常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史--適定性理論階段

1、第二講常微分方程發(fā)展簡(jiǎn)史論 階段適定性理高階方程Euler的信中說，他已經(jīng)解決了一 分，他得到了 一個(gè)四階線性常微1734年12月Bernoulli Da niel在給當(dāng)時(shí)在圣彼得堡的 端固定在墻上而另一端自由的彈性橫梁的橫向位移問題 方程41其中k是常數(shù)，x是橫梁上距自由端的距離，y是在x點(diǎn)的相對(duì)于橫梁為彎曲位置的垂直位移.Euler在1735年6月前的回信中說道，他也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這個(gè)方程，對(duì)這個(gè)方程，除了用級(jí) 數(shù)外無 法積分劑確實(shí)得到了四個(gè)級(jí)數(shù)解)這些級(jí)數(shù)代表圓函數(shù)和指數(shù)函數(shù))但在當(dāng)時(shí)Euler沒有了解到這占？ 八、1739年9月，Euler在給Bernoulli John的信中指出，上述方

2、程的解可以表示成xx 1xxy=a(cos cosh-)(s in si nh-),kkbkk其中b可由條件y(l) =0來確定？彈性問題促使Euler考慮求解常系數(shù)一般線性方程的數(shù)學(xué)問題？ 1739年9月，Euler在給Bernoulli John的信中首次提到了常系數(shù)齊次常微分方程，并說他已取得了成功.在1743年至1750年間，Euler考慮了 $n$階常系數(shù)齊次線性方程y ay(n 勺any ' a* = f (x),第一次引入了特解、通解的概念 ，指出通解必包含n個(gè)任意常數(shù)，而且是由n個(gè)特解分別乘 以任意 常數(shù)后相加而成的，創(chuàng)立了求解$n$階常系數(shù)線性齊次微分方程的完整解法-

3、特征方程法.討論了特征根是單根、重根、共軻復(fù)根和復(fù)重根的情形，這樣Euler完整解決了常系數(shù)線性齊次方程求解問題.1750年至1751年，Euler討論了 n階常系數(shù)線性非齊次方程，他又提出了一種降低方程階的解法.Euler還是微分方程近似解的創(chuàng)始人，他提出了的“歐拉折線法”僅解決了常微分方程解的存在性的證明，而且也是常微分方程數(shù)值計(jì)算的最主要的方法之一1750年，Euler又給出了求解微分方程的級(jí)數(shù)解法.1768年至1769年，Euler還將積分因 子法推廣到高階方程，以及利用變換可以將變系數(shù)的Euler方程化為常系數(shù)線性方程.在Euler工作的基礎(chǔ)上，1763年D'Alembert

4、給出了求非齊次線性方程通解的方法，即非齊次方程的通解等于齊次方程的通解加上一個(gè)非齊次方程的特解1762年至1765年間，Lagrange J對(duì)高階變系數(shù)線性齊次方程的研究也邁出了一步)并引出伴隨方程(這個(gè)名字是1873年Fuchs Lazarus取的,Lagrange并未給它取名)，同時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè) 定理：非齊次線性常微分方程的伴隨方程的伴隨方程，就是原來方程對(duì)應(yīng)的齊次方程.Lagrange把Euler L在1743年至1750年間關(guān)于常系數(shù)線性齊次微分方程的某些結(jié)果推廣到了變系數(shù)線性齊次方程？ Lagrange發(fā)現(xiàn),齊次方程的通解是由一些獨(dú)立的特解分別乘以任意常數(shù)后相加而成的，而且若已知高階方程

5、的m個(gè)特解就可以將方程降低m階.1774-1775年，Lagrange提出了 “常數(shù)變易法”，解出了一般$n$階變系數(shù)非齊次線性常微分方程位是18世紀(jì)微分方程求解的最高成就？Newt on I在創(chuàng)建微積分時(shí)就給出了求解微分方程的“級(jí)數(shù)展開法”和“待定系數(shù)法”1842年Cauchy A完善了 “待定系數(shù)法”探索常微分方程的一般積分方法大概到1775年就停止了，此后100年沒有出現(xiàn)新的重大的新方法)直到19世紀(jì)末才引進(jìn)了 Laplace變換法和算子法.從總體上看，17世紀(jì)的微分方程仍然是微積分的一部分，并未單獨(dú)形成一個(gè)分支學(xué)科在18世紀(jì)，由解決一些具體物理問題而發(fā)展起來的微分方程，已經(jīng)成為有自己的

6、目標(biāo)和方法的新的數(shù)學(xué)分支 近段時(shí)期，數(shù)學(xué)家把注意力主要集中在求常微分方程的解上，并且取得了一系列重大進(jìn)展？寸解的理解和尋求，在本質(zhì)上逐漸起了變化.最初，數(shù)學(xué)家們用初等函 數(shù)找解，接著是用一個(gè)沒有積出的積分來表示解解用初等函數(shù)及其積分來尋求解的巨大努力失敗之后，數(shù)學(xué)家們轉(zhuǎn)向用無窮級(jí)數(shù)求解了泗后來人們逐漸發(fā)現(xiàn)，很多常微分方程求解是非常困難的，甚至是不可能的？2、常微分方程適定性理論：19世紀(jì)初期和中期19世紀(jì)初期和中期是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)轉(zhuǎn)變時(shí)期。數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)、群的概念、復(fù) 變函數(shù)的開創(chuàng)等都在這個(gè)時(shí)期。常微分方程深受這些新概念和新方法的影響，進(jìn)入了它發(fā)展的第二個(gè)階段。Riccati 方程在微分方

