高考數(shù)學(xué)復(fù)習點撥 圓的方程---教材解讀

1、圓的方程教材解讀一、知識清點 （一）圓的標準方程1圓的標準方程，其中圓心為，半徑為。（1）圓的標準方程是利用圓的定義與兩點間的距離公式推導(dǎo)出來的；（2）由于方程的右端，故當右端小于0或等于0時不是圓的方程；（3）當圓心為圓點時，方程化為。2確定圓方程的條件圓的標準方程中，有三個參數(shù)、，只要求出、，這時圓的方程就被確定，因此，確定圓方程，需三個獨立條件，其中圓心是圓的定位條件，半徑是圓的定形條件。3點與圓的位置關(guān)系設(shè)點到圓：的圓心的距離為，則。當，即當時，點在圓的外部；當，即當時，點在圓的內(nèi)部；當，即當時，點在圓上。4幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式圓心在原點過原點圓心在軸上圓心在軸上圓心在軸

2、上且過原點圓心在軸上且過原點圓與軸相切圓與軸相切圓與兩坐標軸都相切（二）圓的一般方程1當時，方程叫做圓的一般方程。（1）當時，方程表示以為圓心，為半徑的圓；（2）當時，方程表示一個點；（3）當時，方程不表示任何圖形。2圓的一般方程形式特點（1）的系數(shù)相同且不等于零；（和項的系數(shù)如果為不是1的非零常數(shù)，只需在方程兩邊除以這個數(shù)即可）（2）不含項。上述兩個特點是二元二次方程表示圓必須具備的條件，利用這兩個條件，可以判斷哪些二元二次方程的曲線肯定不是圓。 二、范例剖析 例1 求經(jīng)過兩點，且圓心在直線上的圓的方程。 分析：關(guān)鍵是求圓心和半徑。 解析：法1：設(shè)所求圓的標準方程為，則 ，解得。 所求圓的方

3、程為。 法2：由已知條件知圓心為的中垂線與的交點，且，中點為，的中垂線的方程為， 由，得， 圓心為，所求圓的方程為。 評注：法1運用了待定系數(shù)法，法2運用了圓的幾何性質(zhì)，這兩種方法在解析幾何中經(jīng)常使用，要注意選擇恰當?shù)姆椒ā?例2 求經(jīng)過點且與直線：相切于點的圓的方程。 分析1：由于點，是所求圓上的點，從而得到了求圓的方程的兩個條件；又由點為切點可知，圓心與點的連線與直線垂直，得到關(guān)于待定系數(shù)的三個方程，從而可解之。 解法1：設(shè)所求圓的方程為，則圓心為， 。，又，解、可得，。故所求圓的方程為。 分析2：設(shè)所求圓心為，只要其坐標確定，所求圓的半徑隨之被確定，由平面幾何知識知，弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，可建立關(guān)系解決之。 解法2：設(shè)圓的圓心為，則，從而可得所在的直線方程為，即， 由，得的中點坐標為，又， 的垂直平分線方程為,即， 由聯(lián)立得，即圓心坐標為。 所求圓的半徑為， 故所求圓的方程為。 評注：求圓的方程常用“待定系數(shù)法”，大致步驟是：（1）根據(jù)題意