第二章光束傳播法基本原理

1、第四章光束傳播法基礎(chǔ)第一節(jié)數(shù)值計(jì)算方法1 .電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算它是一種基于麥克斯韋方程組，建立逼近實(shí)際工程電磁場(chǎng)問(wèn)題的連續(xù)型的 數(shù)學(xué)模型,（合理的假設(shè)）然后采用相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，經(jīng)離散化處理，（合適的方法，使離散化的模型既能反映連續(xù)型模型的特性，又便于計(jì)算機(jī)分析）把連續(xù)型數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的離散型數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出待求離散數(shù)學(xué)模型的離散 解（數(shù)值解）,從而獲得相應(yīng)結(jié)果的一種方法。2 .數(shù)值方法分類：時(shí)域分析、頻域分析。時(shí)域分析：模擬光在波導(dǎo)中的傳播過(guò)程頻域分析：求解波導(dǎo)模式時(shí)域分析 逼真：把原來(lái)因?yàn)樗俣忍?、結(jié)構(gòu)太小、不可見(jiàn)的現(xiàn)象模擬出來(lái)， 能夠直觀地展示。求解：波導(dǎo)連接、耦合、非線性特性、波導(dǎo)模

2、式。頻域分析：光場(chǎng)分布、給定具體結(jié)構(gòu)波導(dǎo)的模式的有效折射率 （色散、偏振）、損 耗（材料吸收、結(jié)構(gòu)本身導(dǎo)致）等。問(wèn)題：頻域結(jié)果能否推得時(shí)域信息？反之？3 .常用數(shù)值方法簡(jiǎn)介（1）有限差分法（頻域有限差分法）（20世紀(jì)50年代出現(xiàn)）利用劃分網(wǎng)格的方法將定解區(qū)域離散化為網(wǎng)格離散 節(jié)點(diǎn)的集合，然后基于差分原理，以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來(lái)近似替代該點(diǎn)上 的偏導(dǎo)數(shù)，這樣待求的偏微分方程定解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一組相應(yīng)的差分方程的問(wèn) 題。根據(jù)差分方程組，解出各離散點(diǎn)上的待求函數(shù)值，即為所求定解問(wèn)題的離 散解，再應(yīng)用插值方法便可從離散解得到定解問(wèn)題在整個(gè)場(chǎng)域上的近似解。原理:偏導(dǎo)差分方法特點(diǎn)：原理簡(jiǎn)單、通用性好；對(duì)復(fù)

3、雜結(jié)構(gòu)，計(jì)算量大（矩陣運(yùn)算）。（頻域分析）適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模式求解?，F(xiàn)狀：適用于較簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的分析。但有限差分（偏導(dǎo) 差分）法廣泛應(yīng)用于數(shù)值方法中（2）有限元法20世紀(jì)40年代提出，其在電磁問(wèn)題方面的應(yīng)用有約 40多年歷史。以變分原理為基礎(chǔ)，把所要求解的微分方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，即泛函求極值問(wèn)題。常見(jiàn)方法為把要分析的區(qū)域劃分為很多三角形（每個(gè)三角形成為一個(gè)基元），每個(gè)基元內(nèi)的場(chǎng)用多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)，然后加入不同基元間場(chǎng)的連續(xù)條 件，就可得到整個(gè)橫截面的場(chǎng)分布。特點(diǎn)：較復(fù)雜一需要前處理（三角化，剖分）；后處理：（場(chǎng)分布，偽解剔除） （通用性強(qiáng)，精度高）根據(jù)該方法對(duì)于各種各樣的電磁計(jì)算問(wèn)題具有較

4、強(qiáng)的適應(yīng)能力性,所形成的代數(shù)方程矩陣求解容易、收斂性好。主要缺點(diǎn)：對(duì)于形狀和分布復(fù)雜的三維問(wèn)題，由于其變量多和剖分要求細(xì)，往往因計(jì)算 機(jī)內(nèi)存而受到限制。程序設(shè)計(jì)復(fù)雜、計(jì)算量較大。適用范圍：求解光波導(dǎo)的模式（有效折射率、色散、雙折射、傳輸損耗等） ?，F(xiàn)狀：功能最強(qiáng)大的數(shù)值方法之一。特別是上世紀(jì)90年代出現(xiàn)的矢量有限元方法，完全解決了有限元方法出現(xiàn)的偽解問(wèn)題，大大降低了有限元法的后處理 過(guò)程。有限元光束傳播法。（3）時(shí)域有限差分法時(shí)域有限差分法是近年來(lái)開(kāi)始流行的一種數(shù)值模擬方法,它通過(guò)將麥克斯韋方程在時(shí)間空間上離散化的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波傳播的模擬。它能夠得到電磁 波傳輸?shù)乃矐B(tài)（即時(shí)域）信息，通過(guò)傅里