7、程早期研究中出現(xiàn)的一類重要的非線性方程就是所謂的Riccati方程d八=p(x)y 2 ? q (x y r X )它最早是由研究聲學(xué)的威尼斯的Riccati Jacopo Grancesco 伯dx爵于1723年至1724年間通過變量代換從一個(gè)二階方程降階得到的一個(gè)一階方程？ Riccati的工作之所以者的重視，不僅由于他處理了二階微分方程，而且由于他有把二階方程化到一階方程的想法，使降階法成為處理高階方程的主要方法之一？1686年，Leibniz向數(shù)學(xué)界推出求解方程y'x y (Riccati方程的特例)的通解的這一挑戰(zhàn)性問題，且直言自己研究多年而未果領(lǐng)口此偉大的數(shù)學(xué)家，如此簡(jiǎn)單的

8、方程，激發(fā)了許多數(shù)學(xué)家的研究熱情理然此方程形式簡(jiǎn)單，但經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的努力仍不得其解？1725年，Daniel Bernoulli用初等方法求解了一個(gè)特殊的Riccati方程，他證明了 Riccati方程，dy ay =bxm（a = 0）,當(dāng)m = 0, -2,（ k為正整數(shù)）時(shí)能化為變量可分離dx2 k -1方程.1760年至1761年,Euler L證明方程y： y?二axn在已知一個(gè)特解 y的情況下，通過變Riccati方程,而且對(duì)這換z =1/ y -yi可化為線性方程；D'Alembert J最先研究了一般形式的類方程采用了 “ Riccati方程”這一名稱,Abel N研

9、究了 Abel第一類和第二類方程的若干特殊類型，特別是對(duì)于Jacobi方程得到了通解.1841年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Liouville證明了 Riccati方程除了某些特殊情形外 ，對(duì)一般的p,q,r，不 能用初等積分法求其通解 ,當(dāng)然，對(duì)于一般的非線性方程將更是如此，這與代數(shù) 學(xué)中，五次和五次以上方程沒有根式公式解的結(jié)論有相似的理論意義Poincare J曾經(jīng)將代數(shù)方程求根的問題（見代數(shù)學(xué)）和常微分方程求解問題的歷史發(fā)展作過對(duì)比，這種對(duì)比既直觀又富有成果。例如：1824年，Abel N H證明五次代數(shù)方程沒有一般的用根式求解的公式，從而結(jié)束了一般代數(shù)方程求根式通解的企圖。類似地，1841年Liouv

10、ille證明了 Riccati方程除了某些特殊情形外，對(duì)一般的p,q,r ,不能用初等積分法求其通解，從而結(jié)束了一般常微分方程求通解的企圖。1832年,Gailois E創(chuàng)造了群的概念，并將代數(shù)方程的根用根式表達(dá)的可能性和代數(shù)方程的根組成的置換群的可解性相聯(lián)系，得到可能性的充分必要條件是可解性。類似地，1874年Lie M S將群的概念用于常微分方程，引入了將常微分方程的解變?yōu)榻獾倪B續(xù)變換群的概念。當(dāng)連續(xù)變換群已知時(shí)，常微分方程的積分因子即可顯式地寫出，從而解決了解的可積性問題。這些工作從正反兩方面將常微分方程的理論提高到一個(gè)新的水平。Riccati的工作迫使人們另辟蹊徑,考慮不借助于解的表達(dá)

11、式而從方程本身的特點(diǎn)去推 斷其解的性質(zhì)（周期性、有界性、穩(wěn)定性等），以及尋找各種近似求解的方法，從而導(dǎo)致微分方程理論的研究進(jìn)入了一個(gè)多樣化的發(fā)展時(shí)期在物理，力學(xué)上所提出的微分方程問題，又大都要求滿足某種附加條件的特解，即所謂定解問題的解 盤樣，人們開始改變了原來的想法，不去求通解，而從事定解問題的研究，研究熱潮逐漸由求方程的通解轉(zhuǎn)向常微分方程定解問題的適定性.18世紀(jì)以后不斷出現(xiàn)的特殊的微分方程的求解問題，也迫使數(shù)學(xué)家轉(zhuǎn)向?qū)獾拇嬖谛詥栴}的思考薛微分方程理論研究中的一個(gè)基本問題是微分方程是否有解存在？如果有解存在，其解是否唯一 ？這個(gè)問題的解決不僅可以使數(shù)學(xué)家避免對(duì)一些根本無解的方程作無謂的探

