高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)問答

1、統(tǒng)計(jì)案例復(fù)習(xí)問答一、【問】回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法相關(guān)關(guān)系又分線性相關(guān)關(guān)系和非線性相關(guān)關(guān)系，如何利用回歸分析的方法對兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進(jìn)行研究呢？【答】利用回歸分析的方法對兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進(jìn)行研究的步驟為：畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；求回歸直線方程；用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)其中求回歸直線方程是關(guān)鍵而對于線性回歸模型來說，估計(jì)模型中的未知參數(shù)和的最好方法就是最小二乘估計(jì)和，其計(jì)算公式為，例1某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入（萬元）24466677810年飲食支出（萬元）09141620211918212223（1）根據(jù)表中數(shù)

2、據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系；（2）如果某家庭年收入為9萬元，預(yù)測其年飲食支出解析：（1）由題意知，年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖（如圖所示）從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系，從而得到回歸直線方程為（2）萬元點(diǎn)評：是斜率的估計(jì)值，說出年收入x每增加一萬元，年飲食支出y就增加0172萬元，這表明了年飲食支出與年收入具有正的線性相關(guān)關(guān)系對于該家庭年收入為9萬元，由回歸方程得到的年飲食支出的預(yù)報(bào)值2346萬元，并不能說該家庭的年飲食支出一定是2346萬元一般說來，不能期望回歸方程得

3、到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值二、【問】上面說到，判斷解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，先作出散點(diǎn)圖，從點(diǎn)的分布特征來判定是否線性相關(guān)那么，如果作圖不準(zhǔn)，出現(xiàn)誤差怎么辦？怎樣更好地判定兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱？【答】作相關(guān)性檢驗(yàn)，通過作散點(diǎn)圖，并觀察所給的數(shù)據(jù)列成的點(diǎn)是否在一條直線的附近來判定，這樣做既直觀又方便，因而對解決相關(guān)性檢驗(yàn)問題比較常用，但在作圖中，由于存在誤差，有時(shí)很難說這些點(diǎn)是不是分布在一條直線的附近，這時(shí)就很難判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系因此，給定樣本數(shù)據(jù)，單純由散點(diǎn)圖判定其是否大致在一條直線附近主觀性太強(qiáng)，回歸分析時(shí)還通常用相

4、關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱樣本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為：；的絕對值接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；的絕對值接近于0時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系通常當(dāng)大于075時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系例2為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)測得對母女的身高，所得數(shù)據(jù)如下表所示：母親身高（cm）159160160163159154159158159157女兒身高（cm）158159160161161155162157162156試對x與y進(jìn)行回歸分析，并預(yù)報(bào)當(dāng)母親身高為161cm時(shí)，女兒的身高為多少？解析：作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，因此表明與有線性相關(guān)關(guān)

5、系，因而求回歸直線方程有必要又，由此可得回歸直線方程為斜率的估計(jì)值反映出當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí)，女兒身高平均增加078cm，可以理解為女兒身高中不受母親身高影響的部分當(dāng)母親身高為時(shí)，女兒身高大致也為161cm點(diǎn)評：本題是一個(gè)回歸分析類問題，解決這一問題，首先應(yīng)對問題進(jìn)行必要的相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出對應(yīng)的回歸直線的方程，最后利用回歸直線方程由解釋變量x的值得到預(yù)報(bào)變量y的值注意：如果不先作相關(guān)性檢驗(yàn)，我們雖然也可以求出x與y的回歸直線方程，但這時(shí)的回歸直線方程也許沒有任何實(shí)際價(jià)值，它也就不能確定地反映變量x與y之間的變化規(guī)律，只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí)，求回歸直

6、線方程才具有實(shí)際意義三、【問】如何比較兩個(gè)不同回歸模型的擬合效果？【答】首先建立回歸模型，其基本步驟是：確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等）；由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）；按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等建立起回歸模型后，利用殘差分析的方法來比較兩個(gè)不同回歸模型的擬合效果其方法是：對于由給定的樣本

7、點(diǎn)而得到的兩個(gè)回歸方程和，分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與；若，則的效果比的好；反之，的效果不如的好四、【問】上面主要研究了線性回歸問題，那么如何用回歸分析的方法對非線性回歸問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析呢？【答】對于非線性回歸問題進(jìn)行回歸分析的方法是：（1）若問題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)可以將解釋變量進(jìn)行交換（換元），將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題化為線性回歸分析問題來解決（2）若問題中沒有給出經(jīng)驗(yàn)公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，通過與各種函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的圖象作比較，選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決例3某種圖

8、書每冊的成本費(fèi)y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：1235102030501002001015552408285211162141130121115檢驗(yàn)每冊書的成本費(fèi)y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果有，求出對的回歸方程解析：首先作變量變換，令，則題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù)：105033020100500300200100051015552408285211162141130121115可以求得，由，因此變量與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并且，最后回代，可得因此與的回歸方程為點(diǎn)評：本題中y與x之間不具有線性回歸關(guān)系，因而是非線性回歸分析問題，通過變量變換，即

9、令，通過對u與y作相關(guān)性檢驗(yàn)，判定出y與u之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系后，求出y對u的回歸直線方程，最后再回代，得到對的回歸方程五、【問】如何進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)？【答】若要推斷的論述為：“X與Y有關(guān)系”，判斷結(jié)論成立的可能性的方法是：（1）三維柱形圖與二維條形圖可用于粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系在三維柱形圖中，主對角線上兩個(gè)柱形高的乘積與副對角線上兩個(gè)柱形高的乘積相差越大，兩個(gè)分類變量與有關(guān)系的可能性就越大在二維條形圖中，可以估計(jì)圖形滿足的個(gè)體中具有的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件的個(gè)體中具有的個(gè)體所占的比例，兩個(gè)比例相差越大，與有關(guān)系的可能性就越大但是三維柱形圖和二維條形圖無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度，因而只做粗略估計(jì)，而不做具體運(yùn)算（2