5、葉變換即可得到相應(yīng)的頻域信息。時(shí)域有限差分法由K.S.Yee于1966年首先提出，此后經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的努力， 使之不斷完善，現(xiàn)已比較成熟。但是，在許多方面它仍在繼續(xù)發(fā)展，解決問(wèn)題 的能力和應(yīng)用范圍仍在不斷地提高和擴(kuò)大。計(jì)算過(guò)程為：設(shè)置初始場(chǎng)，然后依時(shí)間步推進(jìn)計(jì)算，并在每一時(shí)間步交替地 計(jì)算每一離散點(diǎn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。特點(diǎn)：不需要矩陣運(yùn)算，只需簡(jiǎn)單的加減乘除運(yùn)算由前一時(shí)刻的場(chǎng)來(lái)獲得下 一時(shí)刻場(chǎng)的值。而且，它還非常適合于并行計(jì)算，這正好與當(dāng)今計(jì)算機(jī)的發(fā)展 趨勢(shì)相吻合，這就更加提高了時(shí)域有限差分法解決實(shí)際復(fù)雜問(wèn)題的能力。 適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模場(chǎng)分布、有效折射率；研究波導(dǎo)之間的連接、耦合 問(wèn)題。注：主要

6、用于一維和二維光波導(dǎo)的分析。三維波導(dǎo)分析計(jì)算量稍大。現(xiàn)狀：ADI FDTD ,可應(yīng)用于各向異性介質(zhì)，非線性介質(zhì)，PML吸收邊界光束傳播法(Beam Propagation Method ,簡(jiǎn)寫 BPM)光束傳播法是目前光波導(dǎo)器件研究與設(shè)計(jì)領(lǐng)域最流行的方法之一，其基本思想是在給定初始場(chǎng)的前提下，一步一步地計(jì)算出各個(gè)傳播截面上的場(chǎng)。光束傳播法最早是由M.D.Feit等人于1978年研究光場(chǎng)及大氣激光束傳播時(shí)提出的。 最早的BPM是以快速傅里葉變換(Fast-Fourier Transform，稱FFT)為數(shù)學(xué)手段 實(shí)現(xiàn)的，稱為FFT-BPM。FFT-BPM源于標(biāo)量波方程，只能得到標(biāo)量場(chǎng)(即只能 處

7、理一個(gè)偏振分量)，不能分辨出場(chǎng)的不同偏振(TE?；騎M模)以及場(chǎng)之間的耦 合。由于上述缺點(diǎn)，D.Yevick等人于1989年提出了一種新方法一有限差分光束 傳播法FD-BPM ,用差分的方法將橫截面上的場(chǎng)離散化。這種方法已被成功地應(yīng)用于分析 Y型波導(dǎo)及S型彎曲波導(dǎo)中的光波傳輸， 且對(duì)損耗的計(jì)算也得到了準(zhǔn)確的結(jié)果；FD-BPM還被用于分析條形波導(dǎo)、三維 彎曲波導(dǎo)、二階非線性效應(yīng)以及有源器件。頻域分析方面，同樣可采用光束傳播法進(jìn)行分析：可采用 相關(guān)函數(shù)法獲得， 還發(fā)展了一種稱為虛軸光束傳播法的方法，用于分析波導(dǎo)中的模式。其實(shí)，BPM與FDTD有不少相似的地方。其不同在于，F(xiàn)DTD每次都要同 時(shí)計(jì)算

