正態(tài)分布的定義與表格

1、Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部本資料來源Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 正態(tài)分布，也稱常態(tài)分布，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種應(yīng)正態(tài)分布，也稱常態(tài)分布，是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種應(yīng)用廣泛的連續(xù)分布，用來描述隨機(jī)現(xiàn)象。首先由用廣泛的連續(xù)分布，用來描述隨機(jī)現(xiàn)象。首先由德國數(shù)學(xué)家高斯（德國數(shù)學(xué)家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-1855）發(fā)現(xiàn)，所以亦稱高斯分布。）發(fā)現(xiàn)，所以亦稱高斯分布。 正態(tài)分布現(xiàn)大正態(tài)分布現(xiàn)大量應(yīng)用于誤差分析，及質(zhì)量管理上量應(yīng)用于誤差分析，及質(zhì)量管理上 ,可以這樣說，可

2、以這樣說，沒有正態(tài)分布，就沒有數(shù)理統(tǒng)計(jì)，沒有正態(tài)分布，沒有正態(tài)分布，就沒有數(shù)理統(tǒng)計(jì)，沒有正態(tài)分布，就沒有現(xiàn)代化企業(yè)。就沒有現(xiàn)代化企業(yè)。 Carl Friedrich GaussPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部正態(tài)分布的定義是什么呢？正態(tài)分布的定義是什么呢？ 對于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是對于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出它的給出它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù). Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義如果連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為如果連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度為 ：),

3、(2NX記作記作 f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 22Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？ 由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一地由它由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一地由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點(diǎn)分布的密度函數(shù)有什么特點(diǎn). Prepare by H.PJPrepare by H.P

4、J慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. .Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2NPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式

5、，能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？xexfx,)()(22221 容易看到，容易看到，f(x)0即整個(gè)概率密度曲線都在即整個(gè)概率密度曲線都在x軸的上方軸的上方; ;Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達(dá)到處達(dá)到最大最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f () 21)(f

6、Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時(shí)，越來越向左右伸展時(shí)，越來越貼近貼近x軸軸. . 即即f (x)以以x軸為漸近線軸為漸近線. . xexfx,)()(22221 當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x) 0, ,Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部xexfx,)()(22221 為為f (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo). .x = 拐點(diǎn)坐標(biāo)為拐點(diǎn)坐標(biāo)為,在在 內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的,其它范圍內(nèi)是凹的。其它范圍內(nèi)是凹的。2121,e,Prepare by H.

7、PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖出正態(tài)分布的概率密度曲線圖. .拐點(diǎn)極大值點(diǎn)Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部二、正態(tài)曲線（二、正態(tài)曲線（ normal curve ）圖形特點(diǎn)圖形特點(diǎn)：1. 鐘型鐘型2. 中間高中間高3. 兩頭低兩頭低4. 左右對稱左右對稱5. 最高處對應(yīng)最高處對應(yīng)于于X軸的值軸的值就是均數(shù)就是均數(shù)6. 曲線下面積曲線下面積為為17. 標(biāo)準(zhǔn)差決定標(biāo)準(zhǔn)差決定曲線的形狀曲線的形狀Prepare by H.P

8、JPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 )1 , 0 (2N)8 . 0 , 1(2N)2 . 1 , 1 (2N決定曲線的位置，決定曲線的位置，決定曲線的決定曲線的“胖瘦胖瘦”Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部（4）服從正態(tài)分布的總體特征）服從正態(tài)分布的總體特征產(chǎn)品尺寸這一典型總體，它服從正態(tài)分布產(chǎn)品尺寸這一典型總體，它服從正態(tài)分布。 它的特征：它的特征：生產(chǎn)條件正常穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、生產(chǎn)條件正常穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在

9、產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素。素。 一般地一般地，當(dāng)一隨機(jī)變量是大量微小的獨(dú)立隨機(jī)，當(dāng)一隨機(jī)變量是大量微小的獨(dú)立隨機(jī)因素共同作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起因素共同作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其他因素的作用時(shí)，到壓倒其他因素的作用時(shí)，這個(gè)隨機(jī)變量就被這個(gè)隨機(jī)變量就被認(rèn)為服從正態(tài)分布認(rèn)為服從正態(tài)分布。Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 用上海用上海99年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖頻率直方圖.從直方圖，我們可以初步看出，年降從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布

10、雨量近似服從正態(tài)分布.Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖.紅線紅線是是擬合的擬合的正態(tài)密正態(tài)密度曲線度曲線 可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正可見，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布態(tài)分布.Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 人的身高高低不等，但中等身材的人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這

11、從一且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量個(gè)方面反映了服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的特點(diǎn)的特點(diǎn).Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 請大家想一想，實(shí)際生活中以及請大家想一想，實(shí)際生活中以及工作種具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量還有工作種具有這種特點(diǎn)的隨機(jī)變量還有哪些呢？哪些呢？Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 除了我們在前面遇到過的年降雨量外除了我們在前面遇到過的年降雨量外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和

12、張力；某地區(qū)成件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布. .Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 設(shè)設(shè)X ,),(2NX的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是xdtexFxt,)()(22221 Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分

13、布由它的兩個(gè)參數(shù)和和唯唯一確定，一確定， 當(dāng)當(dāng)和和不同時(shí)，是不同的正不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部dtexxt2221)(二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .xexx,21)(22其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 標(biāo)

14、準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. .它的依據(jù)是下面的定理它的依據(jù)是下面的定理： 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題率計(jì)算問題. .),(2NXXY, ,則則 N(0,1) 設(shè)設(shè)定理定理1Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值

15、表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表. .三、正態(tài)分布表三、正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中給的是表中給的是x0時(shí)時(shí), (x)的值的值.當(dāng)當(dāng)-x0時(shí)時(shí)xxPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(abPrepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天下品質(zhì)部慧通天下品質(zhì)部 利用下表，可求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間利用下表，可求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間內(nèi)內(nèi) 取值的概率。取值的概率。21, xx 12xxp即，可用如圖的即，可用如圖的藍(lán)色藍(lán)色陰影部分表示。陰影部分表示。公式：公式：Prepare by H.PJPrepare by H.PJ慧通天