12、索，而且直接影響并導(dǎo)致微分方程的基本理論 沱些基本理論包括：解的存在及唯一性、延展性、解的整體存在性、解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性等？初值問題解的存在性19世紀(jì)初期，Cauchy A等人建立了數(shù)學(xué)分析（又稱分析學(xué)）的基礎(chǔ)。無限、極限、連續(xù)、 可微等等概念得到了精確的意義。Cauchy也是復(fù)變函數(shù)論的奠基人之一,Cauchy的一個(gè)考慮了微分方程的解的存在性問題 ，在相當(dāng)一般條件下解的存在唯一性定理，為ODEs的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，后來又有許多數(shù)學(xué)家做了大量工作，逐漸形成了常微分方程的基本理論.1768年，L. Euler最早考慮了一般常微分方程的解的存在性問題，并提出用簡(jiǎn)單的折線來近似地

13、描繪所要尋求的積分曲線-后人稱這種方法為Euler折線法（差分法），它標(biāo)志了微分方程近似計(jì)算方法的開端.1890年，Peano G在方程右端函數(shù)連續(xù)的假設(shè)下解是否存在的問題進(jìn)行了研究？ 1892年G. Pea no（1889年給出用集合定義自然數(shù)的Pea no公理；1890年第一次構(gòu)造出充滿正方形的連續(xù)曲線的例子,即Peano曲線）第一次對(duì)此問題給與了正面的回答,證明了著名的Peano存在性定理.這一結(jié)果通常被稱為Cauchy-Peano定理.1915年，Perron在更一般條件下研究了解的存在性.Cauchy-Peano存在性定理證明方法很多,例如:Euler折線法,Cauchy的優(yōu)級(jí)數(shù)法,

14、Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理方法等.在數(shù)學(xué)史上,用拓?fù)鋵W(xué)方法證明 Caucy-Peano存在性定理是1922年 G. Birkhoff 和 O. Kellogg 第一個(gè)給出的.1976 年，Gardner 給出了 Cauchy-Peano 存在 性定理的一 個(gè)新的初等證明,它沒有用到Arzela-Ascoli定理，而且也沒有用到積分的概念.更為有趣的是，在沒 有積分概念的情況下，應(yīng)用Garder方法可以證明關(guān)于連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在定理.眾所周知，在微積分學(xué)中）原函數(shù)的存在定理是通過Newton-Leibniz公式給出的，積分是不可缺少的概念.初值問題解的唯一性Cauchy在1820年首先嚴(yán)格證

15、明了在相當(dāng)一般的條件下微分方程解的存在唯一性定理為微分方程理論的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，1825年他開始對(duì)解的延拓等問題進(jìn)行研究；1836年用優(yōu)級(jí)數(shù)法證明了解析系數(shù)微分方程解的存在性；1896年，E Lindelof用取絕對(duì)值的方法得到了最好的優(yōu)級(jí)數(shù).1876年，德國(guó)數(shù)學(xué)家Lipschitz R把Cauchy的條件作了適當(dāng)?shù)臏p弱，提 出了著 名的Lipschitz條件.1838年，Liouville J在研究熱傳導(dǎo)方程時(shí)提出了逐次逼近法；1890年，Picard C給出了逐次逼近法的普遍形式 ，并逐漸形成了微分方程的一般理論，這一理論無論是對(duì)于求解還是研 究解的各種性質(zhì)都是最基本的 .在微分方程

16、理論中，逐次逼近法是比較經(jīng)典的方法.最早，Cauchy , Lipschitz , Peano等 曾 使用這種方法解決 某些特殊類型方程解的存在性問題.E Lindelof在1897年也使用過逐次 逼近法解決微分方程解的存在性問題，并且還在1899年證 明了隱函數(shù)定理.在此之前，A Cauchy和R Lipschitz在對(duì)右端函數(shù)加上較強(qiáng)的條件得到過同樣的結(jié)論.1893年，Picard C把這一方法應(yīng)用到一般非線性微分方程上來，因而又稱為Picard逐次逼近法，建立了Cauchy-Pichard 解的存在唯一性定理。解的存在唯一性是微分方程理論研究中的最重要的基本問題，是微分方程理論研究的基礎(chǔ)

17、.從Cauchy起，對(duì)唯一性問題的研究已有非常之多，條件也是多種多樣的.在歷史上，許多著名數(shù)學(xué)家對(duì)此問題進(jìn)行過深入的研究，得到了許多非常好的結(jié)果，例如：Resenbelett- Nagumo-Perron（1925） 定理、Osgood（1898）-Tamarkin-Montel 定理、Kamke 定理等 等.1993 年） Agarwal和Lakshmikantham對(duì)解的存在唯一性問題的研究結(jié)果作了全面系統(tǒng)的總結(jié)）對(duì)各種不同的判據(jù)作了詳盡的分析比較，為此問題的進(jìn)一步研究提供了必要的思路.從此書可以看出，所有的判據(jù)都是充分性判據(jù)，都有一定的適用范圍，一個(gè)自然問題是能否 找到解唯一的充分必要條件？ 2004年，在右端函數(shù)連續(xù)的前提下，王克和范猛建立了自治純量常微分方程解唯一的充分必要條件，徹底地解決了自治純量常微分方程的解的唯一性問題.對(duì)于其他類型的微分方程，這仍然是一