8、整個(gè)波導(dǎo)的模場(chǎng)，而 BPM只算一個(gè)面。特點(diǎn)：計(jì)算量較小，應(yīng)用范圍非常廣泛適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模式、色散、雙折射、傳輸損耗等；分析波導(dǎo)傳輸、 連接、耦合，光柵的傳輸特性等。4.數(shù)值方法發(fā)展趨勢(shì)：方法融合現(xiàn)象明顯（有限元法與光束傳播法的結(jié)合形成了另外一種方法一有限元光束傳播法（FE-BPM ）。）、相互推動(dòng)（PML FDTD , BPM, FEM）。第二節(jié)有限差分光束傳播法基本原理光束傳播法（BPM）的基本思想就是把波導(dǎo)沿著傳播方向剖分成若干個(gè)截面,根據(jù)前一個(gè)或幾個(gè)截面上的已知場(chǎng)分布得到下一個(gè)截面上的場(chǎng)分布BeaBPROP Sisulation ParaaetersContour Map of

9、Index Profile at Y=0-20-1001020X(nm)1.4545Contour Map of Index Profile at Y=0 1200“1I I- 1 11.45-1 | | i I i I | II | i | I i I i | i i ii | i I i i| ii r i | i i i 1 | i i ii i i i-i ii i i i i-20-1001020X (pm)BPM理論來(lái)源于波動(dòng)方程，波動(dòng)方程是建立在Maxwell方程基礎(chǔ)Maxwell方程的一般形式為E(t)B(t)(1a)H(t)J(t)D(t)t(1b)(1c)(1d)D(t)B

10、(t)式中，E為電場(chǎng)強(qiáng)度，H為磁場(chǎng)強(qiáng)度,D為電矢量位移，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，J為電流密度矢量，為體電荷密度，t為時(shí)間。對(duì)于各向同性、非磁性、電中J(t) E(t),B(t)0H(t),D(t) E(t)式中,為電導(dǎo)率，0為真空磁化率常數(shù)，為介電常數(shù)。將式(2)代入式(1)E(t) 0H(t) E(t)幽0 tE(t)t(3a)(3b)考慮到場(chǎng)對(duì)時(shí)間的依賴E(t) Eexp(i t),H(t)H exp(i t)式中，E Exi Evj Ezk,H HxiX y ZXHyjHzk為復(fù)振幅，為角頻率，i為單位虛數(shù)把式(4)代入式，有0H)EE)0(H)(6)(5a) (5b)式(5a)可進(jìn)一步寫為將式

11、(5b)代入式(6)，有E)0()E定義復(fù)相對(duì)介電常數(shù)(8)% % i% (一二)00將式(8)代入式(7),就可以得到關(guān)于電場(chǎng)的矢量波方程(E)2E式中，由下式表示2o(10)22 0 0 % % ()2%C其中，C為真空光速,為真空波長(zhǎng)。采用同樣的過(guò)程，可以得到關(guān)于磁場(chǎng)矢(11)(12)(13)(14)(15)(16)量波方程12(H)獲 ( H) 2H對(duì)于任何矢量G ,有(G) ( G) 2G又B ( °H) 0D ( E) EE從而可以進(jìn)一步得到H 011E -(E) - ( %E)%把式(12)和式(16)代入到式(9)和(11),可以得到o12E (-% E) 2E 0(

12、17)2H考慮準(zhǔn)TE模(Ez2E2H式中1 2% ( H) 2H 0 %0)和準(zhǔn) TM( Hz0)模，有(18)2E 0(19a)H)(一k H2H 0(19b)將式(19)寫成分量形式如下2Ex2Ey2Hx% Hy(20)E*iEyj(21)HxiXHyj(22)%Ey y2EX0X(23a)%E XHx% Hx2Ey 0(23b)2Hx 0(23c)2Hy 0(23d)2.1 % HxHy1 %HyHyx % xyx% z z進(jìn)一步可以寫為(24d)2Ex2Ex2Ex%Ex2Ey(24a)2Ey2 _2 _2e2ej-y-2"2-xz%一y%Ex2Ex(24b)1 Hx% y2H

13、x2 x2Hx 1Hx2Hx2Hy1 Hy % x(24c)% x1 Hy2H y2y2h2 z% Hy式(24)中，Ex, xEyHx2Hy2Hx% x % yHy是空間坐標(biāo)x,y, z的函數(shù),把Ex, Ey, H x, H y隨z的快速周期變化部分分離，令Exx(x,y,z)exp(iz)(25a)Eyy(x,y,z)exp( iz)(25b)Hxx(x,y,z)exp( iz)(25c)Hyy(x,y,z)exp(iz)(25d)c式中，n0為參考折射率，選擇時(shí)應(yīng)盡量接近導(dǎo)模的有效折射率，否則會(huì)影響計(jì)算精度。 x , y, x，y為包絡(luò)函數(shù)，如圖1所示。x, y, x, yEx，Ey，H

