）推廣形式：1lixm 0 1 x x e .2x2lxim (1 x)lxim (1 x)x2 22 x2 lxim (1 x)22)2x2 x11解 lim x 1 2x lim 1 2x x lim 1 2x 2x e 2x0x0x0例 3 求 lim (x 1)3x通過例 題加深 對第二 個重要 極限的 掌握xx解 lim (x)3xlim (1)3x lim (1)x3e3xx x xxx例 4 計算 lim ln(1 x)x0 x解 lim ln(1 x) lim 1 ln(1 x)x 0 x x 0x1 lim ln(