14、圖2-1包絡(luò)函數(shù)示意圖將式(25)代入式(24)可得包絡(luò)函數(shù)的矢量波方程22x x 2i22y z12(28a)(27a)2y-2x2y""2z2i(27b)222ix x2-2-x z(27c)1» y% z z22% -yT T 2ix % x yz2221%212 i -x% -% z y x y x % y進(jìn)一步整理得(27d)2T 2i xAxx xA<yyzz22i(28b)2x-2"z2i1 7o% z zBxxBxy(28c)2iB B yy y yx x(28d)式中x2x 222xyA yy y1_%、Ayx2x2x1 % i%

15、 z2BxyByy三維半矢量形式Byx忽略x, y場(chǎng)之間的耦合，則有2 x2z2ix2y ""2 z2x2z2i2i2iBxx xByy3.二維標(biāo)量形式（忽略場(chǎng)的方向性）2-V 2i - A z z22i z4.二維半矢量形式與三維半矢量類似，但是折射率分布更簡(jiǎn)單5.二維標(biāo)量形式2.1.2方程離散數(shù)值處理（1）縱向數(shù)值處理直接求解方程式（27）是非常困難的，因此需要對(duì)它進(jìn)行離 散化處理，通過(guò)數(shù)值方法來(lái)求解。BPM的數(shù)值離散化處理方法很多，這里采用有限差分方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，有限差分法的核心就是把導(dǎo)數(shù)寫成差分的形式。為了便于方程的求解，有必要對(duì)方程進(jìn)行近似處理，在縱向 （即沿著光的傳

16、 播方向Z）的近似處理有緩變包絡(luò)近似（SVEA）、廣角近似等。在這里，我們采用 緩變包絡(luò)近似方法。如果包絡(luò)函數(shù)隨Z的變化足夠緩慢，使得20z則有22- 2i 2i （29）Z Z Z其中，代表上述各個(gè)包絡(luò)函數(shù)?？v向處理主要是解決傳播方向上相鄰兩個(gè)截面上場(chǎng)的關(guān)系問(wèn)題，從式 （29）可 以看出，縱向處理就轉(zhuǎn)化為對(duì)Z的一階偏微分處理。設(shè)相鄰的兩個(gè)截面分別用l 和l 1標(biāo)志，第l個(gè)截面上的場(chǎng)為已知，第l 1截面上的場(chǎng)待求，兩截面的問(wèn) 距為 Z,見(jiàn)圖。Z圖2相鄰截面差分格式示意圖式(29)中右邊的偏微分項(xiàng)可差分為(30)式28可表小為(31)即：11 zf若右邊值已知，則由1面上的場(chǎng)場(chǎng)分布,就可以獲得1

17、+1面上的場(chǎng)分量1 1類似的方法還有：穩(wěn)定性：是指計(jì)算過(guò)程中積累誤差是無(wú)限增加還是可以控制， 對(duì)于沿z方向折射率緩變的情況,0.5時(shí)，上述差分格式是穩(wěn)定的。數(shù)值損耗：由數(shù)值計(jì)算引起的沿傳輸方向上的能量損失，是非物理?yè)p耗。研究表明,0.5時(shí)，數(shù)值損耗最小,1時(shí)，數(shù)值損耗最大。因此，綜合考慮到數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性及數(shù)值損耗， 在計(jì)算中，要仔細(xì)選擇合適的 值，使得穩(wěn)定性和數(shù)值損耗都可以接受。這樣，式(28)可進(jìn)步化為AxxAyyi y(32a)ixBxxBxxByyByy(32b) Ayy(32c)B iyx x (32d)2i其中2iz%緩變包絡(luò)近似特點(diǎn):最早提出，方法最簡(jiǎn)單 廣角近似 (Pad e近

18、例特點(diǎn)：近似更少，更高精度(2)橫向數(shù)值處理圖3所示的是九點(diǎn)差分網(wǎng)格，橫向數(shù)值處理就是圖3有限差分網(wǎng)格結(jié)構(gòu)在有限差分光束傳播法中，橫向處理可采用上述的九點(diǎn)差分格式，設(shè)要差分的變量為 (x, y),則在點(diǎn)(m,n)上，的一階和二階導(dǎo)數(shù)可差分為x (m,n)y (m,n)(m 1,n) (m 1,n)2 x(33)(m,n 1) (m,n 1) 2 y(m,n)(34)(m 1,n) (m 1,n) 2 (m,n)2x2y (m,n)(m,n)(35)(m,n 1) (m,n 1) 2 (m,n)2y(36)1 ， m 1,n 1 m 1,n 14 x ym 1,n 1m 1,n 1(37)(m,

19、n)m 1,n1,n 1m 1,n1,n 1(38)另外，對(duì)于變量K ,有m,nm 1/ 2,nm 1/2,n1,n1,n1,nK m,nm, n1,nm, nm,n1,n1,n(39)m,nm 1,nm 1,n1,nm 1,n 1Pm 1,n 1 m 1,n 1 -P m 1,n 1m 1,n 1 +式中P m 1,n 1 m 1,n 1(40)Km 1,n K m,nT m 1,n2K m 1,n K m,nK m 1,n 1P m 1,n 1K m 1,n將以上各式應(yīng)用到式（32）,進(jìn)行整理，就可以得到有限差分光束傳播法的基本方11PEx m,ni 1x m,npE 1xi 11,n x

20、 m 1,ni 1/i 1/PEx m,n 1x m,n 1i - iiPex m,n x m,nPex m 1,nm 1,nPEx m,n 1 x m,n 1QE m 1,n 11V m 1,n 1xyi 1i 1i 1PE m,n v m,nPE mEyyEyi 1i 1PEm,n 1 v m,n 1yyiiiPE m,n v m,n PE m 1,ny Jyy/pE m,n 1' m,n 1yy(41a)i 11,n y m 1,nm 1,nQEy m 1,n 1 x m 1,n 1(41b)l 1Phx m,nxm,nPHx1,n1,nl 1PHx m,nlPhx m,nPHx

21、 m,n xm, nlx1m, nlPHx m1,n1,nm,n 1qH x1,n1,n(41c)l 1PHy m,nl 1PHy m,nm, nl 1PHym1,n1,nm, nlPHy m,nPHy m,nm, nl yPHym,n式中l(wèi) 1PEx m,nPE1xqH1,nl 1TE mm 1,nl 1PEx m,n1,n1,n1,n1,n(41d)m,n,ltE1TE121,n1,npExm,n CTE m 1,nTE m 1,n4PExqEx1,nTepE 1ym,n11Te m, n1,nPEx m,n“ I2m, n,1i1Te m 1,nm 1 m n 1 n% m 1,n 1,

22、l1,n,l2% m 1,n1,n% m 1,n% m,ni 11Te m,n 142m, n,ll 1PEy m,n 1i 1Te m, npEym,nqEPEyi TE m, npE匚y1,n 1Tem 1,nm, n 1pEEym,nm,nD11m, niTE m, n 142m, n,11 tE m,n1,n-2x2% m,n% m,ntH1% m 1,n% m,n 1,l1% m,ni 1m, n 1 Thm,n 12m,n,1 1%m,n,l 2 %m,n,l%m,n,l 12 zi iPhx m 1,n2xxl 11 1 d Th m,n 1Phx m,n 12yPHX m,ni

23、D m, n 1iiTh m,n 1Th m,n 12y22122m,n,1 xi %m,n,1 1%m,n,1 1%m,n,12 zPH m 1,n xPHx m,n 111 Th m, n 12yQHX m 1,n 1 xm 1 m n 1 n% m,n,1% m, n 1,12 %m,nTh m,n 1%m, n%m,n 1D1 m, n12i z%m,n,l 1 %m,n,l 12 z%m,n,li iPHymEd11m, ni 1iThm 1,n Th1 m 1,npHlPHy m,nm,n,l 12i%m,n,lPHy1m,n1,niD m, n%m,n,l 2%m, n,l2 zi 1TH m 1,ntH m 1,nTH m 1,nm, n,l%m,n,l 1 %m,n,l 1%m,n,lpH m,n 1yP： m 1,nxlTH m 1,n2Xlm 1 m n 1 n % m, n,lQh m 1,n 1 1 y4 x y% m 1,n,lTh m 1,n2 %m,n%m, n%m 1,n2.2邊界條件的選取光束傳播法是在計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間中對(duì)連續(xù)的實(shí)際電磁波傳播過(guò)程在 空